湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测（数学文）

湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测
数学试题（文科）(必修1、选修1-1)
时量：120分钟 满分：150分
一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 设集合，，则 = （ A ）
A．[1,2） B．[1,2] C．（ 2,3] D．[2,3]
2.“”是“方程表示椭圆”的 （ B ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“对任意的”的否定是 （ C ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
4．若函数为奇函数，则 （ A ）
A． B． C． D．1
5.函数的单调递增区间是 （ A ）
A.[0，＋∞） B. [1，＋∞） C.（－∞，0] D.（－∞，1]
6. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ D ）
A． B． C． D．
7.设函数.用二分法求方程在区间内近似解的过程中得
，，，，
，，则该方程的根的近似值（精确到）为 （ C ）
A． B． C． D．
8．已知奇函数、偶函数.若当时有、，则时（ B ）
A． B．
C． D．
二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
9.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为0 或 .
10．抛物线上一点到点与焦点的距离之和最小，则点的坐标为.
11.已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是 .
12.设动圆与两圆中的一个内切，另一个外切.则动圆的圆心轨迹的方程是.
13.设双曲线的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .
14.设函数，则满足的的取值范围是
15.若函数在处有极小值，则常数的值为 2 .
三．解答题(本大题共6小题，共75分)
16.(本小题满分12分)
已知命题：不等式有非空解集，命题：函数是增函数.
若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
解：：，即：或 -------------------3分
：；------------------------------------------------------------------6分
∵ “”为真，“”为假，
∴与一真一假； -------------------------------------------------9分
∴或. -----------------------------------------------12分
17. (本小题满分12分)
已知双曲线与双曲线有共同渐近线，并且经过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过双曲线的上焦点作直线垂直与轴，若动点到双曲线的下焦点的距离等于它到直线的距离，求点的轨迹方程.
解：（1）解：设所求双曲线方程为 ，
将点代入，得，
故双曲线的标准方程是. --------------------6分
（2）由题设可知，动点的轨迹是以双曲线的下焦点为焦点，直线为准线的抛物线，显然，
故点的轨迹方程是. -----------------12分
18. (本小题满分12分)
已知函数在及处取得极值．
(1)求、的值；
(2)若方程有三个根，求的取值范围.
解：（1）由已知，-----------------------------------2分
因为在及处取得极值，
所以1和2是方程的两根，
故、； ------------------------------------------------------------------5分
（2）由（1）可得，
，
当或时，，递增，
当时，，递减， ---------------------------------8分
据题意，， -----------------------------------10分
解得：. ---------------------------------------------12分
19.设椭圆: 过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．
解：（1）将点代入的方程得, ∴,
又 得，即， ∴，
∴的方程为； ---------------------------------6分
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，的中点为，
将直线方程代入Ｃ的方程，
得，即，
∴，，
即所截线段的中点坐标为．--------------------------------12分
20.(本小题满分13分)
汽车在道路上行驶每100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗.已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.
（1）当该型号汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，百公里油耗是多少升？
（2）当该型号汽车以多大的速度匀速行驶时，百公里油耗最低？最低为多少升？
解：（1）当时，汽车行驶100千米需小时，百公里油耗为：
（升）,---------------4分
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，百公里油耗是升. -----5分
（2）当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升，
依题意得
，--------6分
则 ， ------------------------------8分
令 得 ，
当时，，是减函数；
当时，，是增函数；
故当时，取到极小值；
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，百公里油耗最低，最低为升.
---------------------13分
21.(本小题满分14分)
已知过点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点.
（1）若以为直径的圆经过原点，求直线的方程；
（2）若线段的中垂线交轴于点，求面积的取值范围.
解：（1）设直线的方程为（），设，
由 得————————（*） ——————2分
则由，得，
，， —————————————4分
所以， ————————5分
因为以为直径的圆经过原点，所以，即，———6分
所以，解得，
即所直线的方程为. ————————————8分
（2）设线段的中点坐标为，
则由（1）得， ————————————9分
所以线段的中垂线方程为， ——————————10分
令，得， —————————12分
又由（1）知，且，得或，
所以，所以，
所以面积的取值范围为. —————————14分