2020-2021学年八年级数学北师大新版下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年北师大新版八年级下册数学《第1章
三角形的证明》单元测试卷
一．选择题
1．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD＝80°．在AC上取一点D，使AD＝AP，则∠DPC的度数是（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
2．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（　　）
A．6
B．3
C．9
D．12
4．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（　　）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
5．如图，△ABC中，BC＝cm，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长为（　　）
A．
cm
B．10cm
C．
cm
D．不能确定
6．如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．OA＝OC
B．点O到AB、CD的距离相等
C．点O到CB、CD的距离相等
D．∠BDA＝∠BDC
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，且CD⊥AB，则∠BCD＝（　　）
A．∠ACD
B．2∠A
C．∠A
D．∠A
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，则图中的等腰三角形的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，AB＝AC，∠A＝36°，∠1＝∠2，∠ADE＝∠EDB，则图中等腰三角形有（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．下列是命题的是（　　）
A．作两条相交直线
B．∠α和∠β相等吗？
C．全等三角形对应边相等
D．若a2＝4，求a的值
二．填空题
11．在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠A＝60°，则BC＝　
　．
12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝15cm，则点D到AB边的距离为　
　cm．
13．下列命题中，真命题是　
　（填序号）．
①如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2是对顶角；
②中国是世界上人口最多的国家；
③如果∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠AOB+∠BOC＝180°．
14．如图，Rt△ABC中，直角边是　
　，斜边是　
　．
15．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法，即　
　公理．
16．已知：三条直线l1、l2、l3，l1∥l2，l2∥l3，求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，第一步应假设　
　．
17．直角三角形中，一个锐角为30°，斜边与较小边的和为12cm；则斜边长为　
　cm，这个三角形的面积为　
　cm2．
18．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若AB＝3，则AC＝　
　．
19．在△ABC中，AB＝AC，如图，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝BD＝BC，BE＝DE＝DC，则图中等腰三角形有　
　个，∠BDC＝　
　度．
20．等腰三角形的周长为18cm，其中一边为8cm，则另两边的长分别为　
　．
三．解答题
21．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E分别为垂足，那么△BCD与△CBE全等吗？为什么？
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．
23．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD．求证：点D在BE的垂直平分线上．
24．如图，已知：AB＝AC，DB＝DC，
求证：AD⊥BC．
25．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积．
26．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在△APD中，AP＝AD
∴∠APD＝∠ADP＝80°
∴∠PAD＝180°﹣80°﹣80°＝20°
∴∠BAP＝60°﹣20°＝40°
∴∠APC＝∠B+∠BAP＝60°+40°＝100°
∴∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝100°﹣80°＝20°．
故选：C．
2．解：已知三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，
根据等腰三角形的三线合一的性质得到其两个内角所在的两边均相等，
即其三边相等，则这是个等边三角形．
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AC＝6，
∴AD＝AC＝×6＝3，
AB＝2AC＝2×6＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．
故选：C．
4．A、符合HL，能判定全等；
B、两锐角对应相等不能判定出这两个直角三角形全等；
C、知道两直角边，可以求得第三边，从而利用SSS，能判定全等；
D、知道斜边和一锐角，可以推出另一角的度数，符合AAS，能判定全等．
故选：B．
5．解：∵AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴BC＝BD+CE+DE＝AD+AC+DE＝10cm．
故选：A．
6．解：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC
∴△ADC≌△ABC
∴∠DCA＝∠BCA
∴点O到CB、CD的距离相等．
故选：C．
7．解：∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠B
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°﹣∠A，
∵CD⊥AB
∴∠B+∠BCD＝90°
∴∠BCD＝∠A．
故选：C．
8．解：∵∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴AB＝AC，∠EBO＝∠OBC＝∠OCB＝∠OCF，
∴OB＝OB，
∴△ABC，△OBC是等腰三角形，
又∵EF∥BC，
∴∠AEC＝∠ABC＝∠AFE＝∠ACB，∠EOB＝∠OBC＝∠FOC＝∠OCB，
∴AE＝AF，OE＝EB，OF＝FC，
∴△AEF，△OEB，△OFC是等腰三角形，共5个等腰三角形．
故选：D．
9．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠1＝∠2＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠2＝72°，
∵∠ADE＝∠EDB，
∴∠ADE＝36°，∠EDB＝72°，
∴∠BED＝180°﹣∠1﹣∠BDE＝72°，
∴∠A＝∠ADE＝∠1＝∠2，∠C＝∠BDC＝∠BDE＝∠BED，
∴△ADE，△ABC，△BDE，△BCD，△ADB是等腰三角形．
故选：C．
10．解：A、“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误；
B、“∠α和∠β相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以A选项错误；
C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D、“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵AB＝AC＝10cm，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝10cm．
故填10cm．
12．解：作DE⊥AB，
∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB
∴∠C＝∠DEA＝90°，∠CAD＝∠EAD．
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE＝CD
∵BD：DC＝3：2，BC＝15cm
∴CD＝15×＝6
∴DE＝6
∴点D到AB边的距离为6cm．
13．解：①如果∠1＝∠2，那么∠1与∠2不一定是对顶角，故此选项错误，是假命题；
②中国是世界上人口最多的国家，是真命题；
③如果∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠AOB+∠BOC＝180°，是真命题．
故答案为：②③．
14．解：Rt△ABC中，直角边是AC、BC，斜边是AB．
故答案为：AC、BC；AB．
15．解：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法，即斜边直角边公理．
16．解：∵求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
∴第一步应假设l1与l3不平行，则设相交于点A．
故答案为：l1与l3不平行，则设相交于点A．
17．解：如图，∵Rt△ABC的∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AB+AC＝12，
∴2AC+AC＝12，
解得AC＝4cm，
AB＝2×4＝8cm；
由勾股定理得，BC＝＝＝4cm，
∴三角形的面积＝×4×4＝8cm2．
故答案为：8；8．
18．解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3．
19．解：（1）∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，BE＝DE＝DC
∴等腰三角形分别为：△ABC，△ADB，△BCD，△BED，△EDC，共5个．
（2）∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A
∴∠C＝2∠A
∵AB＝AC
∴∠C＝∠ABC＝2∠A
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°
∴5∠A＝180°
∠A＝36°
∴∠BDC＝2×36°＝72°．
故填5、72．
20．解：①8cm是腰长时，18﹣8×2＝2cm，
所以，其余两边长为2cm、8cm，
②8cm是底边时，（18﹣8）＝5cm，
所以，其余两边长为5cm、5cm，
故答案为：2cm、8cm或5cm、5cm．
三．解答题
21．解：△BCD≌△CBE．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°．
又∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，
∴△BCD≌△CBE．
22．解：△AGF是等腰三角形；
理由：∵GE∥AD，
∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GFA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠G＝∠GFA，
∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形．
23．证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBE＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴点D在BE的垂直平分线上．
24．证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的中垂线上．
∵DB＝DC，
∴点D在BC的中垂线上．
∴AD⊥BC．
25．解：过点D作DF⊥BC于点F．
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2．
∴△ABC的面积为cm2．
26．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM＝∠BAM＝90°．
∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°．
∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°．
同理：∠N＝∠G＝60°．
∴△MNG为等边三角形．