单元综合检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．log2的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：由，易知D正确．
答案：D
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[0,4]
C．[0,4)
D．(0,4)
解析：∵0≤16－4x＜16，∴0≤＜4.
答案：C
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝，则A∩B等于( )
A.
B．{y|0＜y＜1}
C.
D．?
解析：当x＞1时，log2x＞log21＝0，
当x＞2时，0＜x＜2，
∴A＝(0，＋∞)，B＝，
∴A∩B＝.
答案：A
4．函数y＝2－|x|的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
D．不存在
解析：函数y＝2－|x|＝|x|，当x＜0时为y＝2x，函数递增；当x＞0时为y＝x，函数递减．故y＝2－|x|的单调递增区间为(－∞，0)．
答案：B
5．已知函数f(x)＝则f(－10)的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
解析：因为f(－10)＝f(－7)＝f(－4)＝f(－1)＝f(2)＝log22＝1，故选D.
答案：D
6．设a＝log3，b＝0.2，，则( )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
解析：因为a＝log3＜log1＝0，
0＜b＝0.2＜0＝1，
c＝2＞20＝1，
所以c＞b＞a.
答案：A
7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，
∴20＋b＝0，b＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.
∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案：A
8．对于函数f(x)＝lg
x定义域内任意x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0；
④f<.
上述结论正确的是( )
A．②③④
B．①②③
C．②③
D．①③④
解析：由对数的运算性质可得f(x1)＋f(x2)＝lg
x1＋lg
x2＝lg(x1x2)＝f(x1x2)，所以①错误，②正确；
因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；
f＝lg，
＝＝lg，
因为>(x1≠x2)，
所以lg>lg，
即f>，所以④错误．
答案：C
9．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图象大致为( )
解析：由函数f(x)＝a|x|满足0＜|f(x)|≤1，得0＜a＜1，当x＞0时，y＝loga＝－logax.又因为y＝loga为偶函数，图象关于y轴对称，所以选B.
答案：B
10．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：2＋log23＝log24＋log23＝log212＜log216＝4，log224＞log216＝4，由于当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝f(log212)＝f(1＋log212)＝f(log224)，又当x≥4时，f(x)＝x，
所以，
所以f(2＋log23)＝.
答案：A
11．若f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)
B．g(0)C．f(2)D．g(0)解析：用－x代x，则有f(－x)－g(－x)＝e－x，
即－f(x)－g(x)＝e－x，结合f(x)－g(x)＝ex，
可得f(x)＝，g(x)＝－.
所以f(x)在R上为增函数，
且f(0)＝0，g(0)＝－1，
所以f(3)>f(2)>f(0)>g(0)，故选D.
答案：D
12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )
A．f(b－2)＝f(a＋1)
B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)D．不能确定
解析：∵函数f(x)是偶函数，
∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(9)＝__________.
解析：幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，可得y＝f(x)＝x，所以f(9)＝3.
答案：3
14．设则a，b，c的大小关系为__________．
解析：构造幂函数y＝x(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a＞b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a＜c，故c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
15．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是__________．
解析：当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，
所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，
所以loga2>1＝logaa，
所以1答案：(1,2)
16．若f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b的值为__________．
解析：由f(x)为偶函数知f(－x)＝f(x)，即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，即lg(10x＋1)－x－ax＝lg(10x＋1)＋ax，即(2a＋1)x＝0，因为x∈R，所以2a＋1＝0，即a＝－.由g(x)为奇函数，又x∈R，所以g(0)＝0＝，所以b＝1，所以a＋b＝.
答案：
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)计算：(1)lg
52＋lg
8＋lg
5lg
20＋(lg
2)2；
(2)
解析：(1)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(lg
4＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2(lg
2＋lg
5)＋2lg
2lg
5＋(lg
5)2＋(lg
2)2
＝2＋(lg
5＋lg
2)2＝3.
18．(12分)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)＜1成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)，
∴f(2)＝1，即loga2＝1，解得a＝2，
因此，f(x)＝log2x(x＞0)．
(2)f(m2－m)＝log2(m2－m)，
∵f(m2－m)＜1且1＝log22，
∴log2(m2－m)＜log22，
该不等式等价为：
解得－1＜m＜0或1＜m＜2，
∴实数m的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．
19．(12分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明；
(3)求f的值．
解析：(1)由得即－1＜x＜1.
所以函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}．
(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，
又因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数．
(3)f＝log2＋log2
＝log2
＝log2＝log2＝－1.
20．(12分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．
令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.
则h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．
当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．
∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.
(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，
∴a≤f(x)min恒成立．
由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.
故a的取值范围为(－∞，－10]．
21．(12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是一种指数型函数，若牛奶放在0
℃的冰箱中，保鲜时间是200
h，而在1
℃的温度下则是160
h.
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；
(2)利用(1)的结论，指出温度在2
℃和3
℃的保鲜时间．
解析：(1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是一种指数型函数，可设为y＝t·ax(a＞0，且a≠1)，由题意可得：
解得
故函数解析式为y＝200×x.
(2)当x＝2
℃时，y＝200×2＝128(h)．
当x＝3
℃时，y＝200×3＝102.4(h)．
故温度在2
℃和3
℃的保鲜时间分别为128
h和102.4
h.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax－a＋1，(a>0且a≠1)恒过定点.
(1)求实数a；
(2)若函数g(x)＝f－1，求函数g(x)的解析式；
(3)在(2)的条件下，若函数F(x)＝g(2x)－mg(x－1)，求F(x)在[－1,0]上的最小值h(m)．
解析：(1)由已知＋1＝2，∴a＝.
(2)g(x)＝f－1＝＝x.
(3)∵F(x)＝2x－mx－1＝2x－2mx.令t＝x，t∈[1,2]．
∴y＝t2－2mt＝(t－m)2－m2.
①当m≤1时，y＝t2－2mt在[1,2]上单调递增，
∴t＝1时，ymin＝1－2m；
②当1③当m≥2时，y＝t2－2mt在[1,2]上单调递减，
∴当t＝2时，ymin＝4－4m.
综上所述：h(m)＝
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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．log2的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[0,4]
C．[0,4)
D．(0,4)
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝，则A∩B等于( )
A.
B．{y|0＜y＜1}
C.
D．?
4．函数y＝2－|x|的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
D．不存在
5．已知函数f(x)＝则f(－10)的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
6．设a＝log3，b＝0.2，，则( )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
8．对于函数f(x)＝lg
x定义域内任意x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0；
④f<.
上述结论正确的是( )
A．②③④
B．①②③
C．②③
D．①③④
9．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图象大致为( )
10．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A.
B.
C.
D.
11．若f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)B．g(0)C．f(2)D．g(0)12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )
A．f(b－2)＝f(a＋1)
B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)D．不能确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(9)＝__________.
14．设则a，b，c的大小关系为__________．
15．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是__________．
16．若f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b的值为__________．
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)计算：(1)lg
52＋lg
8＋lg
5lg
20＋(lg
2)2；
(2)
18．(12分)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)＜1成立，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明；
(3)求f的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．
21．(12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是一种指数型函数，若牛奶放在0
℃的冰箱中，保鲜时间是200
h，而在1
℃的温度下则是160
h.
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；
(2)利用(1)的结论，指出温度在2
℃和3
℃的保鲜时间．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax－a＋1，(a>0且a≠1)恒过定点.
(1)求实数a；
(2)若函数g(x)＝f－1，求函数g(x)的解析式；
(3)在(2)的条件下，若函数F(x)＝g(2x)－mg(x－1)，求F(x)在[－1,0]上的最小值h(m)．
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