17.2 一元二次方程的解法（第1课时） 课件（共29张PPT）

17.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法
第17章 一元二次方程
2020-2021学年度沪科版八年级下册
1.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(重点)
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
(难点)
学习目标
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
十位恰小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3
x2-11x+30=0
x2=10(x-3)+x
新课导入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
复习引入
平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25，
开平方得
即x1=5，x2=－5.
∵棱长不能是负值，∴正方体的棱长为5dm．
x=±5，
探究新知
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得
x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得
x2=-1,
∵负数没有平方根，∴原方程无解.
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根 ， ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
例题讲解
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
(x+3)2=5 ， ②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5
探究交流
于是，方程(x+3)2=5的两个根为
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
例2 解下列方程：
(1)
即x1=3，x2=-1.
解：移项，得

∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴ x1= ，
x2=
(2)
解： 移项，得

两边都除以12，得
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n)2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
配方的方法
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究交流
探究新知
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想：
x2+px+( )2=(x+ )2
配方的方法
用配方法解方程
探究交流
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
探究新知
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
要点归纳
像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
配方法解方程的基本步骤
一移常数项；二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
例3 解下列方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立，∴原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=(k-2)2＋1
∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1.
∴k2－4k＋5的值必定大于零.
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
练一练
C
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3.
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4.
归纳总结
配方法的应用
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 类别
解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
(2) －x2＋4x－3=0
(1) x2＋12x =－9
1.用配方法解下列方程：
2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－3k＋5的值必定大于零.
课堂练习
3.先用配方法解下列方程：
（1） x2－2x－1＝0； （2） x2－2x＋4＝0；
（3） x2－2x＋1＝0；
然后回答下列问题：
（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处 理所遇到的问题的？
（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
直接开平方法
利用平方根的定义求方程的根的方法
课堂小结
谢谢聆听