平面向量的数量积及其应用同步知识讲解+同步练习（Word解析版）

平面向量的数量积及其应用
一、知识梳理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos
θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos
θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤
·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
小结：
1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos
θ＝|a|·|b|，所以cos
θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos
θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案　A
3.在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________.
解析　设向量，的夹角为θ，则·＝||||·cos
θ＝||cos
θ·||＝||·||＝×()2＝1.
答案　1
4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A.4
B.3
C.2
D.0
解析　a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
答案　B
5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　)
A.13＋6
B.2
C.
D.
解析　依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos
45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.
答案　D
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析　由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.
答案　7
考点一　平面向量数量积的运算
【例1】
(1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　　)
A.0
B.4
C.－
D.－
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A.－15
B.－9
C.－6
D.0
解析　(1)由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－，
即m＝，
所以m·n＝－2×4＋×1＝－.
(2)连接OA.在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，
∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos
120°－12)＝3×(－2)＝－6.
答案　(1)D　(2)C
【训练1】
(1)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　)
A.16
B.12
C.8
D.－4
(2)(2019·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.
解析　(1)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝，即E，
·＝·(0，6)＝16.
(2)因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos
45°＝1＋.
答案　(1)A　(2)1＋
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　平面向量的垂直
【例2－1】
(1)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A.
B.
C.6
D.
解析　(1)a＝(1，0)，b＝(－1，m)，∴a2＝1，a·b＝－1，
由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即ma2－a·b＝0.∴m－(－1)＝0，∴m＝－1.
(2)因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos
120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.
答案　(1)－1　(2)A
角度2　平面向量的模
【例2－2】
(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.
(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.
解析　(1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，
所以α·β＝，
所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，
所以|2α＋β|＝.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，
所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5.
答案　(1)　(2)5
角度3　平面向量的夹角
【例2－3】
(1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________.
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
解析　(1)将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0.
将|a＋b|＝|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，
∴b2＝a2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
∴cos
θ＝＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.
又若(2a－3b)∥c，
则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c反向，不合题意.
综上，k的取值范围为∪.
答案　(1)　(2)∪
【训练2】
(1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析　(1)由a⊥b，得a·b＝0，又a＝(－2，3)，b＝(3，m)，
∴－6＋3m＝0，则m＝2.
(2)法一　|a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(3)(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
解析：(3)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos
60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
答案　(1)2　(2)2　(3)
考点三　平面向量与三角函数
【例3】
(2019·潍坊摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos
B，－sin
B)，且m·n＝－.
(1)求sin
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.
解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，所以cos
A＝－.因为0所以sin
A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，则sin
B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，c＝－7舍去，
故向量在方向上的投影为||cos
B＝ccos
B＝1×＝.
【训练3】
(2019·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，且m·n＝sin
2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长.
解　(1)由已知得m·n＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B
＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
所以m·n＝sin
C，又m·n＝sin
2C，
所以sin
2C＝sin
C，所以cos
C＝.
又0(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝·＝18，
所以abcos
C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝(a＋b)2－3ab
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
(2)O为△ABC的重心?＋＋＝0.
(3)O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
(4)O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
类型1　平面向量与三角形的“重心”
【例1】
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)
A.△ABC的内心
B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
解析　取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，
∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案　C
类型2　平面向量与三角形的“内心”问题
【例2】
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos
A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)
A.
B.
C.4
D.6
解析　根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin
A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.
答案　B
类型3　平面向量与三角形的“垂心”问题
【例3】
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
解析　因为＝＋λ，
所以＝－＝λ，
所以·＝·λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，所以点P在BC的高线上，
即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
答案　B
类型4　平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】
已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，
＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，
所以·＝＝－，③
把③代入①、②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
答案　A
三、课后练习
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则·的最大值为(　　)
A.9
B.16
C.18
D.25
解析　∵∠C＝90°，AB＝6，
∴·＝0，∴|＋|＝|－|＝||＝6，
∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·
＝·(＋)＋4，
∴当与＋方向相同时，·(＋)取得最大值2×6＝12，
∴·的最大值为16.
答案　B
2.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1
B.＋1
C.2
D.2－
解析　设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.
答案　A
3.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.
解析　∵·＝||·||·cos
B＝||2，∴||·cos
B＝||＝6，∴⊥，即A＝，
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B(6，0)，C(0，3)，设P(x，y)，
则2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]
∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时·＝(2，1)·(－6，3)＝－9.
答案　－9
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值.
解　(1)由题意得(a－c)cos
B＝bcos
C.
根据正弦定理得(sin
A－sin
C)cos
B＝sin
Bcos
C，
所以sin
Acos
B＝sin(C＋B)，
即sin
Acos
B＝sin
A，因为A∈(0，π)，所以sin
A>0，
所以cos
B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin
B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
5.对任意两个非零的平面向量α和β，定义α?β＝cos
θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a和b满足：①|a|≥|b|；②a和b的夹角θ∈；③a?b和b?a的值都在集合{x|x＝，n∈N}中，则a?b的值为________.
解析　a?b＝cos
θ＝，b?a＝cos
θ＝，m，n∈N.由a与b的夹角θ∈，知cos2θ＝∈，故mn＝3，m，n∈N.因为|a|≥|b|，所以0答案