山东济宁汶上一中11-12学年高二12月月考 数学理试题

汶上一中11-12学年高二12月月考试题
数学（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形
A.4 B.3 C.2 D.1
2．曲线在点处的切线方程为 ( )
A． xy2=0 B． x+y2=0 C．x+4y5=0 D．x4y5=0
3．中， 、，则 AB边的中线对应方程为( )
A． B． C． D．
4．已知P为△ABC所在平面α外一点，侧面PAB、PAC、PBC与底面ABC所成的二面角都相等，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
5．复数
( )
A. B. C. D.
6．若、为异面直线，直线与的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
7．直线的倾斜角是( )
A． B． C． D．
8．若直线与平行，则的值为( )
A． B．或 C． D．
9.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10.“a＞b＞0”是“ab＜”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）
A.1 B. C.2 D.
12.若曲线C：和直线只有一个公共点，那么的值为 （ ）
A．0或 B.0或 C.或 D.0或或
二、 填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．掷两枚骰子，出现点数之和为5的概率是____。
14．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　　．
15.P是椭圆上的点，F1、F2 是两个焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是______.
16.给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论为（ ）
三、解答题（共6小题，70分）
17.(本小题满分12分)
已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，
E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2.
（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；
（2）求截面AEF与底面ABCD的夹角的大小.
18. （本小题满分12分）
已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0), F2 (1,0), 点(1, )在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程
(2)若椭圆E上存在一点 P, 使∠F1PF2=30°, 求△PF1F2的面积.
19. （本小题满分10分）. 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q：双曲线的离心率；
若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．
20. （本小题满分12分）. 若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。
(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
21. （本小题满分12分）. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是
（1）求双曲线C的方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
22．（本小题满分12分）.
如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
参考答案：
1-5 ABBAC 6-10 DDACA 11-12 AD
13（）14（）15（5）16（①②④）
17．（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=，
从而坐标E（0，1，2），F（，0，1）.
（1）连结AE与交于M，连结MF，
可得，M（0，0，1），
=（，0，0）.
则MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，
所以平面AEF⊥平面.
（2）取EC中点G，得平面MFG∥底面ABCD，
所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可.
即， 是该二面角的平面角.
在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，显然，所求角为.
18. (1)设椭圆E的方程为: (a>b>0).
∵ c=1, ∴ ①
点(1, )在椭圆E上, ∴ ②
由①、②得: , b2=3 , ∴ 椭圆E的方程为:
(2) cos30°= ,
∴ |PF1||PF2|=12 (2－)
=12(2－)=3(2－)
19. p:0故m的取值范围为
20．设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得
可知y1+y2=－2m y1y2=2c ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,
当m=－1,c=－2时，x1x2 +y1y2=0 所以OA⊥OB.
当OA⊥OB时，x1x2 +y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).
由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=－2
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。
21.（1）解：设双曲线C的方程为由题设得
解得 所以双曲线C的方程为
（2）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组
将①式代入②式，得整理得
此方程有两个不等实根，于是，且
整理得 . ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足
从而线段MN的垂直平分线的方程为
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得
整理得
将上式代入③式得，整理得
解得所以k的取值范围是
22.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得
①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0
(k≠0)
即k=y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
①
②
①
②