第1课时
根式
[A组 学业达标]
1.的运算结果是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．以上都不对
解析：＝＝3.
答案：A
2．下列式子中成立的是( )
A．a＝
B．a＝－
C．a＝－
D．a＝
解析：要使a有意义，则a≤0，
故a＝－(－a)＝－＝－.
答案：C
3．若a<，则化简的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵a<，∴4a－1<0.∴＝.
答案：C
4．已知xy≠0且＝－2xy，则有( )
A．xy<0
B．xy>0
C．x>0，y>0
D．x<0，y<0
解析：＝＝2|xy|，又＝－2xy，故xy<0.
答案：A
5．设m<0，则()2＝__________.
解析：∵m<0，∴－m>0，∴()2＝－m.
答案：－m
6．若＝x－4，则实数x的取值范围是__________．
解析：∵＝＝|x－4|，
又＝x－4，
∴|x－4|＝x－4，∴x≥4.
答案：{x|x≥4}
7．设f(x)＝，若0＜a≤1，则f＝__________.
解析：f＝
＝＝＝，
由于0＜a≤1，所以a≤，故f＝－a.
答案：－a
8．写出使下列各式成立的x的取值范围．
(1)
＝；
(2)＝(5－x).
解析：(1)由于根指数是3，故有意义即可．
此时x－3≠0，即x≠3.
(2)∵＝
＝(5－x)，
∴∴－5≤x≤5.
9．化简：
＋.
解析：原式＝|x－3|＋|x＋3|，
当x<－3时，原式＝3－x－(x＋3)＝－2x，
当－3≤x<3时，原式＝3－x＋(x＋3)＝6，
当x≥3时，原式＝x－3＋x＋3＝2x.
综上可知：原式＝
[B组 能力提升]
1．若＋()n＋1＝0，a≠0，且n∈N
，则( )
A．a>0，且n为偶数
B．a<0，且n为偶数
C．a>0，且n为奇数
D．a<0，且n为奇数
解析：由()n＋1＝a，得＝－a，故n为偶数且a<0.
答案：B
2．化简
得( )
A．3＋
B．2＋
C．1＋2
D．1＋2
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝3＋.
答案：A
3．化简：
(1
解析：原式＝
＝－1(1答案：－1
4．若x<0，则|x|－＋＝__________.
解析：由于x<0，所以|x|＝－x，＝－x.
所以原式＝－x－(－x)＋1＝1.
答案：1
5．已知a＜b＜0，n＞1，n∈N
，化简＋.
解析：当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
所以＋＝.
PAGE指数幂及运算
[A组 学业达标]
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
解析：a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.
答案：A
2．把根式a化成分数指数幂是( )
解析：由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.
答案：D
3．化简的结果为( )
A．5
`B.
C．－
D．－5
解析：
答案：B
4．的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
答案：A
6.
的值是__________．
解析：
答案：
7．若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝__________.
解析：∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，
所以103m－n＝＝.
答案：
8．化简7－3－6＋的结果是__________．
答案：0
9．计算(或化简)下列各式：
10．若b＝9a>0，求的值．
解析：
＝＝
＝＝－＝－3.
[B组 能力提升]
1．设＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：将＝m两边平方得
()2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
答案：C
2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A.
B.
C．1
D.
解析：x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，
∴x9＝9x.∴x8＝9.
∴x＝＝.
答案：B
3．化简
(a>0，b>0)的结果是__________．
解析：原式
答案：
4．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m等于__________．
答案：16
5．已知，n∈N
，求(x＋)n的值．
PAGE第1课时
指数函数的图象及性质
[A组 学业达标]
1．下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由指数函数定义知只有③是指数函数．
答案：B
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0解析：由指数函数的图象可知01.
答案：C
3．函数y＝2－|x|的值域是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．R
解析：设t＝－|x|，则t≤0，作出y＝2t(t≤0)的简图(图略)，由图象知0<2t≤1.
答案：B
4．已知函数f(x)＝，则f(f(－1))＝( )
A．2
B.
C．0
D.
解析：f(－1)＝2－1＝，f(f(－1))＝f＝3＝.
答案：B
5．函数y＝2|x|的图象是( )
解析：∵y＝2|x|＝故选B.
答案：B
6．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点__________．
解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象一定过点(－1,0)．
答案：(－1,0)
7．函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为__________．
解析：∵－1≤x≤2，∴≤x≤3.
∴－≤x－1≤2.∴值域为.
答案：
8．已知y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x则f＝__________.
解析：∵y＝f(x)是奇函数，
∴f＝－f＝－4＝－2.
答案：－2
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解析：(1)因为函数图象过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0所以函数的值域为(0,2]．
10．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)、g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
[B组 能力提升]
1．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B.
C．(－∞，1)
D.
解析：∵y＝x是减函数，
∴原不等式等价于2a＋1>3－2a，
即4a>2，∴a>.
答案：B
2．函数y＝(0解析：当x>0时，y＝ax(0答案：D
3．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为__________．
解析：当a＞1时，f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为a2，由a2＜2得，1＜a＜.
当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－2,2]上的最大值为a－2，由a－2＜2得a＞.
答案：∪(1，)
4．已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有__________个．
解析：由y＝x与y＝x的图象可知，
当a＝b＝0时，
a＝b＝1；
当a可以使a＝b；
当a>b>0时，
也可以使a＝b.
故①②⑤都可以，不可能成立的关系式是③④两个．
答案：2
5．画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，图象如图所示：
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0PAGE指数函数图象及性质的应用
[A组 学业达标]
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73
B．0.82＜0.83
C．π2＜π
D．0.90.3＞0.90.5
解析：∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，
∴0.90.3＞0.90.5.
答案：D
3．函数y＝1－x的单调增区间为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝u(x)是减函数，故y＝1－x在R上单调递增，故选A.
答案：A
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
故选B.
答案：B
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，
即y1>y3>y2，故选D.
答案：D
6．比较下列各题中两数的大小．
3π__________33.14；1.01－0.99__________1.01－1.09；0.99－1.01__________0.99－1.11.
解析：因为f(x)＝3x是R上的增函数，又π>3.14，得3π>33.14，
同理1.01－0.99>1.01－1.09.
∵y＝0.99x是减函数，又－1.01>－1.11，
∴0.99－1.01<0.99－1.11.
答案：> > <
7．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为__________．
解析：x∈[－1,1]，则≤3x≤3，即－≤3x－2≤1.
答案：
8．一片树林中现有木材30
000
m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y
m3，x，y间的函数关系式为__________．
解析：经过1年树林中有木材30
000(1＋5%)m3，
经过2年树林中有木材30
000(1＋5%)2m3，
……
经过x年树林中有木材30
000(1＋5%)xm3.
故x，y间的函数关系式为y＝30
000(1＋5%)x(x≥0)．
答案：y＝30
000(1＋5%)x(x≥0)
9．已知f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于y轴对称，且f(2x－1)＞f(3x)，求x的取值范围．
解析：因为f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于y轴对称，
所以f(x)＝x，
因为f(2x－1)＞f(3x)，
所以2x－1＞3x，
所以2x－1＜3x，所以x＞－1.
故x的取值范围(－1，＋∞)．
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，求不等式f(x)<－的解集．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，x>，得x∈?；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
[B组 能力提升]
1．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
解析：由题意得解得4≤a＜8.
答案：D
2．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：法一：当x>0时，3x>3－x，f(x)＝3－x，
f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；
当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．
综上，f(x)的值域是(0,1]．
法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．
答案：A
3．函数y＝x2＋2x－1的值域是__________．
解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝t为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0,4]．
答案：(0,4]
4．某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%.设x年后年人均粮食占有量为y千克，则y关于x的解析式是__________．
解析：设该乡镇人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，经过x年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)x，人口数量为M(1＋1.2%)x，则经过x年后，人均占有粮食y＝千克，即所求函数解析式为y＝360x(x∈N
)．
答案：y＝360x(x∈N
)
5．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使x＋x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝x＋x有最小值.
∴只需m≤即可．∴m的取值范围为.
PAGE对数
[A组 学业达标]
1．将－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2
B．log9＝－2
C．log(－2)＝9
D．log9(－2)＝
解析：根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
答案：B
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝9
解析：∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
答案：A
3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1
B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1
D．a＜
解析：由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.
答案：B
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln
1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：由指对互化的关系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.
答案：C
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1
B．0
C．x
D．y
解析：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
答案：B
6．lg
10
000＝__________；lg
0.001＝__________.
解析：由104＝10
000知lg
10
000＝4,10－3＝0.001得lg
0.001＝－3.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝__________.
解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，
∴1－2x＝2，
∴x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么＝__________.
解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴x－＝8－＝＝＝＝.
答案：
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125； (2)4－2＝；
(3)log8＝－3； (4)log3＝－3.
解析：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解析：∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
[B组 能力提升]
1.－1＋log0.54的值为( )
A．6
B.
C．8
D.
解析：－1＋log0.54＝－1·log4＝2×4＝8.
答案：C
2．若a>0，＝，则loga等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：∵＝，a>0，
∴a＝＝3，
设loga＝x，∴x＝a.
∴x＝3.
答案：B
3．使方程(lg
x)2－lg
x＝0的x的值为__________．
解析：由lg
x(lg
x－1)＝0得lg
x＝0或lg
x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
4．计算23＋log23＋32－log39＝__________.
解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.
答案：25
5．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．
解析：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54，
∴182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝.
PAGE对数的运算
[A组 学业达标]
1．log23·log32的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：log23·log32＝·＝1.
答案：A
2．求值：2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
答案：C
3．2log32－log3＋log38的值为( )
A.
B．2
C．3
D.
解析：原式＝log34－log3＋log38＝log3＝log39＝2.
答案：B
4．2＋2log23的值是( )
A．12
B．9＋
C．9
D．84
解析：∵＋2log23＝log2＋log29＝log29，
又∵alogax＝x，∴原式＝9.
答案：C
5．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2
B.
C．4
D.
解析：由一元二次方程的根与系数的关系得
lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
∴2＝(lg
a－lg
b)2
＝(lg
a＋lg
b)2－4lg
a·lg
b
＝22－4×＝2.
答案：A
6．log816＝__________.
解析：log816＝log2324＝.
答案：
7．(lg
5)2＋lg
2·lg
50＝__________.
解析：(lg
5)2＋lg
2·lg
50＝(lg
5)2＋lg
2(lg
5＋lg
10)
＝(lg
5)2＋lg
2·lg
5＋lg
2
＝lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2
＝lg
5＋lg
2＝1.
答案：1
8．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
解析：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)?
(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
解析：设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，
∴t＝，两边取以10为底的对数得
lgt＝lg.∴t(lg
3－2lg
2)＝－lg
3，
∴t＝≈≈4(年)．
[B组 能力提升]
1．计算log3＋lg
25＋lg
4＋7log72的值为( )
A．－
B．4
C．－
D.
解析：原式＝＋lg(25×4)＋2＝＋lg102＋2＝－＋2＋2＝.
答案：D
2．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是( )
A．7
B．7
C．±7
D．98
解析：由2x＝A可知x＝log2A，即＝logA2.由72y＝A可知2y＝log7A，即＝logA49.又＋＝2，故logA2＋logA49＝2，即logA98＝2，∴A2＝98.又A>0且A≠1，
∴A＝7.
答案：B
3．若lg
2＝a，lg
3＝b，则lg
0.18等于__________．
解析：∵lg
0.18＝lg
＝lg(2×32)－lg
100
＝lg
2＋lg
32－2＝a＋2b－2.
答案：a＋2b－2
4．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg
E－11.4)．A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震的能量是B地地震能量的__________倍．
解析：由R＝(lg
E－11.4)，得R＋11.4＝lg
E，
故E＝10R＋11.4.
设A地和B地地震能量分别为E1，E2，
则＝＝10＝10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍．
答案：10
5．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
(3)2008年北京奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了90分贝，试求此时鸟巢内的声压是多少？
解析：(1)由已知得y＝20lg(其中P0＝2×10－5帕)．
(2)当P＝0.002帕时，
y＝20lg＝20lg
102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，环境优良．
(3)由题意，得90＝20lg，
则＝104.5，
所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5
＝2×10－0.5≈0.63(帕)，
即此时鸟巢内的声压约是0.63帕．
PAGE对数函数的图象及性质
[A组 学业达标]
1．已知函数f(x)＝1＋log2x，则f的值为( )
A.
B．－
C．0
D．－1
解析：∵f(x)＝1＋log2x，∴f＝1＋log2＝1－1＝0.
答案：C
2．已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：∵f(a)＝log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.
答案：C
3．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)
D．(2,4)∪(4，＋∞)
解析：由得x>2且x≠3，故选C.
答案：C
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg
x的图象向左平移1个单位．
答案：C
5．对a(a＞0，a≠1)取不同的值，函数y＝loga的图象恒过定点P，则P的坐标为( )
A．(1,0)
B．(－2,0)
C．(2,0)
D．(－1,0)
解析：根据loga1＝0，故令＝1，解得x＝－2，故P点的坐标为(－2,0)．
答案：B
6．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝__________.
解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝.
∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝log(2x－1)的定义域为__________．
解析：由解得x＞，且x≠1，所以函数的定义域为∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
8．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2
018)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于__________．
解析：∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2
018)2
＝2loga(x1x2x3…x2
018)
＝2f(x1x2x3…x2
018)，
∴原式＝2×8＝16.
答案：16
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解析：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
解析：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0
B．10
C．1
D.
解析：由已知，得a－lg
x≥0的解集为(0,10]，由a－lg
x≥0，得lg
x≤a，又当0＜x≤10时，lg
x≤1，所以a＝1，故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为( )
解析：函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.
答案：C
3．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是__________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
4．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为__________．
解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
5．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解析：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
PAGE对数函数及其性质的应用
[A组 学业达标]
1．设a＝log2，b＝log23，c＝0.3，则( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
解析：a＝log2＜log1＝0，b＝log23＞log22＝1,0＜c＝0.3＜0＝1，则a＜c＜b.
答案：B
2．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：利用函数的图象，在直线x＝1右侧，当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴，知B正确．
答案：B
3．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.
答案：C
4．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为( )
A．－2
B．－3
C．－4
D．0
解析：∵函数f(x)＝2＋log3x在上是增函数，
∴当x＝时，f(x)取最小值，最小值为f＝2＋log3＝2＋log33－4＝2－4＝－2.
答案：A
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
解析：f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg
1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
6．比较大小：
(1)log22__________log2；(2)log3π__________logπ3.
解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
答案：(1)＞ (2)＞
7．不等式log(5＋x)解析：由得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝__________.
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，
∴a＝2，a＝4.
答案：4
9．求下列函数的值域
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5)．
解析：(1)令u＝x2－4x＋6，∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函数的值域是[1，＋∞)．
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，
∴x2－4x－5能取到所有正实数，
∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg
x，求满足f(x)＞0的x的取值范围．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(－x)，
∴f(x)＝
由f(x)＞0得
或
∴x＞1或－1＜x＜0.
即满足f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．关于函数f(x)＝log(1－2x)的单调性的叙述正确的是( )
A．f(x)在内是增函数
B．f(x)在内是减函数
C．f(x)在内是增函数
D．f(x)在内是减函数
解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝log
(1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x＞0，得x＜，所以f(x)＝log(1－2x)的定义域为.因为y＝1－2x在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调减区间是( )
A.
B.
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：当x∈时，2x＋1∈(0,1)，
所以0＜a＜1.
又因为f(x)的定义域为，y＝2x＋1在上为增函数，所以f(x)的单调减区间为.
答案：B
3．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为__________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为__________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
做出函数图象如图所示．
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)＞0?logx＜－或logx＞?x＞2或0＜x＜，
∴x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解析：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
PAGE2.3
幂函数
[A组 学业达标]
1．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式( )
A．y＝x－1
B．y＝
C．y＝x2
D．y＝x3
解析：设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝.选B.
答案：B
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k＝1，f＝α＝，即α＝－，所以k＋α＝.
答案：A
3．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
正确的命题为( )
A．①④
B．④⑤
C．②③
D．②⑤
解析：y＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图象为两条射线，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；因此答案选D.
答案：D
4．函数y＝的图象是( )
解析：∵函数y＝是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.
答案：C
5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为( )
A．4
B．3
C．－1或2
D．2
解析：解得m＝2.
答案：D
6．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为__________．
解析：由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
7．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．
解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案：－
8．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m＝__________.
解析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，
再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3<0检验，得m＝0.
答案：0
9．比较下列各题中两个幂的值的大小：
10．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)?
②f(x)＝g(x)？ ③f(x)解析：
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)[B组 能力提升]
1．a，b满足0A．aaB．baC．aaD．bb解析：因为0答案：C
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析：幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
答案：D
3．若(a＋1)3＜(3a－2)3，则实数a的取值范围是__________．
解析：构造函数y＝x3，它在R上是增函数，所以a＋1＜3a－2，解得a＞.
答案：
4．已知幂函数
(m∈N
)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N
，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数
(m∈N
)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.又∵m∈N
，∴m＝1.
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a)＞f(a－1)得
解得1≤a＜.
故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
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