河北省衡水中学11-12学年高二上学期四调考试（数学理）

2011—2012学年度第一学期第四次调研考试
高二年级数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
已知一组数据为且这组数的中位数是，那么数据中的众数是（ ）
A. B. C. D.
一组数据的方差为，将这组数据中的每个数据都扩大倍，所得一组新数据的方差为 （ ）
A. B. C. D.
若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A． B． C． D．
已知、的椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式的系数为 （ ）
A．-150 B．150 C．-500 D．500
若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
右边程序运行后的输出结果为（ ）
A、17 B、19 　　　　C、21 D、23
为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分别为（ 　）
A．　 B．　
C．　 D．　
已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
直线MN与双曲线C：的左、右支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又＝λ(λ∈R)，则实数λ的值为(　 　)
A. B．1 C．2 D.
已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　 　）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共30分。把答案填在答题纸的横线上）
一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为______________.
甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有__ __种．(用数字作答)
在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么=__________.
过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则 四边形ABCD面积最小值为 .
三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本题满分10分）已知展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的系数最大的项等于54，求的值．
（本题满分12分）一个口袋有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A=“恰有一个红球”，事件B=“第三个是红球”，求：
（1）不放回时，事件A，B的概率；
（2）每次抽后放回时，事件A，B的概率.
（本题满分12分）已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求中含项的系数；
（本题满分12分）为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于不同两点P、Q，若在轴上存在定点E（，0），使恒为定值，求的值．
（本题满分12分）已知曲线
（I）若直线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围；
（II）若直线与曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为坐标原点），求实数的取值范围。
2011—2012学年度第一学期第四次调研考试
高二年级数学答案
选择题 DDDCB DCBBC AC
填空题 13. 14.72 15. 16.
三、解答题
17.解：由(x2＋)5，得Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝()5－r·C·x，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16，
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意得2n＝16，∴n＝4，
由二项式系数的性质可知，(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，∴Ca4＝54，
∴a＝±.
18.解：（1）基本事件有，事件A包含的基本事件有
所以
因为第三次抽到红球对前两次没有什么要求，因为红球占总球数的，每次抽到是随机地等可能事件，所以
（2）基本事件有种，事件A包含基本事件有种
所以；
第三次抽到红球包括={红，黄，红}，={黄，黄，红}，={黄，红，红}三种两两互斥，，，
所以
19解：（1）因为,所以,
又,
所以 （1）
（2）
（1）-（2）得：
所以：
（2）因为，
所以
中含项的系数为
20.解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320
∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。 ……2分
（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02 ……4分　
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则 ∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分
（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c
百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个 ……9分
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，……10分
所以P= ……12分
21解：（I）由题意知 = ，，（2分）∴ ， =1
∴椭圆的方程为=1
（II）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为
消去得
设
则由韦达定理得
则
∴=
=
=
=
要使上式为定值须，解得 ∴为定值
22.解（I）曲线为双曲线的上半部分（含与x轴交点）和椭圆的下半部分构成，图象如图所示，…………2分
双曲线渐近线为与双曲线的一条渐进线平行，
联立时，直线与完整的双曲线只能有一个交点；
联立时直线与椭圆下半部分相切； …………4分
综上可得：
所以实数m的取值范围为 …………6分
（II）直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点 …………8分
联立，
由题可得， …………10分
所以 …………12分
i=1
IF i<8
i=i+2
s=2i+3
END IF
PRINT s
END
(第7题)