《推理与证明》水平测试（1）
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文档简介
《推理与证明》水平测试（1）
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是（ ）
①归纳推理是从一般到特殊的推理；
②归纳推理是从特殊到一般的推理；
③类比推理是从特殊到特殊的推理；
④类比推理是从特殊到一般的推理；
⑤归纳推理与类比推理都属于合情推理．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设凸k（k≥3）边形的内角和为，则凸边形的内角和（ ）
A． B．π C． D．
3．类比平面正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为最恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①② C．② D．③
4．若方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
5．设A，B，C，D是空间中不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
6．图1为一串黑白相间排列的珠子，按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（ ）
A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大
7．下列关于演绎推理的说法中正确的是（ ）
A．演绎推理是由一般到一般的推理过程
B．演绎推理是由特殊到一般的推理过程
C．演绎推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D．演绎推理具有由抽象到具体的思维特点
8．已知a，b∈，且a≠b，a+b=2，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在上定义运算⊙∶x⊙y=，若关于x的不等式⊙＞0的解集是集合｛，x∈｝的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第104个括号内各数之和为（ ）
A．12036 B．2048 C．2060 D．2072
11．（1）已知，求证：，用反证法证明时，可假设；（2）已知a，b∈，，求证：方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
A．（1）与（2）的假设都错误
B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确；（2）的假设错误
D．（1）的假设错误；（2）的假设正确
12．若a，b，c≥0且，则的最小值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
二、填空题
13．根据下列图形及相应的点数，写出点数构成的一个通项公式 ．
14．用反证法证明命题“a，b∈，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 ．
15．如图2，四棱锥S-ABCD中，为了推出AB⊥BC，还需从下述条件中选出一些条件：
①SB⊥面ABCD；②SC⊥CD；③CD∥AB；④CD∥面SAB；⑤BC⊥CD；⑥CD⊥面SBC；
⑦AB⊥面SBC；⑧SB⊥CD．比如选⑦，有⑦AB⊥BC，又如选③、⑤有AB⊥BC．现要求推理至少用到两条定理，推理形式表述为 ．
16．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为；根据类比的思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则四面体的体积为 ．
三、解答题
17．定义一种运算“*”，对于任何非零自然数n满足以下运算性质：
①1*1=1；
②（n+1）*1=3(n*1)．
试求n*1关于n的代数式．
18．已知a、b、c是实数，函数，当时，，用演绎推理证明．并且写出演绎推理的三段论．
19．已知，若，
20．(本小题15分)已知，求证： (分别用综合法和分析法来证)．
21．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
，…．
参考答案
一、选择题
1． C
2． B
3． C
4． B
5． C
6． A
7． D
8． B
9． C
10． D
11． D
12． A
二、填空题
13．
14． 都不能被5整除
15． （答案不惟一）
16．
三、解答题
17．解：因为是关于非零自然数的代数式，
所以可设，
则有，，
又，
所以，即，
因此这是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，可以求得，因此，．
18．证明：由已知当时，有，
因为，所以，
而，即．
证明采用了演绎推理法，三段论为：
大前提：当时，有，
小前提：；
结论：．
19．证明：假设，，都不大于，
由于，，不全相等，
则，
而，
即，
这与题设相矛盾．
所以假设，，都不大于是错误的，
因此，，中至少有一个大于．
20．证法一：用综合法．
，，
．
又，，
，．
证法二：用分析法．
要证成立，只需证，只需证．
又，，
只需证，
即要证，显然成立．
成立．
21．证明：，
，
，
……
．
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是（ ）
①归纳推理是从一般到特殊的推理；
②归纳推理是从特殊到一般的推理；
③类比推理是从特殊到特殊的推理；
④类比推理是从特殊到一般的推理；
⑤归纳推理与类比推理都属于合情推理．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设凸k（k≥3）边形的内角和为，则凸边形的内角和（ ）
A． B．π C． D．
3．类比平面正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为最恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①② C．② D．③
4．若方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
5．设A，B，C，D是空间中不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
6．图1为一串黑白相间排列的珠子，按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（ ）
A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大
7．下列关于演绎推理的说法中正确的是（ ）
A．演绎推理是由一般到一般的推理过程
B．演绎推理是由特殊到一般的推理过程
C．演绎推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D．演绎推理具有由抽象到具体的思维特点
8．已知a，b∈，且a≠b，a+b=2，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在上定义运算⊙∶x⊙y=，若关于x的不等式⊙＞0的解集是集合｛，x∈｝的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第104个括号内各数之和为（ ）
A．12036 B．2048 C．2060 D．2072
11．（1）已知，求证：，用反证法证明时，可假设；（2）已知a，b∈，，求证：方程的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
A．（1）与（2）的假设都错误
B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确；（2）的假设错误
D．（1）的假设错误；（2）的假设正确
12．若a，b，c≥0且，则的最小值是（ ）
A． B．3 C．2 D．
二、填空题
13．根据下列图形及相应的点数，写出点数构成的一个通项公式 ．
14．用反证法证明命题“a，b∈，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 ．
15．如图2，四棱锥S-ABCD中，为了推出AB⊥BC，还需从下述条件中选出一些条件：
①SB⊥面ABCD；②SC⊥CD；③CD∥AB；④CD∥面SAB；⑤BC⊥CD；⑥CD⊥面SBC；
⑦AB⊥面SBC；⑧SB⊥CD．比如选⑦，有⑦AB⊥BC，又如选③、⑤有AB⊥BC．现要求推理至少用到两条定理，推理形式表述为 ．
16．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为；根据类比的思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则四面体的体积为 ．
三、解答题
17．定义一种运算“*”，对于任何非零自然数n满足以下运算性质：
①1*1=1；
②（n+1）*1=3(n*1)．
试求n*1关于n的代数式．
18．已知a、b、c是实数，函数，当时，，用演绎推理证明．并且写出演绎推理的三段论．
19．已知，若，
20．(本小题15分)已知，求证： (分别用综合法和分析法来证)．
21．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
，…．
参考答案
一、选择题
1． C
2． B
3． C
4． B
5． C
6． A
7． D
8． B
9． C
10． D
11． D
12． A
二、填空题
13．
14． 都不能被5整除
15． （答案不惟一）
16．
三、解答题
17．解：因为是关于非零自然数的代数式，
所以可设，
则有，，
又，
所以，即，
因此这是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，可以求得，因此，．
18．证明：由已知当时，有，
因为，所以，
而，即．
证明采用了演绎推理法，三段论为：
大前提：当时，有，
小前提：；
结论：．
19．证明：假设，，都不大于，
由于，，不全相等，
则，
而，
即，
这与题设相矛盾．
所以假设，，都不大于是错误的，
因此，，中至少有一个大于．
20．证法一：用综合法．
，，
．
又，，
，．
证法二：用分析法．
要证成立，只需证，只需证．
又，，
只需证，
即要证，显然成立．
成立．
21．证明：，
，
，
……
．