河北省衡水中学11-12学年高一上学期二调考试（数学）

2011—2012学年度第一学期第二次调研考试
高一年级数学试卷
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设是函数的零点．若，则的值满足 （ ）
A． B． C． D．的符号不确定
3. 已知，满足，且，则 等于（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4. 对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得(　　)
A．a ，b B．a ，b⊥ C．a⊥，b⊥ D．a ，b∥
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是(　　)
A．三角形 B．菱形但不是正方形
C．正方形 D．邻边不等的矩形
6. 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为(　　)
A．29cm　　 B．30cm　
C．32cm　 　 D．48cm
7. 下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，可知几何体的表面积是(　　)
A．18＋
B．18＋2
C．17＋2
D．16＋2
8. 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积
之比为(　　)
A.∶2 B.2∶1 C.∶2 D．3∶2
9. 三棱锥中，，是等腰直角三角形，.若为中点，则与平面所成的角的大小等于( )
A. B. C. D.
10.已知函数，其图象上两点的横坐标，满足,
且,则有 ( )
A． B． C． D．大小不确定
11. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，
使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ADC⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABD⊥平面ABC
12.已知不重合的平面、β和不重合的直线m、n，给出下列命题：
m∥n，n m∥；
m∥n，n m与不相交;
∩β＝m，n∥，n∥β n∥m；
∥β，m∥β，m m∥；
m∥，n∥β，m∥n ∥β；
m ，n β，⊥β m⊥n；
m⊥，n⊥β，与β相交 m与n相交；
m⊥n，n β，mβ m⊥β;
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13.函数的单调递增区间为
14.已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，面ABC,高为5，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_______
15.如图是 一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，
则在原正方体中，
①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；
④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC.
所给关系判断正确的是_____．
16.定义在R上的函数满足，且当时，，则=
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17. 设关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）当时,求集合；
（2）若,求实数的取值范围.
18. 已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上
的动点．
(1) 是否无论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
(2) 求直线PA与底面ABCD所成角的正切值.
19.如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，BC＝CD＝AB＝2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体
A－BCDG.
(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；
(2)求三棱锥C－ABD的体积．
20.已知函数（为实数，，）．
（1）当函数的图像过点，且方程有且只有一个根，求的表达式；
（2）若 当，，，且函数为偶函数时，试判断能否大于？
21. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上．
(1) 求二面角P－DB－C的正弦值；
(2) 求点C到平面PBD的距离．
22.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．
2011—2012学年度第一学期第二次调研考试
高一年级数学试卷
一、选择题: DABDB ABCBC AD
二、填空题: (3,6) 13 ①②④⑤
三、解答题： 17：解：(Ⅰ)当时, 由已知得. 解得.
所以. …………………2分
(Ⅱ) 由已知得. …………………3分
①当时, 因为，所以.
因为，所以，解得;
……………5分
②若时, ，显然有，所以成立;
……………7分
③若时, 因为，所以.
又，因为，所以,解得.…9分
综上所述,的取值范围是. ……………10分
18解：　(1)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.------1分
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD，且BD 平面ABCD，∴BD⊥PC.
又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.
∵不论点E在何位置，都有AE 平面PAC.
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.----------6分
（2）面ABCD,故即为直线PA与底面ABCD所成的角，------8
-----------12
19 (1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变，∴CD∥BG.
∵E、F分别为线段AC、BD的中点，∴在△ACD中，EF∥CD，
∴EF∥BG.-----------3
（注：要用平行公理进行直线EF∥BG的证明，否则扣除2分）
又EF 平面ABG，BG 平面ABG，∴EF∥平面ABG.-------6
(2)解：由已知得BC＝CD＝AG＝2，证AG⊥平面BCDG，即点A到平面BCDG的距离AG＝2，
∴VC－ABD＝VA－BCD＝S△BCD·AG＝××2＝.----12分（缺AG⊥平面BCDG证明过程扣2分）
20解：（1）因为，所以.
因为方程有且只有一个根，所以.
所以. 即，. 所以. ………4分
（2）为偶函数，所以.　所以.
所以　
因为，不妨设，则.又因为，所以.
所以. 此时.
所以． …………… 12分
21.证明：（1）过O作OE⊥BD于点E，连接PE
∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，∴BD⊥PE，∴∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，
在△POE中，PE＝3，OE＝1，PO＝2，则sin∠PEO＝；----6分
(2)VC－PBD＝VP－BCD，∴××h＝××2，解得h＝2.
即点C到平面PBD的距离为2----12分
22 解： (1)EF⊥平面ABC.---2分
证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD＝90°，
所以BC⊥CD，又AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.----6分
(2)∵CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，∴BE⊥CD，
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BDtan60°＝，则AC＝，
当BE⊥AC时，BE＝＝，AE＝，
则＝＝，即λ＝＝时，BE⊥AC，又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD，
∵BE 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.所以存在λ，且当λ＝ 时，平面BEF⊥平面ACD.-------12