1.4.1
角平分线的性质与判定
一.选择题
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.
[2019湖南张家界中考]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于( )
A.4
B.3
C.2
D.1
(2019·湖州)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24
B．30
C．36
D．42
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.有下列结论：
①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；
③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．(中考·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是(
)
A．∠BAC＝70°
B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35°
D．∠DAC＝55°
6.【2020·贵阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A．无法确定
B.
C．1
D．2
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,AB=6,则△DEB的周长为
( )
A.6
B.8
C.10
D.12
8.
[2020新疆乌鲁木齐期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点D.若△ABC的面积为9,则△ACD的面积为
( )
A.3
B.
C.6
D.
9.【2019·陕西】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为( )
A．2＋
B.＋
C．2＋
D．3
10．【2019·烟台】已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为( )
A．15°
B．45°
C．15°或30°
D．15°或45°
11.(2019·滨州)如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
填空题
12
.
如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,过点P作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为__________
如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB交OA于点C,PD⊥OB于点D,如果PC=6,那么PD的长为_______.?
14
.[2020江苏无锡期末]如图,已知CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,垂足为E,若AC=4,BC=10,△ABC的面积为14,则DE的长_____为 .?
15
.[2020广东深圳南山区期末]如图,AD∥BC,CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC,AB过点P,且与AD垂直,垂足为A,交BC于B,若AB=10,则点P到DC的距离是_______.?
三，计算证明题
16．(2020·衡阳)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
17．(中考·长春)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，
∠ABD＜90°.求证：
DB＝DC.
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
(1)若点P到直线BA的距离是5
cm，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．
19．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BF交CE于点D，BD＝CD.
(1)求证：点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，命题成立吗？试说明理由．
课外兴趣小组活动时,许老师给出了如下问题:如图1,已知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.
(1)【特殊情况入手】添加条件:∠B=∠D,如图2,可证AB+AD=AC.(请你完成此证明)
(2)【解决原来问题】受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线,如图3,过点C分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F.(请你补全证明过程)
1.4.1
角平分线的性质与判定
一选择题
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( A )
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.
[2019湖南张家界中考]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于( C )
A.4
B.3
C.2
D.1
【点拨】如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AC=8,DC=AD,∴CD=8×=2.∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=
CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.
(2019·湖州)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( B )
A．24
B．30
C．36
D．42
【点拨】如图，作DH⊥AB，DH交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD
＝×6×4＋×9×4＝30.
【答案】B
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.有下列结论：
①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；
③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.
其中正确结论的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】①由角平分线的性质得CD＝ED，正确；
②由“HL”可证Rt△ADC≌Rt△ADE，所以AC＝AE，则AC＋BE＝AE＋BE＝AB，正确；
③因为∠BDE＋∠B＝90°，∠BAC＋∠B＝90°，所以∠BDE＝∠BAC，正确；
④由△ADC≌△ADE可得∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠CDE，正确．
【答案】D
5．(中考·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是(
C
)
A．∠BAC＝70°
B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35°
D．∠DAC＝55°
6.【2020·贵阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( C )
A．无法确定
B.
C．1
D．2
【点拨】如图，过点G作GH⊥AB于H.
由作图可知，BG平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1.故选C.
【答案】C
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,AB=6,则△DEB的周长为
( A )
A.6
B.8
C.10
D.12
【点拨】 ∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD,∴AC=AE,又∵AC=CB,∴AE=CB,∴△DEB的周长=
DE+
BD+BE=CD+BD+BE=CB+BE=AE+BE=AB=6.故选A.
8.
[2020新疆乌鲁木齐期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点D.若△ABC的面积为9,则△ACD的面积为
( A )
A.3
B.
C.6
D.
【点拨】 如图,过点D作DH⊥AB于点H,由题意知AD平分∠BAC,∴DC=DH,
∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC=AB,∴S△CDA=S△ABD,∴S△CDA=S△ABC=×9=3.故选A.
9.【2019·陕西】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为( A )
A．2＋
B.＋
C．2＋
D．3
【点拨】如图，过D作DF⊥AC于F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝1.
在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2ED＝2，
在Rt△DFC中，∠C＝45°，∴∠FDC＝∠C＝45°，
∴FC＝FD＝1，∴CD＝＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝2＋.
10．【2019·烟台】已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为( D )
A．15°
B．45°
C．15°或30°
D．15°或45°
【点拨】点C落在∠POA内和落在∠POB内，∠BOC的度数分别是45°和15°.本题易因考虑不全而漏解．
【答案】D
11.(2019·滨州)如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】由SAS证明△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，故①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得∠AMB＋∠OAC＝∠AOB＋∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确；
作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由全等三角形的性质得出∠OCG＝∠ODH，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG＝OH，由角平分线的判定定理可得MO平分∠BMC，故④正确；
由已知条件不能得到OM平分∠BOC，故③错误．
【答案】B
填空题
12
.
如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,过点P作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为_____4_____
【点拨】 如图,过点P作MN⊥AD,交AD于点M,交BC于点N,
∵AD∥BC,∴PN⊥BC,
∵AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,PE⊥AB,
∴PM=PE=2,PN=PE=2,
∴MN=PM+PN=4.
如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB交OA于点C,PD⊥OB于点D,如果PC=6,那么PD的长为___3____.?
【点拨】过点P作PE⊥OA于点E,∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,
∴PD=PE.
∵PC∥OB,∠AOB=30°,
∴∠ECP=
∠AOB=30°.在Rt△ECP中,PE=PC=3,
∴PD=PE=3.
14
.[2020江苏无锡期末]如图,已知CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,垂足为E,若AC=4,BC=10,△ABC的面积为14,则DE的长__2___为 .?
【点拨】 如图,过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F.
∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,
∴DF=DE.∵△ABC的面积为14,
∴S△BCD+S△ACD=14,∴×DE×10+×DF×4=14,即5DE+2DE=14,∴DE=2.
15
.[2020广东深圳南山区期末]如图,AD∥BC,CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC,AB过点P,且与AD垂直,垂足为A,交BC于B,若AB=10,则点P到DC的距离是___5____.?
【点拨】 如图,过点P作PE⊥DC于点E,
∵AD∥BC,PA⊥AD,
∴PB⊥CB,
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC,
∴PA=PE,PB=PE,∴PE=PA=PB,
∵PA+PB=AB=10,
∴PA=PB=5,∴PE=5,即点P到DC的距离是5.
三，计算证明题
16．(2020·衡阳)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED与△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF；
(2)解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°.
17．(中考·长春)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，
∠ABD＜90°.求证：
DB＝DC.
【思路点拨】过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，且DF交AC的延长线于点F.欲证明DB＝DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
(1)证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，且DF交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠ABD＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC.
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
(1)若点P到直线BA的距离是5
cm，求点P到直线BC的距离；
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．
(1)解：过点P作PF⊥BE于点F，如图所示．
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于点H，PF⊥BE于点F，
∴PF＝PH＝5
cm，
即点P到直线BC的距离为5
cm.
(2)证明：如图，连接AP.
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于点D，PF⊥BE于点F，
∴PF＝PD.
由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH.
又PH⊥BA，PD⊥AC，∴AP平分∠HAC，
即点P在∠HAC的平分线上．
19．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BF交CE于点D，BD＝CD.
(1)求证：点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，命题成立吗？试说明理由．
【思路点拨】欲证点D在∠BAC的
平分线上，实质是证DE＝DF；
(1)证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.
∴点D在∠BAC的平分线上．
【思路点拨】欲证BD＝CD，可利用全等三角形的对应边相等来证明．
(2)解：成立．理由如下：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(ASA)．∴BD＝CD.
课外兴趣小组活动时,许老师给出了如下问题:如图1,已知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.
(1)【特殊情况入手】添加条件:∠B=∠D,如图2,可证AB+AD=AC.(请你完成此证明)
(2)【解决原来问题】受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线,如图3,过点C分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F.(请你补全证明过程)
【思路点拨】(1)由题意,知∠B=∠D=90°,∠CAD=∠CAB=30°,
∴AB=AC,AD=AC,
∴AB+AD=AC.
(2)由(1)知AE+AF=AC.
∵AC平分∠DAB,CF⊥AD,CE⊥AB,
∴CF=CE,∠CFD=∠CEB=90°.
∵∠ABC与∠D互补,∠ABC与∠CBE互补,
∴∠D=∠CBE,
∴Rt△CDF≌Rt△CBE,∴DF=BE,
∴AB+AD=AB+AF+FD=AB+BE+AF=AE+AF=AC.
