2.1.1椭圆及其标准方程（一）
理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导.
教学设计： 【动手实践】取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，看看你会得到什么图形 【讲授新课】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.2．椭圆标准方程的推导：如图，建立直角坐标系，使轴经过点，并且点O与线段的中点重合.设点 是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，又设M与的距离的和等于常数. 椭圆的标准方程：（＞＞0）它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是、，且.如果使点在轴上，点的坐标是，则椭圆方程为（＞＞0）练习： 1. 判断下列椭圆的焦点位置，指出焦点的坐标：； ； 2. 设、，且，则点的轨迹是___________________.例1．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围.解：由题意得 即 故例2．已知椭圆的一个焦点为（0，2），求的值.解：方程变形为 ∵焦点在轴上， ∴，又且， ∴， ∴例3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；两个焦点的坐标分别是、（0，2），并且椭圆经过点.解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0）∵，∴，又，∴ 所求椭圆的标准方程为（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为（＞＞0） 由椭圆的定义知∴ 又 ∴所以所求圆的方程为【课堂小结】椭圆的定义；椭圆的标准方程： 【课后作业】见幻灯片2.1.2椭圆的简单几何性质（二）
椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）
椭圆的简单几何性质.
【复习引入】1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为，.【讲授新课】例1 如图，设M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到直线l：的距离的比是常数 ，求点M的轨迹方程．练习1 1.求下列椭圆焦点坐标和准线方程：2. 椭圆上的点M到左准线的距离是5，求M到右焦点的距离例2. 求|PF1|的最小值和最大值.练习21.点P与定点F（2，0）的距离与它到定直线x=8的距离之比为1：2，求点P的轨迹方程.2.点P与定点F（2，0）的距离与它到定直线x=2的距离之比为1：2，求点P的轨迹方程.例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．例4图 例5（1）图 例5（2）图例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为直角；(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离.练习3：1. 已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率思考 F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.【课后作业】见幻灯片备讲题例6 已知点M为椭圆的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点； A点坐标为(1，2) ，求的最小值.变式1：求的最小值；变式2：求的最小值；(共43张PPT)
2.1.2椭圆的简单
几何性质(一)
复习引入
1. 椭圆的定义是什么？
复习引入
1. 椭圆的定义是什么？
2. 椭圆的标准方程是什么？
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
以焦点在x轴上的椭圆为例
(a＞b＞0)．
讲授新课
A1
讲授新课
(a＞b＞0)．
1．范围
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
B2
b
y
O
F1
F2
x
B1
A2
-a
a
-b
A1
讲授新课
(a＞b＞0)．
椭圆位于直线x＝±a和
y＝±b围成的矩形里．
∴|x|≤a，|y|≤b．
1．范围
即x2≤a2，y2≤b2，
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
B2
b
y
O
F1
F2
x
B1
A2
-a
a
-b
(a＞b＞0)．
2．对称性
讲授新课
y
O
F1
x
F2
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或
把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，
方程有变化吗？这说明什么？
(a＞b＞0)．
2．对称性
讲授新课
y
O
F1
F2
x
椭圆关于y轴、x轴、原点
都是对称的．
原点是椭圆的对称中心．
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或
把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，
方程有变化吗？这说明什么？
(a＞b＞0)．
2．对称性
讲授新课
y
O
F1
F2
x
坐标轴是椭圆的对称轴．
A1
讲授新课
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、
B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和
x轴的两个交点．
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
(a＞b＞0).
A1
讲授新课
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、
B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和
x轴的两个交点．
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
(a＞b＞0).
A1
讲授新课
3．顶点
椭圆有四个顶点： A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, －b)、B2(0, b)．
椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、
B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和
x轴的两个交点．
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和
短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
A1
讲授新课
3．顶点
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
c
b
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和
短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
A1
讲授新课
3．顶点
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
c
b
a叫做椭圆的长半轴长．
b叫做椭圆的短半轴长．
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和
短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
A1
讲授新课
3．顶点
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
c
b
a叫做椭圆的长半轴长．
b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|
＝|B2F2|＝
a
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和
短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
A1
讲授新课
3．顶点
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
c
b
a叫做椭圆的长半轴长．
b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|
＝|B2F2|＝a．
a
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和
短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
A1
讲授新课
3．顶点
y
O
F1
F2
x
B2
B1
A2
c
b
a叫做椭圆的长半轴长．
b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|
＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，
|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．
讲授新课
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的
点，就可以得到较正确的图形.
小 结 ：
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
y
O
x
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
y
O
x
讲授新课
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
∵a＞c＞0，
∴0＜e＜1．
4．离心率
，叫做
讲授新课
练习 教科书P.41练习第5题．
讲授新课
例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴
的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
讲授新课
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：
课外作业
P.42-4,5,6.(共12张PPT)
2.1.2椭圆的简单
几何性质(四)
3. 当m取何值直线l : y＝x＋m与椭圆
9x2＋16y2＝144相切、相交、相离.
练习
x
y
O
F2
F1
A
B
l
例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在
x轴上，直线y＝x＋1与该椭圆交于点
P、Q，且
求椭圆的方程.
IlIlI2.1椭圆及其标准方程(四)
复习引入1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程或(a＞b＞0)3. 椭圆中a，b，c的关系？练习 求经过点A(0, 2)和B的椭圆的标准方程.例1 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程.解： 设动圆圆心为P (x, y)，半径为R，两已知圆圆心分别为O1，O2.由 x2+y2+6x+5=0 得： (x+3)2+y2=4；由 x2+y26x91=0 得： (x3)2+y2=100故O1(3,0), O2(3,0), 且圆O1在圆O2内部.圆P与圆O1外切知：|O1P|=R+2,由圆P与圆O2内切知：|O2P|=10R.所以|O1P|+|O2P|=12，而|O1O2|=6，可知P点轨迹为椭圆，且2a=12, a=6; 2c=6, c=3; 所以b2=a2c2=369=27例2 解：练习 1. 椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1、F2组成的三角形的周长是2.如图所示，已知定点A(2,0)及圆B:(x＋2)2＋y2＝25，圆心为B，点P在圆上运动，若线段AP的垂直平分线交BP于Q，求Q点轨迹方程.课外作业：见幻灯片(共33张PPT)
2.1.2椭圆的简单
几何性质(二)
2.椭圆 上的点M到左准线
的距离是5，求M到右焦点的距离.
讲授新课
例2
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
讲授新课
例2
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
P
讲授新课
例2
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
P
a-c
讲授新课
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
P
例2
a-c
讲授新课
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
P
P
例2
a-c
讲授新课
求|PF1|的最小值和最大值.
y
x
O
l1
a＋c
P
P
例2
1.点P与定点F(2，0)的距离与它到定直
线x＝8的距离之比为1：2，求点P的轨
迹方程.
2.点P与定点F(2，0)的距离与它到定直
线x＝2的距离之比为1：2，求点P的轨
迹方程.
练习2
例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的
椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
面439km，远地点B
(离地面最远的点)距
地面2384km，并且
F2、A、B在同一直
线上，地球半径约
为6371km，求卫星
运行的轨道方程(精
确到1km)．
F2
F1
A
B
C
D
例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的
椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
面439km，远地点B
(离地面最远的点)距
地面2384km，并且
F2、A、B在同一直
线上，地球半径约
为6371km，求卫星
运行的轨道方程(精
确到1km)．
y
F2
F1
x
A
B
C
D
O
例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的
椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
面439km，远地点B
(离地面最远的点)距
地面2384km，并且
F2、A、B在同一直
线上，地球半径约
为6371km，求卫星
运行的轨道方程(精
确到1km)．
2384
6371
y
F2
F1
x
A
B
C
D
439
O
例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为
直角；
x
y
O
F1
F2
B
例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为
直角；
x
y
O
F1
F2
B
b
c
a
a
c
例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与
短轴的端点间的距离.
x
y
O
F1
F2
B
b
a
A
1.已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率
练习3
2.
思考 F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2
的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，
且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.2.1.1椭圆及其标准方程（二）
理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导
【复习引入】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程： EMBED Equation.3 （＞＞0）焦点F1( c, 0)、F2(c, 0) 在x轴上，且c2＝a2－b2. EMBED Equation.3 （＞＞0）焦点F1(0, c)、F2(0,c)在y轴上，且c2＝a2－b2.【讲授新课】练习.下列哪些是椭圆方程 如果是,请指出其焦点所在的坐标轴． 对椭圆及其标准方程的理解：⑴ 椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上；⑵ a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在 x轴上为(－c, 0) 、 (c, 0) ，在 y 轴上为(0, －c)、(0, c)；⑶ 形如 Ax2＋By2＝C 的方程中，只要A、B、C同号(A≠B)，就表示椭圆．例1 已知B、C是两个定点, |BC| ＝6, 且△ ABC的周长等于16, 求顶点A的轨迹方程.解:如右图建立坐标系,使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.∵|AB|＋|AC|＋|BC|＝16, |BC|＝6，∴|AB|＋|AC|＝10， 则点A的轨迹是椭圆,且2c＝6，2a＝10，∴ c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.但当点A在直线BC上，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是(y≠0).例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b；(4)求经过点A(3, )、B(2,3)的椭圆的标准方程.练习1. 如果椭圆F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是____14____.2. 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0, 2)，求m的值.3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) a＋c＝10， a－c＝4；(2)求经过两点的椭圆的标准方程.4. 椭圆的左、右焦点为F1、F2 ，一直线过F1交椭圆于A、B，则△ABF2的周长为( )A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【课后作业】见幻灯片2.1.2椭圆的简单几何性质（一）
椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）.
重点：椭圆的简单几何性质. 难点：椭圆的简单几何性质.
【复习引入】1. 椭圆的定义是什么？ 2. 椭圆的标准方程是什么？【讲授新课】利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x轴上椭圆为例(a＞b＞0)．1．范围：椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．2．对称性：在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程有变化吗？这说明什么？椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3．顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．小 结 ：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． EMBED Equation.3 练习 教科书P.41练习第5题．例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解： 椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，.焦点为F1(－3, 0)、F2(3, 0)，顶点是A1( 5,0)、A2(5,0)，B1(0, 4)、B2(0,4)．把已知方程化成标准方程x 012345y 43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．椭圆的简单作法:(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2); 解：(1)椭圆的标准方程是 (2)椭圆的标准方程为练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.【课后作业】见幻灯片(共19张PPT)
2.1椭圆及其
标准方程(四)
复习引入
1. 椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
(a＞b＞0)
或
3. 椭圆中a，b，c的关系？
练习 求经过点A(0, 2)和B
椭圆的标准方程.
的
复习引入
讲授新课
例1 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，
求动圆圆心的轨迹方程.
讲授新课
A
C
O
y
x
O1
O2
P
讲授新课
F2
F1
P
O
y
x
例2
讲授新课
练习
1.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1、
F2组成的三角形的周长是
讲授新课
练习
练习
2.如图所示，已知定点A(2,0)及圆B:
(x＋2)2＋y2＝25，圆心为B，点P在
圆上运动，若线段AP的垂直平分线
交BP于Q，求Q点
轨迹方程.
A
B
Q
O
y
x
P
课外作业
阅读教科书P32-37页
IlIlI(共10张PPT)
2.1.1椭圆及其
标准方程(三)
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a (大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫
做椭圆的焦距(设
为2c).
复习引入
1.椭圆的定义：
y
O
A
F1
F2
x
M
c
c
复习引入
2.椭圆的标准方程：
(a＞b＞0)
y
O
F1
F2
x
y
x
F2
F1
O
(a＞b＞0)
讲授新课
例1.
轨迹探求
讲授新课
例2.
轨迹探求
课堂练习
1. 如图，线段AB的两个端点A、B分别
在x轴、y轴上滑动，|AB|＝5，点M是
AB上一点.且|AM|＝2，点M随线段AB
的运动而变化，求点M的轨迹方程.
y
x
B
A
O
M
课堂练习
课堂小结
定义法、待定系数法、相关点法、
直接法
1.两种椭圆的标准方程：
当焦点在x轴上时，
当焦点在y轴上时，
2.求轨迹方程的方法:
(a＞b＞0)．
(a＞b＞0)．
课外作业
P42—A组7；B组1.
IlIlI(共13张PPT)
2.1.1椭圆及其
标准方程(二）
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a (大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫
做椭圆的焦距(设
为2c).
复习引入
1.椭圆的定义：
y
O
A
F1
F2
x
M
c
c
复习引入
2.椭圆的标准方程：
(a＞b＞0)
y
O
F1
F2
x
y
x
F2
F1
O
(a＞b＞0)
练习
讲授新课
下列哪些是椭圆方程 如果是，请指出
其焦点所在的坐标轴．
讲授新课
对椭圆及其标准方程的理解：
⑴椭圆标准方程中，哪个分母大，焦点
就在相应的哪条坐标轴上；
⑵a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点在x
轴上为(－c,0)、(c,0)，在y轴上为(0,－c)、
(0, c)；
⑶形如Ax2＋By2＝C的方程中，只要A、
B、C同号(A≠B)，就表示椭圆.
讲授新课
例1 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且
△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹
方程.
讲授新课
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，
且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和
(1,0)；
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(3)中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b；
(4)求经过点A(3, )、B(2,3)的椭圆的标
准方程.
讲授新课
1. 如果椭圆
F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点
F2的距离是______________.
练习
上一点P到焦点
讲授新课
2. 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个
焦点为(0, 2)，求m的值.
练习
讲授新课
(1) a＋c＝10， a－c＝4；
3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
练习
(2)求经过两点
的椭圆
的标准方程.
讲授新课
4. 椭圆
练习
的左、右焦点为F1、
F2 ，一直线过F1交椭圆于A、B，则
△ABF2的周长为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
课外作业
阅读教科书P32-34椭圆的标准方程
1．知识与技能目标：学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想. 2．过程与方法目标：通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.3．情感态度与价值观：引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.
重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.
小组讨论
过程分析教学环节教学程序设计意图认识椭圆创设情境，引入课题图片展示生活中的椭圆先用生活中的图片来介绍，例如彗星运行轨道等等这些例子来引出课题.观察图形，探求规律课件动态演示椭圆的形成过程通过动画演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象.让学生体会在变化中的变与不变及其内在联系.画出椭圆动手实验，亲身体会让学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心．定义椭圆归纳定义，学习定义由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳椭圆的定义.定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.椭圆定义的再认识问题：为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a =2c时轨迹是什么？(2)当2a <2c时轨迹又是什么？结论: (1)当2a >∣F1F2∣时，是椭圆；(2)当2a =∣F1F2∣时，是线段；(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹不存在.让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件.椭圆方程的推导合理建系，推导方程让学生回忆求圆的标准方程的步骤：建系——设点——列式——化简.①建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．②设点：设椭圆上任意一点.③列式：根据椭圆定义知，代人坐标得④化简：为使方程简单、对称，引入字母b，令，得标准方程为 请学生归纳焦点在y轴上椭圆的标准方程为：引导学生推导椭圆的标准方程，给学生较多思考问题的时间. 虽然化简式子会感到有困难，但我先让学生尝试，适当提示学生：化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，为了简洁应该先移项再平方.逐步尝试求出焦点在x轴上的椭圆标准方程.椭圆性质总结区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程图形标准方程焦点坐标定 义|MF1|+|MF2|=2 a (2>2c>0)a、b、c的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上把两种类型的椭圆方程推导出来，那这两类方程有什么相同点，有什么不同点呢？先让学生进行小组讨论，找出性质，再列出表格让学生填空.这样通过表格的对比可以对知识深化理解.精讲精练例题分析，讲练结合例1.根据下列方程，分别求出a、b、c (1)椭圆标准方程为，则 , , ； (2)椭圆标准方程为，则 , , ；(3)椭圆标准方程为，则 , , . 分析：本题的重点是第3小题，我提出3个问题：①这个是不是标准方程②怎么化成标准方程③观察方程,分别求出a、b、c的值等于什么？学会将不同形式的方程转化成标准方程，可以对方程有更深刻的理解.书本课后练习 P36 1、21.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) ，焦点在x轴上；(2) ，焦点在x轴上.例2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是、并且经过点；求它的标准方程.解法1：已知焦点，得出c；由定义，得出a；再由a、b、c的关系式得出b.由此解出方程.解法2：先设出方程，由焦点得c=2，列出a、b、c的关系式.运用方程的思想，联立方程组进行求解. 解题时教师与学生一起分析题目，让学生观察焦点的位置，画出草图，设出方程.解题时可以安排小组讨论. 而且要引起学生注意，a、b、c的关系式也是解决问题的一个重要条件，要学会运用好这个条件.例1设计意图是：加深学生对标准方程的理解和加深a、b、c关系式的应用.练习设计意图是：第1题让学生自己分析，巩固定义.第2题已知a、b、c三个量中的两个，只要确定焦点的位置就可以求出椭圆的方程.并且与例1互为逆向思维，可以加深学生对方程和系数的理解.例2设计意图是：让学生巩固定义，学习求椭圆方程的方法，学生要学会“先定位，再定量”.并且学习了数形结合的思想，方程的思想.知识巩固与应用巩固练习变式题：1.已知椭圆的焦点在y轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.通过引导分析：焦点分别在x轴和y轴时对应有不同的方程，需要分2类来说明.变式题1：与例2类似，可以让学生自主练习，巩固方程的求法和待定系数法.变式题2：引导学生观察,两道题条件有什么不同？当椭圆的焦点不确定时，应该如何选择方程？是否2类方程都适合呢？这道题在设计上难度逐步加深，目的是要巩固知识，学习分类讨论的思想.课堂小结本课主要探讨了椭圆定义并推导方程，掌握数形结合的思想，用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.本课的内容可用一句话概括为：一个定义，两类方程，四种方法.最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完善.作业布置必做题：书本课后习题 P42 2当时，求椭圆的标准方程.选做题：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是？巩固椭圆标准方程的相关知识.按照能力来选择作业也体现了分层教学的思想，还可以激发学生挑战自己的能力，激发兴趣.（五）、评价分析这节课我使用了多媒体、演示板教学，激发学生的学习兴趣，使学生动手操作，学会探索.在教学中要关注到学生的基础薄弱，必须扎实基础，突出重点。在对学生评价时，不仅要看到学生学习的知识，更要肯定学生积极向上的态度和勇于探究的精神.解析几何之椭圆
问题1：椭圆如何定义的，如何利用这个定义？
知识诊断：
平面内与两个定点的距离之和为常数,的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.，为焦距
当时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
注意：焦距要小于所给的常数即
典例分析：
例题1： (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【变式练习】
1. （2010·佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，则△AB的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3，△AB的周长为4a=12
2. (广雅中学2009—2010学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
3、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
[解析] 的周长为，=8
问题2：椭圆的标准方程是如何建立的
知识诊断：
椭圆的标准方程是在以两焦点的中心为坐标原点，两焦点所在的直线为坐标轴的条件下得出来的，焦点在横轴上，标准方程式：。焦点在纵轴上，标准方程为：。
典例分析：
例题1：设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，则
，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
【变式练习】
4. 如果方程表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为 焦点在y轴上，则，即k<1.
又k>0，∴05.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
6椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，
综上或3
问题3：求椭圆的标准方程的方法有哪些
知识诊断：
求椭圆的标准方程首先确定焦点在那条坐标上，然后求方程的有关参数，方法有三：一是直接根据定义由椭圆上的点到两焦点的距离和求，然后求，最后写标准方程。二是由条件列方程组求，写标准方程。三是利用待定系数法设标准方程。找有关的方程组求系数。
设标准方程时注意：当焦点不确定时，可设为：或
。
典例分析：
例题1：椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
[解析] ，，所求方程为或
【名师指引】根据题意选择合适的求法处理此题。
【变式练习】
1、（2010深圳模拟）设分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距。
（1）求椭圆的标准方程。
（2）设点，若直线分别于椭圆相交于异于的两点，证为钝角
解析：（定义法）不妨设焦点为，则点的横坐标也为，代入椭圆得，而是正三角形，所以，从而，故选。
（特值法）设，由是正三角形知，,所以椭圆的离心率，故选。
问题4：椭圆具哪些性质
知识诊断：1。离心率：2.、对称性：关于x轴、y轴和原点对称3、焦点：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。4、顶点：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。5、范围：：焦点在横轴上，焦点在纵轴上。6、点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
典例分析：
例题1： 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】此题为求椭圆的离心率（或范围）由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析] ，
，
【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【变式练习】
1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
[解析]选
2（江苏盐城市三星级高中2010届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
3.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
[解析] ，，选A
问题5：如何利用椭圆的几何性质解题
知识诊断：椭圆性质包括：范围、对称性、顶点、离心率等利用这些解题时要将所给的几何性质转化为代数形式，列有关方程解有关的系数，注意隐含条件的应用，如椭圆的范围常用于解决有关的最值或取值范围问题，其对称性用于设对称点的坐标。
典例分析：
例题1：已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】 把看作的函数
[解析] 由得,
当时, 取得最小值,当时, 取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【变式练习】
1.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,
2.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点________________
［解析］由椭圆的对称性知：
问题6：椭圆中的最值问题
知识诊断：主要是动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值，注意性质的应用
典例分析：
例题1：椭圆上的点到直线l: 的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设. 那么点P到直线l的距离为：
【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【变式练习】
:1.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为，
矩形的面积
2. 是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
[解析]
当时，取得最大值，
当时，取得最小值
3. （2010·惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又，
是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
解析：因为点在椭圆上，设点，则
问题7：椭圆的知识的综合应用
知识诊断：主要是椭圆与向量、解三角形的交汇问题
例题1：已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为
得
∵ ∴ ∴
消去，得，∴
整理得
时，上式不成立；时，，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴>0，∴－1容易验证成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【变式练习】
1. (2010·广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
B.
C. D.
[解析] ，选A.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐
标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得
∴动点P的轨迹方程为，，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由
∴方程有两个不等的实数根
∵∠MBN是钝角
即 解得：
又M、B、N三点不共线
综上所述，k的取值范围是
【演练广场】
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( )
A B C D
[解析] B .
2. （广东省四校联合体2009-2010学年度联合考试）设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为
A、0 B、1 C、2 D、3
[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，
3. (广东广雅中学2009—2010学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
[解析] D. ,,两式相减得：，，
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
5. 已知F1、F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] 6. (2010江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
由已知 ①
由 得：
∴，即 ②
由①②得：
故椭圆E方程为
8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵点是线段的中点 ∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴
9. (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点 若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为,,.
设椭圆的标准方程是.
.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为，
联立方程:
消去整理得, 有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以, , 即
所以, 即 得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
10、 从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点,且.
求该椭圆的离心率.
[解析] ⑴、 ，∥，
，
又，,
而.
高考真题再现
1、（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）A． B． C． D．
【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
【解析】对于椭圆，因为，则
2.（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。
直线的方程为：；
直线的方程为：。二者联立解得：，
则在椭圆上，
，
解得：
3.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．
【解析】，，，，则所求椭圆方程为.
4.（2009上海卷文）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 .
【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3。
5、已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G 请说明理由.
【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
6.（2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．
7、(2009山东卷理)设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
8.（2009安徽卷文）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线y=x+2相切，
（Ⅰ）求a与b；
（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。
【思路】（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.
（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。
【解析】（1）由于 ∴ ∴ 又 ∴b2=2,a2=3因此，.
（2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t≠0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得
,其轨迹为抛物线（除原点）
9. （2009天津卷文）（已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且
（Ⅰ求椭圆的离心率 （Ⅱ）直线AB的斜率；
（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】 （1）解：由，得,从而
，整理得，故离心率
（2）解：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由已知设则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得
依题意，
而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以
联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得
(3)由（2）知，，当时，得A由已知得
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故
当时，同理可得
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。
10. （2009辽宁卷文）已知椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以
，
。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
，
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
11、（2009宁夏海南卷文）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1
（1）、求椭圆的方程。（2）、若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解析：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得
而，故 ①
由点P在椭圆C上得
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
12、（2010全国卷2理数）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
13、（2010广东文数）.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
14、（2010福建文数）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
15、（2010上海文数）.已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1) ；
(2) 由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2k1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
16、（2010辽宁文数） 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解析：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
（Ⅱ）设直线的方程为
联立
解得
因为 即 得
故椭圆的方程为
17、（2010山东文数）（22）（本小题满分14分）
如图，已知椭圆过点.
，离心率为，左、右焦点分别为、
.点为直线上且不在轴上的任意
一点，直线和与椭圆的交点分别为、
和、，为坐标原点.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线、的斜线分别为、.
（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
O
x
y
D
P
A
B
C
Q
O
A
B
C
D
图8
PAGE
112.1.1椭圆及其标准方程（三）
理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导.
【复习引入】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) . 2.椭圆的标准方程：（＞＞0） （＞＞0）【讲授新课】 EMBED Equation.3 解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x0, y0),则x＝x0, y＝ 得x0＝x， y0＝2y.∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,即所以点M的轨迹是一个椭圆. 解法二:设线段PQ中点为M(x, y)．∵圆的参数方程：∴点M轨迹的参数方程：M点的轨迹方程： EMBED Equation.3 解:设顶点C的坐标为(x, y).由题意得∴顶点C的轨迹方程为(x≠0).(y≠±6)(x≠±6)(y≠0)课堂练习1.如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|＝5，点M是AB上一点.且|AM|＝2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程.【课堂小结】1.两种椭圆的标准方程：当焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）当焦点在轴上，则标准方程为（＞＞0）2.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 【课后作业】见幻灯片(共16张PPT)
2.1.2椭圆的简单
几何性质(三)
B
D
3. F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2
的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，
且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.
F
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
P
F
Ⅲ
Ⅰ
P
B
Ⅱ
IlIlI2.1.2 椭圆的简单几何性质(四)
复习导入3. 当m取何值直线l : y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离.讲授新课例1已知椭圆的两个焦点为离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y=x+m，若l与椭圆交于P、Q两点，且∣PQ∣等于椭圆的短轴长，求m的值. EMBED Equation.3 例2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y＝x＋1与该椭圆交于点P、Q，且求椭圆的方程.例3 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.课后作业：见幻灯片(共17张PPT)
第二章
圆锥曲线与方程
2.1.1椭圆及其
标准方程(一）
Start Planet Motion
复习引入
F1
F2
M
动手实践：
取一条一定长的细绳，把它的两端
固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长
大于F1和F2的距离时，用笔尖把绳子拉
紧，使笔尖在图板上慢慢移动，看看你
会得到什么图形
1. 椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离
的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
讲授新课
如图，建立直角坐标系xOy，
使x轴经过点F1、F2，并且
点O与线段F1F2的中点重合.
y
O
F1
F2
x
M
c
c
设点M(x, y)是椭圆上任一点，
椭圆的焦距为2c(c＞0).
焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)．
又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
|MF1|＋|MF2|＝2a
2. 椭圆标准方程的推导：
讲授新课
y
O
F1
F2
x
c
M
a
b
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
讲授新课
(a＞b＞0).
椭圆的标准方程：
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点
讲授新课
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2
的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)，
则椭圆方程为：
(a＞b＞0).
y
x
F2
F1
O
讲授新课
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
y
O
F1
F2
x
y
x
F2
F1
O
讲授新课
练习
1. 判断下列椭圆的焦点位置，指出焦点
的坐标：
讲授新课
练习
2. 设F1(－3, 0)、F2(3, 0)，
且|MF1|＋|MF2|＝6，
则点M的轨迹是 .
讲授新课
例1 方程
表示焦点在
y轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
讲授新课
例2 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个
焦点为(0, 2)，求m的值.
讲授新课
(1)两个焦点坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭
圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0, －2)和(0, 2)，
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
课堂小结
1．椭圆的定义．
2．椭圆的标准方程：
(1)若焦点在x轴上，
(2)若焦点在y轴上，
(a＞b＞0)．
(a＞b＞0)．
P42—A组第1、2题.
课外作业2.1.2 椭圆的简单几何性质(三)
一、焦半径二、离心率三、综合练习F1、F2 为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；②a1－c1=a2－c2；③c1a2＞a1c2；④ ．其中正确式子的序号是（ B ）A.①③ B.②③ C. ①④ D.②④课外作业：见幻灯片
