河北省衡水中学11-12学年高二上学期四调考试（数学文）

2011—2012学年度高二上学期四调考试
高二年级(文科)数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）．
A． B． C． D．
2. 下列求导运算正确的是( )
A． B．
C．= D．
3.函数是减函数的区间为( )
A． B． C． D．（0，2）
4． 下列各数中最小的一个是 （ ）
A．111111（2） B．210（6）
C．1000（4） D．101（8）
5.曲线上一点和坐标原点的连线恰好是该曲线的切线，则点的横坐标为(　 　)
A．e　　　　　　　　　　 B.
C．e2 D．2
6. 执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
A．120 B．720
C．1440 D．5040
7. 已知直线交抛物线于、两点，则△（ ）
A为直角三角形 B为锐角三角形
C为钝角三角形 D前三种形状都有可能
8. 连接椭圆的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数的导函数
的图像如图所示。则（ ）
A. B. C. 或 D.以上都不正确
10. 已知抛物线的焦点F恰为双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 ( )
A． B．＋1 C．2 D．2＋
11. 方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是(　 　)
A．3 B．2
C．1 D．0
12. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( 　　)
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③ B．①②③
C．② D．①②
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
14. 若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______
15．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
________.（其中）
16.在半径为6的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大。
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围。
18. （本题12分）已知函数,当x = -1时取得极大值7，当x = 3时
取得极小值；(1)求的值； （2）求的极小值。
19. （本题12分）高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)利用频率分布直方图估计本次测试成绩的中位数。
20. （本题12分）设为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
21. （本题12分）已知椭圆的长半轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若，求直线方程．
22. （本题12分） 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值；
（3）设，当时，对任意，都有成立，求实数的取值范围。
2011—2012学年度高二上学期四调考试答案
一、ABDAA BAAAB CD
二、填空题 13．(－2,15)　　14. 　　　15．65.5万元　　　　16．9
三、解答题
17.解：（Ⅰ）， 依题意设椭圆方程为：把点代入，得 椭圆方程为 （5分）
（Ⅱ）把代入椭圆方程得：，
由△可得 （10分）
18.解：∵f (x) = x3 + ax2 +bx + c ,∴f′ (x) = 3x2 +2ax +b （2分）
∵当x = - 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值
∴x = - 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有
∴， ∴f (x) = x3 – 3x2 – 9x + c（6分）
∵当x = -1时，函数取极大值7，∴( - 1 )3 – 3( - 1 )2 – 9( - 1) + c = 7,∴c = 2（9分）
此时函数f (x)的极小值为：f（3）= 33 - 3×32 - 9×3×2 = - 25（12分）
19.解：　(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25.（4分）
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.（8分）
(3)估计中位数为73（12分）
20.解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2，
故f(x)＝2x3－12x. （6分）
(2)f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况表如下：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8，
当x＝时，f(x)min＝－8；当x＝3时，f(x)max＝18. （12分）
21. 解：（Ⅰ）由题意： ．所求椭圆方程为．
又点在椭圆上，可得．所求椭圆方程为．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，所以，椭圆右焦点为．
因为．若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
直线交椭圆于两点， ，不合题意．（6分）
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为．
由可得．
由于直线过椭圆右焦点，可知．
设，则，（8分）
．
所以．
由，即，可得．（11分）
所以直线的方程为． （12分）
22. 解：（I）的单调递增区间为，单调递减区间为（4分）
（II）当时，的最小值为(1-k)e；
当时，的最小值为(2-k)e2；
当时，的最小值为；（8分）
（III）.（12分）
第6题