2020-2021学年湘教版九年级下册数学《第2章 圆》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年湘教版九年级下册数学《第2章 圆》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 306.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-28 08:53:30 | ||
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文档简介
2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第2章 圆》单元测试卷
一．选择题
1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
2．如图，D是的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，点C在线段AB上，以AB、AC为直径的半圆相切于点A，大圆的弦AE交小圆于点D，∠EAB＝α，如DE＝2，那么BC等于（ ）
A．2cosα B．2sinα C． D．
4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升1dm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
5．已知⊙O的半径为1，点P到O的距离为R，且方程x2﹣2x+R＝0有实数根，则P（ ）
A．在⊙O的内部 B．在⊙O上
C．在⊙O外部 D．在⊙O的内部或圆上
6．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
7．在下列各结论中，正确的为（ ）
A．圆心角相等的两个扇形相同
B．圆心角相等的两个扇形的面积相等
C．两个面积相等的扇形的圆心角相等
D．同圆或等圆中面积相等的两个扇形的圆心角相等
8．在平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形、直角梯形中，必定存在外接圆的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①任意三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90°的圆周角所对的弦是直径；④同弧或等弧所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，PA＝PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE＝PF③CA＝BD；④CD∥AB；其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
11．各边相等的圆内接多边形 正多边形；各角相等的圆内接多边形 正多边形．（填“是”或“不是”）
12．⊙O半径为3，圆心O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O相交，则d的取值范围是 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为 ．
14．如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：①点P在⊙O外，则 ；② ，则d＝r；③ ，则d＜r．
15．如图，△ABC内接于⊙O，D是劣弧弧AB上的一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使△ADB∽△ACE，应补充的一个条件是 或 ．
16．扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的弧长为 ．
17．一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是 ．
18．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C为切点，A是⊙O上的任意一点，若∠A＝70°，则∠E＝ ．
19．如图，水平放着的圆柱形排水管的截面为1000mm，其中水面宽AB＝800mm，则水的最大深度为 mm．
20．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为 ．
三．解答题
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
22．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．
（1）求sinA和sinC的值；
（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．
23．如图，AB是⊙O的直径．
（1）若OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
（2）把（1）中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
24．如图所示，∠AOB＝90°，O为所在圆的圆心，且C、D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD．
25．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，
求证：PA＝PB．
26．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD按如图所示的方式叠放在一起，连结AC，BD．若AO＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
27．已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设原来的圆的半径为r，则面积s1＝πr2，
∴缩小到原来的后，s2＝π（r）2＝πr2，
∴＝＝．
故选：D．
2．解：∵D是的中点，
∴弧AD＝弧CD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC．
故选：B．
3．解：连接CD、BE，过C点作CF∥AE交BE于点F，
点C在线段AB上，AB、AC为直径，
所以有DC⊥AE，BE⊥AE，
即得CD∥BE，且四边形DCFE为正方形，
即FC＝DE＝2，∠FCB＝∠EAB＝α，
在Rt△BCF中，BC＝
故选：C．
4．解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．
5．解：因为方程有实数根，所以△＝4﹣4R≥0，得到R≤1，
而圆的半径为1，说明点P到圆心的距离小于或等于半径，所以点P在圆内或圆上．
故选：D．
6．解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．
故选：B．
7．解：因为不是在同一个圆中的扇形面积和圆心角都无法比较，
故可以排除A，B，C 而对于同一个圆中，
扇形的面积为：s＝lα2，
其中l为圆的半径，α为圆心角
故选：D．
8．解：根据圆内接多边形的性质可得：矩形，正方形与等腰梯形必定存在外接圆．故选C．
9．解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了；
②假命题，当弦为直径时就不一定垂直了；
③真命题；
④真命题，同弧或等弧所对的圆周角相等．
故选：B．
10．解：
连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．
∵PC?PA＝PD?PB（相交弦定理），PA＝PB（已知），
∴PC＝PD，
∴AC＝BD；
在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC＝∠BOD（等弦对等角），
OA＝OB（半径），
OD＝OC（半径），
∴△AOC≌△BOD，
∴③CA＝BD；
OE＝OF；
又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；
∴②PE＝PF；
在△PCD和△PAB中，
PC：PA＝PD：PB，
∠DPC＝∠BPA，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC＝PBA，
∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
二．填空题
11．解：∵正多边形的各边相等，
∴各边所对的圆周角必然相等，
∴各边相等的圆内接多边形是正多边形；
∵圆内接多边形的各角相等；
举出一个反例：当四个角都是直角时，这个四边形可能是矩形，
∴各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
故答案为：是，不是．
12．解：∵直线和圆相交，
∴d＜r．
又∵d是直线到圆心的距离，⊙O半径为3，
∴d是非负数，
∴0≤d＜3．
13．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝，
∴⊙O的直径为3．
故答案为3．
14．解：①∵点P在⊙O外，∴d＞r；故填：d＞r．
②∵d＝r，∴点在圆上；故填：点P在⊙O上．
③∵d＜r，∴点在圆内；故填：点P在⊙O内．
15．解：∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE＝∠D，∴当∠BAD＝∠EAC或∠ABD＝∠E时，△ADB∽△ACE．
16．解：6π＝，
解得r＝6，
弧长＝＝2π．
17．解：根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．
18．解：连接OB，OC．
则∠BOC＝2∠A＝2×70＝140°，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴∠EBO＝∠ECO＝90°，
∴∠E＝360°﹣∠BOC﹣∠EBO﹣∠ECO＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°．
故答案是：40°．
19．解：过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，如图，
OA＝500mm，AB＝800mm，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝400mm，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴OC＝＝300，
∴CD＝300+500＝800（mm），
即水的最大深度为800mm．
故答案为800mm．
20．解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即AP＝；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝×6×8×2＝10PG，
∴PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
三．解答题
21．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴OD＝，
∵AE＝CE，OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1，
∴DE＝﹣1．
22．解：（1）作BH⊥AC于H，如图，
设AH＝x，则CH＝6﹣x，
在Rt△ABH中，BH2+x2＝52，
在Rt△CBH中，BH2+（6﹣x）2＝72，
解得x＝1，BH＝2，
在Rt△ABH中，sinA＝＝；
在Rt△CBH中，sinC＝＝；
即sinA＝，sinC＝；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，设⊙D的半径为r，
∵⊙D与边AB、BC都相切，
∴DE＝DF＝r，
在Rt△ADE中，sinA＝＝，
∴DA＝r，
在Rt△CDF中，sinC＝＝，
∴DA＝r，
∵DA+DC＝AC，
∴r+r＝6，
解得r＝，
即⊙D的半径为．
23．解：（1）．
证明：延长DO交⊙O于E，
∵AC∥OD
∴
∵∠1＝∠2
∴
∴；
（2）仍成立．
证明：延长DO交⊙O于点E，连接AD，
∵，
∴
∴∠3＝∠D
∴AC∥OD．
24．证明：∵O为的中点，
∴OA＝OB，
∴点O为所在圆的圆心，
连接AC、BD，则有AC＝CD＝BD，
∵∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC．
故AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD
∴AE＝CD＝BF．
25．证明：∵OC＝OP，
∴∠1＝∠2．
∵CP平分∠OCD，
∴∠2＝∠3，
∴∠3＝∠1，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB．
∴＝，
∴PA＝PB．
26．解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC＝S△OBD；
因此S阴影＝S扇形OAB+S△OBD﹣S△OAC﹣S扇形OCD＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝π×（9﹣1）＝2πcm2．
即阴影部分的面积是2πcm2．
27．解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝2cm；
正六边形的周长l＝6a＝12cm；
正六边形的面积S＝6××2×＝．
故答案为：2cm，12cm，6cm2．
一．选择题
1．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
2．如图，D是的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，点C在线段AB上，以AB、AC为直径的半圆相切于点A，大圆的弦AE交小圆于点D，∠EAB＝α，如DE＝2，那么BC等于（ ）
A．2cosα B．2sinα C． D．
4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升1dm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
5．已知⊙O的半径为1，点P到O的距离为R，且方程x2﹣2x+R＝0有实数根，则P（ ）
A．在⊙O的内部 B．在⊙O上
C．在⊙O外部 D．在⊙O的内部或圆上
6．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
7．在下列各结论中，正确的为（ ）
A．圆心角相等的两个扇形相同
B．圆心角相等的两个扇形的面积相等
C．两个面积相等的扇形的圆心角相等
D．同圆或等圆中面积相等的两个扇形的圆心角相等
8．在平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形、直角梯形中，必定存在外接圆的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①任意三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90°的圆周角所对的弦是直径；④同弧或等弧所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，PA＝PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE＝PF③CA＝BD；④CD∥AB；其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
11．各边相等的圆内接多边形 正多边形；各角相等的圆内接多边形 正多边形．（填“是”或“不是”）
12．⊙O半径为3，圆心O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O相交，则d的取值范围是 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为 ．
14．如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：①点P在⊙O外，则 ；② ，则d＝r；③ ，则d＜r．
15．如图，△ABC内接于⊙O，D是劣弧弧AB上的一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使△ADB∽△ACE，应补充的一个条件是 或 ．
16．扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的弧长为 ．
17．一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是 ．
18．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C为切点，A是⊙O上的任意一点，若∠A＝70°，则∠E＝ ．
19．如图，水平放着的圆柱形排水管的截面为1000mm，其中水面宽AB＝800mm，则水的最大深度为 mm．
20．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为 ．
三．解答题
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
22．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．
（1）求sinA和sinC的值；
（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．
23．如图，AB是⊙O的直径．
（1）若OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
（2）把（1）中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
24．如图所示，∠AOB＝90°，O为所在圆的圆心，且C、D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD．
25．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，
求证：PA＝PB．
26．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD按如图所示的方式叠放在一起，连结AC，BD．若AO＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
27．已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：设原来的圆的半径为r，则面积s1＝πr2，
∴缩小到原来的后，s2＝π（r）2＝πr2，
∴＝＝．
故选：D．
2．解：∵D是的中点，
∴弧AD＝弧CD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC．
故选：B．
3．解：连接CD、BE，过C点作CF∥AE交BE于点F，
点C在线段AB上，AB、AC为直径，
所以有DC⊥AE，BE⊥AE，
即得CD∥BE，且四边形DCFE为正方形，
即FC＝DE＝2，∠FCB＝∠EAB＝α，
在Rt△BCF中，BC＝
故选：C．
4．解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．
5．解：因为方程有实数根，所以△＝4﹣4R≥0，得到R≤1，
而圆的半径为1，说明点P到圆心的距离小于或等于半径，所以点P在圆内或圆上．
故选：D．
6．解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．
故选：B．
7．解：因为不是在同一个圆中的扇形面积和圆心角都无法比较，
故可以排除A，B，C 而对于同一个圆中，
扇形的面积为：s＝lα2，
其中l为圆的半径，α为圆心角
故选：D．
8．解：根据圆内接多边形的性质可得：矩形，正方形与等腰梯形必定存在外接圆．故选C．
9．解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了；
②假命题，当弦为直径时就不一定垂直了；
③真命题；
④真命题，同弧或等弧所对的圆周角相等．
故选：B．
10．解：
连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．
∵PC?PA＝PD?PB（相交弦定理），PA＝PB（已知），
∴PC＝PD，
∴AC＝BD；
在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC＝∠BOD（等弦对等角），
OA＝OB（半径），
OD＝OC（半径），
∴△AOC≌△BOD，
∴③CA＝BD；
OE＝OF；
又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；
∴②PE＝PF；
在△PCD和△PAB中，
PC：PA＝PD：PB，
∠DPC＝∠BPA，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC＝PBA，
∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
二．填空题
11．解：∵正多边形的各边相等，
∴各边所对的圆周角必然相等，
∴各边相等的圆内接多边形是正多边形；
∵圆内接多边形的各角相等；
举出一个反例：当四个角都是直角时，这个四边形可能是矩形，
∴各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．
故答案为：是，不是．
12．解：∵直线和圆相交，
∴d＜r．
又∵d是直线到圆心的距离，⊙O半径为3，
∴d是非负数，
∴0≤d＜3．
13．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝，
∴⊙O的直径为3．
故答案为3．
14．解：①∵点P在⊙O外，∴d＞r；故填：d＞r．
②∵d＝r，∴点在圆上；故填：点P在⊙O上．
③∵d＜r，∴点在圆内；故填：点P在⊙O内．
15．解：∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE＝∠D，∴当∠BAD＝∠EAC或∠ABD＝∠E时，△ADB∽△ACE．
16．解：6π＝，
解得r＝6，
弧长＝＝2π．
17．解：根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形．
18．解：连接OB，OC．
则∠BOC＝2∠A＝2×70＝140°，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴∠EBO＝∠ECO＝90°，
∴∠E＝360°﹣∠BOC﹣∠EBO﹣∠ECO＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°．
故答案是：40°．
19．解：过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，如图，
OA＝500mm，AB＝800mm，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝400mm，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴OC＝＝300，
∴CD＝300+500＝800（mm），
即水的最大深度为800mm．
故答案为800mm．
20．解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即AP＝；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝×6×8×2＝10PG，
∴PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
三．解答题
21．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴OD＝，
∵AE＝CE，OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1，
∴DE＝﹣1．
22．解：（1）作BH⊥AC于H，如图，
设AH＝x，则CH＝6﹣x，
在Rt△ABH中，BH2+x2＝52，
在Rt△CBH中，BH2+（6﹣x）2＝72，
解得x＝1，BH＝2，
在Rt△ABH中，sinA＝＝；
在Rt△CBH中，sinC＝＝；
即sinA＝，sinC＝；
（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，设⊙D的半径为r，
∵⊙D与边AB、BC都相切，
∴DE＝DF＝r，
在Rt△ADE中，sinA＝＝，
∴DA＝r，
在Rt△CDF中，sinC＝＝，
∴DA＝r，
∵DA+DC＝AC，
∴r+r＝6，
解得r＝，
即⊙D的半径为．
23．解：（1）．
证明：延长DO交⊙O于E，
∵AC∥OD
∴
∵∠1＝∠2
∴
∴；
（2）仍成立．
证明：延长DO交⊙O于点E，连接AD，
∵，
∴
∴∠3＝∠D
∴AC∥OD．
24．证明：∵O为的中点，
∴OA＝OB，
∴点O为所在圆的圆心，
连接AC、BD，则有AC＝CD＝BD，
∵∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC．
故AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD
∴AE＝CD＝BF．
25．证明：∵OC＝OP，
∴∠1＝∠2．
∵CP平分∠OCD，
∴∠2＝∠3，
∴∠3＝∠1，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB．
∴＝，
∴PA＝PB．
26．解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC＝S△OBD；
因此S阴影＝S扇形OAB+S△OBD﹣S△OAC﹣S扇形OCD＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝π×（9﹣1）＝2πcm2．
即阴影部分的面积是2πcm2．
27．解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝2cm；
正六边形的周长l＝6a＝12cm；
正六边形的面积S＝6××2×＝．
故答案为：2cm，12cm，6cm2．