2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．x2y+x＝1 B．x2﹣xy＝5 C．y2＝x2+2 D．x2+y+2＝0
2．形状与抛物线y＝﹣x2﹣2相同，对称轴是x＝﹣2，且过点（0，3）的抛物线是（　　）
A．y＝x2+4x+3
B．y＝﹣x2﹣4x+3
C．y＝﹣x2+4x+3
D．y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x+3
3．根据抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（　　）
A．x2﹣1＝﹣3x B．x2+3x+1＝0 C．3x2+x﹣1＝0 D．x2﹣3x+1＝0
4．如果二次函数y＝ax2+m的值恒大于0，那么必有（　　）
A．a＞0，m取任意实数 B．a＞0，m＞0
C．a＜0，m＞0 D．a，m均可取任意实数
5．对于抛物线y＝x2和y＝﹣x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（　　）
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称
D．两条抛物线的交点为原点
6．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
7．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则实数a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b
8．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
10．二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a+的图象与x轴有两个交点，则a应为（　　）
A．a＞ B．a＜且a≠0 C．0＜a＜ D．以上都不对
二．填空题
11．设一圆的半径为r，则圆的面积S＝　 　，其中自变量是　 　．
12．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝　 　，x2＝　 　．
13．抛物线y＝ax2与直线y＝3x+b只有一个公共点，则b＝　 　．
14．已知抛物线y＝5x2+mx+n与x轴的交点为（，0）和（﹣2，0），则因式分解5x2+mx+n的结果是　 　．
15．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且通过点（2，8），此二次函数的解析式为　 　．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为　 　．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为　 　．
18．已知点（1，y1），（2，y2），（4，y3）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是　 　．
19．若函数y＝（m2﹣1）x3+（m+1）x2的图象是抛物线，则m＝　 　．
20．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B（8，9），则小孩将球抛出了约　 　米（精确到0.1 m）．
三．解答题
21．已知抛物线经过三个点A（2，6），B（﹣1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是？它的顶点坐标是？
22．已知抛物线y＝2x2﹣3x+m（m为常数）与x轴交于A，B两点，且线段AB的长为．
（1）求m的值；
（2）若该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．
23．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
24．对于抛物线y＝x2+bx+c，给出以下陈述：
①它的对称轴为x＝2；
②它与x轴有两个交点为A、B；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．
求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．
25．已知二次函数y＝﹣2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过（0，1）和（1，3）两点？写出平移后的函数解析式．
26．某果园有100棵橙子树，每一棵树均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
（2）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
27．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，﹣6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点M为线段OC上一点，且∠MPC＝∠BAC，求点M的坐标；
说明：若（2）你经历反复探索没有获得解题思路，请你在不改变点M的位置的情况下添加一个条件解答此题，此时（2）最高得分为3分．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、整理后，不符合二次函数的一般形式，错误；
B、整理后，不符合二次函数的一般形式，错误；
C、这里，y的指数是2，不是函数，错误；
D、整理为y＝﹣x2﹣2，是二次函数，正确．
故选：D．
2．解：设所求抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由抛物线过点（0，3），可得：c＝3，
由抛物线形状与y＝﹣x2﹣2相同，
分为两种情况：①开口向下，则a＜0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x＝﹣＝﹣2．则b＜0，
由此可得出B选项符合题意．
②开口向下，则a＞0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x＝﹣＝﹣2．则b＞0，
由此可得出A选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D，
故选：D．
3．解：∵抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴可以求出方程x2+3x﹣1＝0的根，
方程x2﹣1＝﹣3x与方程x2+3x﹣1＝0等价，
∴可以求出方程x2﹣1＝﹣3x的根．
故选：A．
4．解：由题意得：二次函数y＝ax2+m的最小值大于0，
∴a＞0，m＞0，
故选：B．
5．解：两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
故选：C．
6．解：设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y＝（x﹣18）×[100﹣10（x﹣20）]，
整理得：y＝﹣10x2+480x﹣5400＝﹣10（x﹣24）2+360，
∵﹣10＜0，
∴开口向下，
故当x＝24时，y有最大值．
故选：B．
7．解：∵图象开口向上，经过原点，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴a＞c＞b，
故选：D．
8．解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
9．解：∵对称轴为x＝﹣＝1，
∴点（，y1）的对称点的横坐标为，即称点坐标为（，y2），
∴y1＝y2．
故选：B．
10．解：∵二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a+的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（2a﹣1）2﹣4×a×（a+）＝4a2+1﹣4a﹣4a2﹣6a＝1﹣10a＞0，
∴a＜且a≠0，
故选：B．
二．填空题
11．解：由圆的面积公式得：
S＝πr2，自变量是r．
12．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，
而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：
∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），
∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．
13．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝3x+b只有一个公共点，
∴ax2＝3x+b只有一个解，
即ax2﹣3x﹣b＝0只有一个解，
∴△＝9+4ab＝0．
解得b＝﹣．
14．解：∵抛物线y＝5x2+mx+n与x轴的交点为（，0）和（﹣2，0），a＝5，
∴抛物线的解析式用交点式表示为y＝5（x+2）（x﹣）
即：5x2+mx+n＝5（x+2）（x﹣）．
15．解：根据题意设y＝a（x+2）（x﹣1）（a≠0），
将（2，8）代入得：a（2+2）（2﹣1）＝8，即4a＝8，
解得：a＝2，
则二次函数解析式为y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4．
故答案为：y＝2x2+2x﹣4
16．解：根据二次函数y＝x2﹣2x﹣8，可得A、B两点的横坐标为﹣2，4；
C的纵坐标为﹣8；
则△ABC的面积为×8×6＝24．
17．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），
当y＜0时，图象在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
故填空答案：﹣1＜x＜3．
18．解：因为函数y＝x2﹣4x+3对称轴是x＝2，且开口向上，
所以，距离对称轴越近，函数值越小；反之也成立．
比较可得：（2，y2）最近，而（4，y3）最远；
故有y2＜y1＜y3．
19．解：根据题意，由m+1≠0，得m≠﹣1
且m2﹣1＝0，得m＝±1
所以m＝1．
20．解：根据题意，设二次函数顶点式：y＝a（x﹣8）2+9
把A（0，1）代入得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣8）2+9，
当y＝0时，解得x1＝8+6≈16.5，x2＝8﹣6＜0（舍去）．
∴小孩将球抛出了约16.5米．
三．解答题
21．解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得，
解得．
所以二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（1，8）．
22．解：（1）设抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，
∴关于x的方程2x2﹣3x+m＝0，
∴△＝（﹣3）2﹣8m＝9﹣8m＞0，
解得m＜，
∵x1+x2＝，x1?x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，
又∵AB＝，
∴＝，
∴m＝1；
（2）∵m＝1，
∴y＝2x2﹣3x+1，
∴＝＝﹣，
∵AB＝，
∴S△ABP＝×＝．
23．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1
又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0
解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）
所以m＝3
故y＝12x2+9．
24．解：∵抛物线y＝x2+bx+c＝（x+）2+，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，则b＝﹣4，
∴P点的纵坐标是＝c﹣4，
又∵它与x轴有两个交点为A、B，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣4c＞0，且AB＝＝＝2
解得 c＜4，①
又△APB的面积不小于27，
∴×2×|c﹣4|≥27，即×|c﹣4|≥27②
由①②解得 c≤﹣5．
综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．
25．解：设y＝﹣2x2+bx+c，把（0，1）（1，3）代入，
得c＝1，﹣2+b+c＝3，
解得b＝4．
∴平移后的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3．
∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（1，3）．
∴将原二次函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得y＝﹣2x2+4x+1的图象．
26．解：（1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，
∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，
则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．
答：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，这时平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．
（2）如果果园橙子的总产量为y，
则y＝（x+100）（600﹣5x）
＝﹣5x2+100x+60000．
27．解：把两点代入求解得：
﹣3b+c＝0，
b﹣c+＝0，
解得：b＝1，c＝，
代入原函数解析式得：y＝﹣x2+x+．
（2）如图所示：M点在OC上，
由题目可知∠MPC＝∠BAC，点P的坐标为（1，2），
由已知个点坐标可以求得：CP＝，AC＝6，BC＝4，∠PCM＝∠ACB＝45°；
由以上可以知道△PCM与△ACB相似，
所以有：，
解得：CM＝，所以M点的坐标为（），
答：M点的坐标为（）．