16.2 二次根式的运算（第2课时）（共37张PPT）

16.2 二次根式的除法
第2课时
第16章 二次根式
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.了解二次根式的除法法则.（重点）
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.
（难点）
3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
学习目标
复习导入
1.两个基本性质:
=a
a (a≥0)
-a (a＜0)
=
=∣a∣
(a≥ 0)
2.二次根式的乘法：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根之积.
?????????=?????????????≥0，b≥0
?
3.二次根式乘法运算规律公式
（a≥0,b≥0)
关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.
如何化简二次根式
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
新课导入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
二次根式的除法该怎样算呢
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
二次根式的除法
探究新知
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
特殊
一般
议一议
问题 在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
a,b同号就可以啦
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
归纳总结
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
　　我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
合作探究
活动1：探究二次根式的除法法则及运算
首页
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（2） 　　　　　　　　　
（1） 　　　　　　　　　
（3） 　　　　　　　　　
_______；
_______；
_______；
_______；
_______；
_______．
归纳
一般地，二次根式的除法法则
（a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
思考：等式中的a和b有没有条件的限制？
解：
公式的逆用
活动2：探究商的算术平方根的性质及化简
注意:(1) 这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也可 以是单项式）.
(2) 注意被开方数的取值范围.
1.与积的算术平方根的性质比较：
共同点：一个根号变成两个根号.
区别：取值范围不同.
商的算术平方根:
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题
比较,得出结论
这种方法有的地方称之为分母有理化，即把分母中的根号化去的过程.
解：
提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简；（2）有理化因式确定方法.如 有理化因式是它本身， 的有理化因式是 .
例3：化简
解：
　观察上面各小题计算的最后结果并思考：
（1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？
（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？
活动3：探究最简二次根式的概念及判断
可以发现这些式子有如下两个特点：　　
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
　　我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
简记为：分母无根号，根号无分母
解：
解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简.
如 等.
最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
探究新知
下面让我们一起来做做看吧：
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
概念学习
例3 计算:
解:
分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号.
归纳
例题讲解
满足如下两个特点：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
归纳总结
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式；
练一练
例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.
解:∵
∴
二次根式除法的应用
探究新知
例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
C
课堂练习
3.若使等式 成立，则实数k取值范围是 （ ）
B
A.k≥1 B.k≥2
C. 1＜k≤2 D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 的是（　　）
A. B.
C. D.
C
5. 化简：
解:
6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉 刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,
解得a＞3或a≤0；
而按 计算，则a≥0，a-3＞0,
解得a＞3．
二次根式除法
法则
性质
拓展法则
相关概念
分母有理化
最简二次根式
课堂小结
谢谢聆听