2020-2021学年八年级数学人教版下册第十八章《平行四边形》培优练习（五）（word版含解析）

八年级下册第十八章《平行四边形》
培优练习（五）
1．如图，四边形AOBC为正方形，E为AC的中点，连接OE，OE＝．
（1）求点C的坐标；
（2）F为AC上一点，∠FOB＝2∠AOE，
①求点F的坐标；
②作点A关于OF的对称点H，连接AH和BH，则∠AHB的度数为　
　；BH的长度为　
　．（直接写出结果）
2．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．
3．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．
4．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝　
　．
5．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝4，∠BCD＝120°，求菱形ABCD的面积．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．
7．（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝5cm，BC＝3cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，求BD的长．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形ADCF矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，
（1）证明：△ADE≌△DCB；
（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；
（3）若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是多少？
10．如图1，四边形ABCD是正方形，AB＝4，点G在BC边上，BG＝3，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求BF和DE的长；
（2）如图2，连接DF、CE，探究并证明线段DF与CE的数量关系与位置关系．
参考答案
1．解：（1）∵四边形AOBC为正方形，
∴OA＝AC＝CB＝BO，∠OAC＝∠ACB＝∠CBO＝∠BOA＝90°，
∵E为AC的中点，
∴AE＝EC＝x，则AC＝AO＝2x，
在Rt△AOE中：，解得：x＝1，
∴OA＝AC＝2，
∴C（2，2）．
（2）①取BC中点M，延长OM交AC延长线于点N，
∵OA＝OB，∠OAE＝∠OBM，AE＝BM，
∴△AOE≌△OBM（SAS），
∴∠AOE＝∠BOM
又∵∠FOB＝2∠AOE，
∴∠FOM＝∠BOM＝∠AOE，
又∵CN∥OB，
∴∠BOM＝∠CNM，
∴∠FOM＝∠FNO，
∴FO＝FN，
∵BM＝MC，∠MCN＝∠MBO＝90°，∠BOM＝∠CNM，
∴△CMN≌△BMO（AAS），
∴CN＝OB＝2，
设CF＝x，则AF＝2﹣x，NF＝2+x＝FO，
在Rt△AOF中：AF2+AO2＝OF2，
∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得：x＝0.5，
∴F（1.5，2）．
②如图2，连接OH，AB，则AB＝AC＝2．
∵A与H关于AF对称，
∴∠AOF＝∠HOF，OH＝OA＝OB，OF垂直平分AH，
作OP⊥BH于P，则∠BOP＝∠HOP，
∵∠AOH+∠BOH＝∠AOB＝90°，
∴∠FOP＝45°，
∵∠OQH＝∠OPH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣∠FOP＝135°，
∵F（1.5，2），
∴AF＝1.5，
∴OF＝2.5，
∴AH＝2AQ＝＝＝，
作BN⊥AH于N，则∠BHN＝∠HBN＝45°，
∴BN＝HN＝x，
∴BH＝x，AN＝AH+HN＝+x，
在Rt△ANB中：AB2＝AN2+BN2，
∴8＝+x2，解得，（舍），
∴BH＝．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE＝AO＝，
∴EF＝2OE＝2，
∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
3．（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
在等边△ABC和等边△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）证明：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G．
∴∠G＝∠BDF，
∵∠ADE＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝30°，
∴∠G＝30°，
由（1）可知，BD＝CE，∠CEA＝∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝30°＝∠G，
∴CE＝CG，
∴BD＝CG，
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
即F为BC的中点．
4．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
又∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD＝AB＝2，
∵四边形CFDE是正方形，
∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵AB⊥BF，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BC＝，
故答案为：．
5．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝×4＝2，OB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD的面积＝．
6．（1）证明：∵DE＝OC，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，
∴在△ACE中，AE＝＝2．
7．解：（1）BD＝CE，
理由是：∵△ABE和△ACD是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS）
∴BD＝CE；
（2）如图2，连接EB、EC，
∵四边形ACMD和四边形ABNE是正方形，
∴AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝90°
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵∠EBA＝∠ABC＝45°
∴∠EBC＝90°
∵AE＝AB＝5，∠EAB＝90°，
∴BE＝5，
∵BC＝3
∴EC＝＝＝，
∴BD＝EC＝；
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝5，BE＝5，
又∵∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（5﹣3）cm．
8．解：
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，且AD为BC边上的中线，
∴AD⊥CD，
即∠ADB＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（3）解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，则四边形ADCF是菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC边的中线，
∴AD＝DC＝BC，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF是菱形．
9．（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠CDB＝∠DAE，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△DCB中，，
∴△ADE≌△DCB（ASA）；
（2）解：四边形BCDE是矩形；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△DCB，
∴DE＝BC＝4，BD＝AE＝5，
又∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是矩形；
（3）解：在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，
由勾股定理得：CD＝＝3，
∴AD＝CD＝3，
∵四边形BCDE是矩形，
∴CD＝BE＝3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18．
10．解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
在Rt△ABG中，AG＝＝5，
∵?AG?BF＝?AB?BG，
∴BF＝＝，
∴AF＝＝＝，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴DE＝AF＝；
（2）DF＝CE，DF⊥CE．理由如下：
作CH⊥DE于H，如图2，
∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF＝，
∴EF＝AF﹣AE＝，
与（1）的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，
∴CH＝DE＝，DH＝AE＝，
∴EH＝DE﹣DH＝，
∴EH＝EF，
在△DEF和△CHE中
，
∴△DEF≌△CHE，
∴DF＝CE，∠EDF＝∠HCE，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠CHD＝90°，
∴DF⊥CE．
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