数列的概念与简单表示法
[A组 学业达标]
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D.，，，…，
解析：对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．
答案：C
2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
解析：由an＋1－an－3＝0，得an＋1－an＝3，故后一项比前一项大，故此数列为递增数列．
答案：A
3．数列1,3,5,7,9，…的通项公式是( )
A．an＝n－1(n∈N
)
B．an＝2n－1(n∈N
)
C．an＝n(n∈N
)
D．an＝3n－3(n∈N
)
解析：该数列为从1开始的奇数，故通项公式为an＝2n－1.
答案：B
4．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
解析：数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
答案：A
5．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
解析：结合选项分别把n＝1,2,3,4代入进行检验是否分别为1,0,1,0即可．
答案：D
6．根据所给的数列填空：
(1)1，－1,1，－1，…；
(2)2,4,6,8，…，1
000；
(3)8,8,8,8，…；
(4)0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.
其中有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．
解析：有穷数列为(2)(4)；无穷数列为(1)(3)；递增数列为(2)；递减数列为(4)；摆动数列为(1)；常数列为(3)．
答案：(2)(4) (1)(3) (2) (4) (1) (3)
7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________.
解析：∵an＝3－2n，
∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
答案：3－4n
8．数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋2，则数列的前五项分别为________．
答案：1 3 1 3 1
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，….
解析：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解析：(1)设an＝kn＋b，则
解得
∴an＝4n－2.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N
，
∴88不是数列{an}中的项．
[B组 能力提升]
11．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项的值为( )
A．5
B．11
C．10或11
D．36
解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，
∴当n＝5时，an取得最大值36.
答案：D
12．已知数列{an}满足a1＞0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1
B．a9
C．a10
D．不存在
解析：∵a1＞0且an＋1＝an，∴an＞0，
＝＜1，∴an＋1＜an，
∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
答案：A
13．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为an＝________.
答案：4n＋2
14．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.
解析：＝，1＝＝，＝，＝，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n＋1，分母是n2＋1，∴这个数列的一个通项公式是an＝.
答案：
15．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否是{an}中的一项？
(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0?
解析：(1)假设－60是{an}中的一项，
则－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10项．
(2)分别令30＋n－n2＝0；30＋n－n2＞0；30＋n－n2＜0，解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，
即n＝6时，an＝0；
0＜n＜6，n∈N
时，an＞0；
n＞6，n∈N
时，an＜0.
16．数列{an}的通项公式是an＝(n∈N
)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
解析：(1)若0是{an}中的第n项，则＝0，
因为n∈N
，所以n＝21.
所以0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则＝1，
所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0.
因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
所以1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则＝，解得m＝10.
所以数列{an}中存在连续且相等的两项，分别是第10项与第11项．
PAGE数列的通项公式与递推公式
[A组 学业达标]
1．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：B
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3
B．－11
C．－5
D．19
解析：∵an＋2＝an＋an＋1，
∴a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，
a5＝a3＋a4＝19.故选D.
答案：D
3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N
)，则a4的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
答案：D
4．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，an＋1＝－(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值可以是( )
A．14
B．15
C．16
D．17
解析：因为a1＝b，an＋1＝－，
所以a2＝－，a3＝－，a4＝b.
所以{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，
所以a7＝a10＝a13＝a16＝b.
答案：C
5．已知数列{an}的通项公式为an＝9nn，则数列前4项依次为________．
答案：6 8 8
6．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由a1＝1，an＋1＝an＋得
an＋1－an＝－，
从而an－a1＝1－＋－＋…＋－＝1－，∴an＝2－.又当n＝1时，也符合上式．
故an＝2－.
答案：an＝2－
7．已知数列{an}的通项公式an＝则a2·a3＝________.
解析：根据题意a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.
答案：20
8．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)，求数列{an}的通项公式．
解析：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3(n≥2)．
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，
所以an＝a1·3n－1，
又a1＝2，故an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝2×30＝2也满足，故an＝2×3n－1.
[B组 能力提升]
9．已知数列{an}的通项为an＝，则满足an＋1＜an的n的最大值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：an＝，an＋1＜an，
所以＜，
化为：＜.
由9－2n＞0,11－2n＞0,11－2n＜9－2n，解得n∈?.
由9－2n＜0,11－2n＞0，解得＜n＜，取n＝5.
由9－2n＜0,11－2n＜0,11－2n＜9－2n，解得n∈?.
因此满足an＋1＜an的n的最大值为5.
答案：C
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg(1＋)，则an＝( )
A．2＋lg
n
B．2＋(n－1)lg
n
C．2＋nlg
n
D．1＋n＋lg
n
解析：an＋1－an＝lg(n＋1)－lg
n
∴a2－a1＝lg
2－lg
1
a3－a2＝lg
3－lg
2
?
an－an－1＝lg
n－lg(n－1)
相加得an－a1＝lg
n，a1＝2，∴an＝2＋lg
n.
当n＝1时，也符合上式．故an＝2＋lg
n.
答案：A
11．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，a1a2…an－1＝(n－1)2，
∴＝，
∴an＝，故an＝.
答案：
12．已知数列{an}对任意的p，q∈N
满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，则a10＝________.
解析：∵ap＋q＝ap＋aq，
∴a4＝2a2＝－12，
a8＝2a4＝－24，
a10＝a2＋a8＝－30.
答案：－30
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，试探究数列{an}的通项公式．
解析：∵an＋1＝，
∴an＋1an＝2an－2an＋1，
两边同除以2an＋1an，得－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝，
又a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
14．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}是递减数列．
解析：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an＞0，∴an＝－n.
(2)证明：＝
＝＜1.
即{an}是递减数列．
PAGE等差数列的概念和通项公式
[A组 学业达标]
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a
B.
C.
D.
解析：由等差数列的通项公式，
得b＝a＋(4－1)d，所以d＝.
答案：C
2．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
答案：A
3．等差数列{an}满足a1＝39，a1＋a3＝74，则通项公式an＝( )
A．－2n＋41
B．－2n＋39
C．－n2＋40n
D．－n2－40n
解析：因为等差数列{an}满足a1＝39，a1＋a3＝74，所以39＋39＋2d＝74，解得d＝－2.
所以通项公式an＝39＋(n－1)×(－2)＝－2n＋41.
答案：A
4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则2a9－a10的值为( )
A．6
B．8
C．12
D．13
解析：在等差数列{an}中，
因为a1＋3a8＋a15＝60，
所以a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5(a1＋7d)＝60，所以a1＋7d＝12，
2a9－a10＝2(a1＋8d)－(a1＋9d)＝a1＋7d＝12.
答案：C
5．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos
B＝________.
解析：∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，cos
B＝.
答案：
6．在等差数列{an}中，a1＝3，d＝2，an＝25，则n＝________.
解析：an＝25＝3＋2(n－1)，解得n＝12.
答案：12
7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a9＝12，则a3＋a7＝________.
解析：在等差数列{an}中，a2＋a4＋a9＝12，所以a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝12，解得a5＝4，则a3＋a7＝2a5＝8.
答案：8
8．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123.
又因为n为正整数，所以共有38项．
9．已知a，b，c成等差数列，试判断a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列．
证明：∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，
∴b2(c＋a)＝2b3.
而a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
＝b[(a＋c)2－2ac]＋2abc
＝b(a＋c)2＝4b3，
故2b2(c＋a)＝a2(b＋c)＋c2(a＋b)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
[B组 能力提升]
10．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B．
C.
D.
解析：所以a＝，b＝x.
所以＝.
答案：C
11．设集合A1＝{a1}，A2＝{a2，a3}，A3＝{a4，a5，a6}，A4＝{a7，a8，a9，a10}，…，其中{an}为公差大于0的等差数列，若A2＝{3,5}，则199属于( )
A．A12
B．A13
C．A14
D．A15
解析：因为{an}为公差大于0的等差数列，
A2＝{a2，a3}＝{3,5}，
所以
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
由an＝2n－1＝199，解得n＝100，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝91，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝105，
所以199∈A14.
答案：C
12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0,1－4n＞0)．
设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2.
由题意知x1＝.
∴x2＝，数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
∴m＝x1x2＝，n＝x3x4＝×＝.
∴m＋n＝＋＝.
答案：
13．下表是一个有i行j列的表格．已知每行、每列都成等差数列，
4
7
a1,3
…
a1，j
7
12
a2,3
…
a2，j
a3,1
a3,2
a3,3
…
a3，j
…
…
…
…
…
ai,1
ai,2
ai,3
…
ai，j
其中ai，j表示表格中第i行第j列的数，则a4,5＝________，ai，j＝________.
解析：根据表格中每行、每列都是等差数列，该表格的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1，j＝4＋3(j－1)，
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2，j＝7＋5(j－1)，
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
因此ai，j＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.
可得a4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.
答案：49 2ij＋i＋j
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n＞1，n∈N
时，有an－1－an－4an－1an＝0.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
解析：(1)证明：很显然，数列中的各项均不为0，当n≥2时，an－1－an－4an－1an＝0，两边同除以an－1an，
得－＝4，即－＝4对n＞1，n∈N
成立，
所以是以＝5为首项，4为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝＋(n－1)d＝4n＋1，
所以an＝，所以a1a2＝×＝.
设a1a2是数列{an}的第t项，
则＝，解得t＝11∈N
.
所以a1a2是数列{an}的第11项．
PAGE等差数列的性质
[A组 学业达标]
1．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝4π，则cos
a5的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：因为{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝4π，
所以3a5＝4π，解得a5＝.
所以cos
a5＝cos
＝－.
答案：A
2．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝( )
A．24
B．22
C．20
D．－8
解析：因为数列{an}为等差数列，
所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，
所以a3＋a13－a8＝a8＝24.
答案：A
3．设e，f，g，h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：e，f，g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，
解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1(不合题意，舍去)；
所以公差d＝(h－e)＝×(13－1)＝4.
答案：D
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
解析：由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
答案：B
5．若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是
( )
A．{λan}(λ为常数)
B．{an＋bn}
C．{a－b}
D．{an·bn}
解析：等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λan＋1－λan＝λ(an＋1－an)＝λd为常数，则该数列为等差数列；
对于B，由an＋1＋bn＋1－an－bn＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝2d为常数，则该数列为等差数列；
对于C，由a－b－(a－b)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)
＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列；
对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，则该数列不为等差数列．
答案：D
6．在等差数列{an}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.
解析：法一：d＝＝，
∴a15＝a10＋5d＝b＋5×＝2b－a.
法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.
∴a15＝2a10－a5＝2b－a.
答案：2b－a
7．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________.
解析：∵a，x1，x2，x3，b成等差数列，∴其公差d1＝.又∵a，y1，y2，y3，y4，y5，b成等差数列，∴其公差d2＝.
∴＝＝＝×＝.
答案：
8．已知等差数列{an}，a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为等差数列{an}中，a3＋a5＝10，a2a6＝21，
所以a2＋a6＝a3＋a5＝10，
所以a2，a6是方程x2－10x＋21＝0的两个根，
解方程x2－10x＋21＝0，
得a2＝3，a6＝7或a2＝7，a6＝3，
当a2＝3，a6＝7时，
解得a1＝2，d＝1，
此时an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
当a2＝7，a6＝3时，
解得a1＝8，d＝－1，
此时an＝8＋(n－1)×(－1)＝－n＋9.
综上，an＝n＋1或an＝－n＋9.
答案：n＋1或－n＋9
9．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解析：显然a－4＜a＋2，
(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
10．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.
(1)求该数列中a2的值；
(2)求该数列的通项公式an.
解析：(1)由等差数列的性质可知，a1＋a3＝2a2，
所以a1＋a2＋a3＝3a2＝21，则a2＝7.
(2)依题意得
解得或
所以公差d＝＝－4或d＝＝4.
所以an＝11＋(n－1)×(－4)＝－4n＋15或an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.
[B组 能力提升]
11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升
B．升
C.升
D.升
解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，
由条件得即
解得所以a5＝a1＋4d＝.
答案：B
12．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
解析：a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33＝－82.
答案：D
13．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
解析：因为等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，
所以a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
所以(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，
所以2a4·2a6＝16，所以a4a6＝4.
答案：4
14．已知数列{an}满足a1＝0，数列{bn}为等差数列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，则a31＝________.
解析：因为数列{an}满足a1＝0，数列{bn}为等差数列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，
所以an＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，
所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋b30
＝(b1＋b30)＝15(b15＋b16)＝15×15＝225.
答案：225
15．看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此给出简要的说明．
解析：由题意，在等差数列中，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
因为12＝＝＝＝，
所以12＝.
16．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；(2)通项an.
解析：(1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，
又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
PAGE等差数列的前n项和
[A组 学业达标]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝an－1，a1＝4，则S5等于( )
A．25
B．20
C．15
D．10
解析：依题意an＋1－an＝－1，故数列{an}是等差数列，故S5＝5×4＋×(－1)＝10.
答案：D
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝( )
A．36
B．72
C．144
D．70
解析：由等差数列的性质得，a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝24，则a5＝a1＋4d＝8.S9＝＝9a5＝72.
答案：B
3．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为( )
A．8
B．16
C．4
D．0
解析：∵S4＝32，∴2(a2＋a3)＝32，
∴a2＋a3＝16.
又＝，即a3＝3a2，∴a2＝4，a3＝12，
∴d＝a3－a2＝8.故选A.
答案：A
4．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}前100项之和为( )
A．0
B．100
C．10
000
D．50
500
解析：易知数列{an＋bn}为常数列，且各项均为100，故S100＝×100＝10
000.故选C.
答案：C
5．在等差数列{an}中，a3＋a9＝18－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．66
B．99
C．198
D．297
解析：∵a3＋a9＝18－a6，∴3a6＝18，∴a6＝6.
∴S11＝(a1＋a11)＝11a6＝11×6＝66，故选A.
答案：A
6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
7．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n＝________.
解析：因为S9＝＝9a5＝18，所以a5＝2，又Sn＝＝＝240，所以n＝15.
答案：15
8．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
解析：S19＝＝＝19a10＝19×10＝190.
答案：190
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解析：设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)数列{an}的前几项的和最大？
解析：(1)由题意得
整理得解得－＜d＜－3.
(2)由(1)知d＜0，
∴a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13＞….
∵S13＝＝13a7＜0，∴a7＜0.
∵S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，
∴a7＜0，a6＞0，故数列{an}的前6项和S6最大．
[B组 能力提升]
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )
A．27
B．36
C．45
D．54
解析：∵在等差数列{an}中，2a8＝a5＋a11＝6＋a11，
∴a5＝6，故S9＝＝9a5＝54.故选D.
答案：D
12．已知数列{an}是等差数列，满足a1＋2a2＝S5，下列结论中错误的是( )
A．S9＝0
B．S5最小
C．S3＝S6
D．a5＝0
解析：由题意知a1＋2(a1＋d)＝5a1＋d，则a5＝0，∴a4＋a6＝0，∴S3＝S6，且S9＝9a5＝0，故选B.
答案：B
13．等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝log2f(an)，则函数{bn}的前n项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，
∴3an＝3n，即an＝n，
∵函数f(x)＝2x，
∴f(an)＝2n，则b1＋b2＋…＋bn＝log2[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝log2(2×22×…×2n)＝log221＋2＋…＋n＝.
答案：
14．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为________．
解析：由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8项和为前n项和的最小值．
答案：8
15．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.
又k∈N
，故k＝7为所求结果．
16．已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且4Sn＝(an＋1)2.
(1)求a1，a2的值及{an}的通项公式；
(2)求数列的最小值．
解析：(1)因为4Sn＝(an＋1)2，
所以当n＝1时，4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
当n＝2时，4(1＋a2)＝(a2＋1)2，
解得a2＝－1或a2＝3，
因为{an}是各项为正数的等差数列，
所以a2＝3，
所以{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)因为4Sn＝(an＋1)2，
所以Sn＝＝n2，
所以Sn－an＝n2－(2n－1)＝n2－7n＋＝2－，
所以当n＝3或n＝4时，Sn－an取得最小值为－.
PAGE等差数列的前n项和公式的性质及应用
[A组 学业达标]
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.
答案：A
2．已知等差数列{an}的通项为an＝2n＋1，前n项和为Sn，则数列的前10项和为( )
A．120
B．100
C．75
D．70
解析：由题意得Sn＝＝n(n＋2)，
所以＝n＋2，所以数列是首项为3，
公差为1的等差数列，数列的前10项和为10×3＋×1＝75.
答案：C
3．在等差数列{an}中，a2＋a8－a12＝0，a14－a4＝2，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S15的值为( )
A．30
B．56
C．68
D．78
解析：因为等差数列{an}中，a2＋a8－a12＝0，a14－a4＝2，
所以
解得a1＝，d＝，
所以S15＝＝15a8＝15×＝30.
答案：A
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )
A．30
B．25
C．20
D．15
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15.
答案：D
5．数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于( )
A．160
B．180
C．200
D．220
解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18.
又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54，
∴3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18，
∴S20＝＝180.
答案：B
6．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于________．
解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
答案：15
7．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，已知＝，n∈N
，则＝________.
解析：＝＝
＝＝＝.
答案：
8．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100的值为________．
解析：由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.
答案：100
9．在等差数列{an}中，前m项(m为奇数)和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，求a100的值．
解析：偶数项的和为63，奇数项的和为135－63＝72.设公差为d，∵奇数项的和－偶数项的和为＝72－63＝9，
又am＝a1＋d(m－1)，∴＝9.
又∵am－a1＝14，
∴a1＝2，am＝16.
∵＝135，
∴m＝15，
∴d＝＝1.∴a100＝a1＋99d＝101.
10．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2
550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
解析：(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
又a1＋a3＝2a2，
∴(a－1)＋2a＝8，解得a＝3.
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2
550，
即k2＋k－2
550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，
得Sn＝2n＋×2＝n2＋n，
∴bn＝＝n＋1，
∴{bn}是等差数列．
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1
＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)
＝＝2n2＋2n.
[B组 能力提升]
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，Sn，an成等差数列，则S17＝( )
A．0
B．2
C．－2
D．34
解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，且2，Sn，an成等差数列，
所以2S1＝2＋a1，即2a1＝2＋a1，解得a1＝2，
2S2＝2＋a2，即2(2＋a2)＝2＋a2，
解得a2＝－2，
2S3＝2＋a3，即2(2－2＋a3)＝2＋a3，
解得a3＝2，
2S4＝2＋a4，即2(2－2＋2＋a4)＝2＋a4，
解得a4＝－2，
…
an＝
S17＝2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2－2＋2＝2.
答案：B
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＞0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{Sn}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|.其中正确命题的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：因为等差数列{an}中，S6＞S7＞S5，
所以a1＞0，d＜0，故①不正确；
因为S6＞S7＞S5，所以a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，
S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)＝11a6＞0，故②正确；
因为S6＞S7＞S5，所以a6＋a7＝S7－S5＞0，
所以S12＝12a1＋66d＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，故③不正确；
因为a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，所以S6最大，故④不正确；
因为a6＝S6－S5＞0，a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，所以|a6|＞|a7|，故⑤正确．
答案：A
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，所以
解得所以an＝n，Sn＝，那么＝＝2，那么＝2＋＋…＋－＝2＝.
答案：
14．已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(31,12)＝________.
解析：由题意知第1行有1个数，第2行有3个数……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝＝n2个数，因此前30行共有S30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A(31,12)＝912.
答案：912
15．某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
解析：设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
共n＋×2＝n2，
因此利润y＝30n－(81＋n2)．
令y＞0，解得3＜n＜27，
所以从第4年开始获取利润．
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a3＝a1＋2d＝7，a5＋a7＝2a1＋10d＝26，
联立解之可得a1＝3，d＝2，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
(2)由(1)可知bn＝
＝＝
＝，
故数列{bn}的前n项和
Tn＝
＝＝.
PAGE等比数列的概念和通项公式
[A组 学业达标]
1．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
解析：由题知a6＝a1q5＝32×(－)5＝－1，故选B.
答案：B
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
解析：∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，
∴a1＝1.故a7＝1×26＝64.
答案：A
3．已知数列{an}满足：＝，且a2＝2，则a4等于( )
A．－
B．23
C．12
D．11
解析：因为数列{an}满足：＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是等比数列，公比为2.则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.
答案：D
4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3＝( )
A．－10
B．－6
C．－8
D．－4
解析：因为等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，
所以a＝a1a4，所以a＝(a3－4)(a3＋2)，
解得a3＝－4.
答案：D
5．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.
B．4
C．2
D.
解析：因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2.
答案：C
6．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项
是192，则n＝________.
答案：5
7．数列{an}为等比数列，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.
解析：由a1·a5＝16，a4＝8，得aq4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an>0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.
答案：2n－1
8．在8和5
832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________．
解析：设公比为q，则8q6＝5
832，所以q6＝729，所以q2＝9，所以a5＝8q4＝648.
答案：648
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
解析：(1)∵2an＝3an＋1，∴＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，∴a5＝3，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－n－2.
(2)设an＝－，则－＝－n－2，
n－2＝4，∴n＝6，
∴－是该数列的项，为第6项．
10．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16.
(1)求公比q；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式．
解析：(1)由已知得
所以q2＝4，又q＞0，所以q＝2.
(2)由(1)可得an＝2n.
所以b3＝a3＝8，b5＝a5＝32.
设等差数列{bn}的公差为d，
则d＝＝12，
所以bn＝8＋(n－3)×12＝12n－28.
[B组 能力提升]
11．等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于( )
A．3
B．2或3
C．2
D．6
解析：由题意得
解得a1＝－1，q＝2.
所以{an}的公比等于2.
答案：C
12．已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是( )
A.
B．
C.
D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
因为a3，a5，a4成等差数列，
所以2×a5＝a3＋a4，则a3q2＝a3＋a3q，
化简得，q2－q－1＝0，解得q＝，
则q＝，
所以＝＝＝＝.
答案：A
13．在等比数列{an}中，an∈R，且a3，a11是方程3x2－25x＋27＝0的两根，则a7＝________.
解析：由题意得
所以a3＞0，a11＞0，且a＝a3a11＝9.所以a7＝3.
答案：3
14．等比数列{an}中，若a2a5＝2a3，a4与a6的等差中项为，则a1＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为a2a5＝2a3，
所以aq5＝2a1q2，化为：a1q3＝2＝a4.
因为a4与a6的等差中项为，
所以a4＋a6＝2×，
所以a4(1＋q2)＝.
所以q2＝，解得q＝±.
则a1×＝2，解得a1＝±16.
答案：±16
15．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝(n∈N
)．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求an的通项公式．
解析：(1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝.
又a1＝1，∴－＝，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)可知－＝()×()n－1，
∴＝＋＝，∴an＝.
16．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若a5＝，求λ.
解析：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即(λ－1)an＋1＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.
(2)由(1)可知，a5＝－＝，
∴λ＝－1.
PAGE等比数列的性质
[A组 学业达标]
1．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝( )
A．3
B．6
C．27
D．9
解析：在等比数列{an}中，由a4a5a6＝27，得a＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a＝9，故选D.
答案：D
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若anan＋1＝22n＋1，则a5＝( )
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4aa6＝220，
结合等比数列的性质得，a＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32.
答案：D
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )
A．16
B．32
C．64
D．256
解析：由已知，得a1a19＝16.
∵a1·a19＝a8·a12＝a，
∴a8·a12＝a＝16.
an＞0，∴a10＝4，
∴a8·a10·a12＝a＝64.
答案：C
4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
解析：{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，则＝·＝pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．故选C.
答案：C
5．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于( )
A．10
B．25
C．50
D．75
解析：利用等比数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.
答案：B
6．设数列{an}为公比q＞1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
答案：18
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
解析：由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，
∴a2＝－6.
答案：－6
8．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为________．
解析：由已知得
得＝，即＝，
解得q＝或2，
当q＝2时，代入①得a1＝4，{an}是递增数列；
当q＝时，代入①得a1＝－64，{an}也是递增数列．
综上可知，公比q能取2或.
答案：2或
9．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．
解析：设三个数为，a，aq(a，q＞0)，
由题
∴?a2＝21×＝36，
∴a＝6，q＝2或，
∴三个数为3,6,12或12,6,3.
10．和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
解析：设等差数列的首项为a，公差为d，则它的第1,4,25项分别为a，a＋3d，a＋24d，∵它们成等比数列∴(a＋3d)2＝a(a＋24d)，∴a2＋6ad＋9d2＝a2＋24ad.
∴9d2＝18ad，∵等比数列的公比不为1，∴d≠0，∴d＝2a.①
由题意知：a＋(a＋3d)＋(a＋24d)＝114，即3a＋27d＝114，②
由①②可以解得，a＝2，d＝4，∴这三个数就是2,14,98.
[B组 能力提升]
11．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
解析：由题意得消去a得4b2－5bc＋c2＝0.
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，
代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.
答案：D
12．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.
B．
C．2
D．2
解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2，故选C.
答案：C
13．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.
解析：因为等比数列{an}为递增数列且a1＝－2＜0，所以0＜q＜1，将3(an＋an＋2)＝10an＋1两边同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝，而0＜q＜1，所以q＝.
答案：
14．在各项均为正数的等比数列{an}中，am－1am＋1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为________．
解析：由等比数列的性质，am－1am＋1＝a＝2am，各项均为正数，则am＝2.又T2m－1＝(am)2m－1＝22m－1＝512，则2m－1＝9，知m＝5.
答案：5
15．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a50，a51是方程100(lg
x)2＝lg(100
x)的两个不同的解，求a1a2…a100的值．
解析：对k＝50,51，有100(lg
ak)2＝lg(100ak)＝2＋lg
ak，即100(lg
ak)2－lg
ak－2＝0.
因此，lg
a50，lg
a51是一元二次方程100t2－t－2＝0的两个不同实根，
从而lg(a50a51)＝lg
a50＋lg
a51＝，
即a50a51＝.
由等比数列的性质知，a1a2…a100＝(a50a51)50＝(1)50＝.
16．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解析：(1)设{an}的公比为q(q≠0)，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－，所以{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1，(n≥1)．
(2)设{an}的公比为q(q≠0)，则由b＝b1b3得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，即aq2－4aq＋3a－1＝0(
)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(
)有两个不同的实根，由{an}唯一，知方程(
)必有一根为0，代入(
)得a＝.
PAGE等比数列的前n项和公式的推导及简单应用
[A组 学业达标]
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2
018＋a2
019＝0，则S101等于
( )
A．3
B．303
C．－3
D．－303
解析：由a2
018＋a2
019＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3.
答案：A
2．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为( )
A．10
B．
C．11
D．12
解析：设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，解得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.
答案：C
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝( )
A．10
B．9
C．－8
D．－5
解析：设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3，故＝＝10.
答案：A
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sm＝15，则m为( )
A．12
B．14
C．15
D．16
解析：＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1，得a1·＝1，∴a1＝q－1，又Sm＝15，即＝15，∴qm＝16，
∵q4＝2，∴m＝16.故选D.
答案：D
5．已知数列{an}是递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，
a3a4＝32，则S5的值是( )
A．62
B．48
C．36
D．31
解析：由a2＋a5＝18，a3a4＝32，得a2＝16，a5＝2或a2＝2，a5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{an}的公比为q，则a1＝32，q＝，所以S5＝＝62，选A.
答案：A
6．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且公比q＞1，
∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，因此S6＝＝63.
答案：63
7．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn(n∈N
)，且－＝，则S4＝________.
解析：正项等比数列{an}中，a1＝1，
且－＝，
所以1－＝，
即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，
所以S4＝＝15.
答案：15
8．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．
解析：因为a－6a＝an＋1an，所以(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，因为an＞0，所以an＋1＝3an，所以{an}为等比数列，且公比为3，所以Sn＝3n－1.
答案：3n－1
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得，d＋q＝3，①
(1)由a3＋b3＝5得，2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4，
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21；
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析：(1)∵S1，S3，S2成等差数列，
∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，
于是＝a1＋，
即2(1＋q＋q2)＝2＋q，
整理得2q2＋q＝0，∴q＝－(q＝0舍去)．
(2)∵q＝－，又a1－a3＝3，
∴a1－a1·2＝3，解得a1＝4.
于是Sn＝＝.
[B组 能力提升]
11．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1
B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an
D．Sn＝3－2an
解析：因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an，故选D.
答案：D
12．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝( )
A．63或120
B．256
C．120
D．63
解析：由题意得
解得或
又＜1，所以数列{an}为递减数列，故
设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，
因为数列为正项等比数列，所以q＝，
从而a1＝64，所以S4＝＝120.故选C.
答案：C
13．将等比数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，a1＝，q＝2，则数阵的第5行所有项之和为________．
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
解析：由题意可得第5行a11，a12，a13，a14，a15，
因为a1＝，q＝2，
所以a11＝×210＝32，
所以a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝＝992.
答案：992
14．等比数列{an}的公比不为1，若a1＝1，且对任意的n∈N
，都有an＋1，an，an＋2成等差数列，则{an}的前5项和S5＝________.
解析：对任意的n∈N
，都有an＋1，an，an＋2成等差数列，即有2an＝an＋1＋an＋2，
令n＝1可得a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，
则a1(q2＋q－2)＝0.
由q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，
则S5＝＝＝11.
答案：11
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)∵Sn＝2n＋1－2，
∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
又a1＝2＝21，∴an＝2n.
(2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(41＋42＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋.
16．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ(λ为常数)．
(1)试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；
(2)当λ＝1时，求数列{n(an＋λ)}的前n项和Tn.
解析：(1)因为an＋1＝2an＋λ，
所以an＋1＋λ＝2(an＋λ)．
又a1＝1，所以当λ＝－1时，a1＋λ＝0，数列{an＋λ}不是等比数列，
此时an＋λ＝an－1＝0，即an＝1；
当λ≠－1时，a1＋λ≠0，所以an＋λ≠0，
所以数列{an＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时an＋λ＝(1＋λ)2n－1，
即an＝(1＋λ)2n－1－λ.
(2)由(1)知an＝2n－1，所以n(an＋1)＝n×2n，
Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
PAGE等比数列的前n项和公式的性质及应用
[A组 学业达标]
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1
B．0
C．1或0
D．－1
解析：∵Sn－Sn－1＝an，{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1.
答案：A
2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：由题知公比q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.
答案：C
3．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1)
B．n(n－1)
C.
D.
解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋×2＝n(n＋1)．故选A.
答案：A
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3
B．5
C．－31
D．33
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.
∵S3＝2，S6＝18，
∴＝，得q3＝8，
∴q＝2.∴＝＝1＋q5＝33，故选D.
答案：D
5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8＝( )
A．－30
B．40
C．40或－30
D．40或－50
解析：因为数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn，所以S4，S8－S4，S12－S8也构成等比数列．
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
因为S4＝10，S12＝130，等比数列{an}各项均为正数，所以(S8－10)2＝10·(130－S8)，
所以S8＝40.
答案：B
6．数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝8，则S12＝________.
解析：由等比数列前n项和的性质，知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，
又S4＝2，S8＝8，故S12＝26.
答案：26
7．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.
答案：64
8．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
解析：{an}的首项为2，公比为3，
∴{a}也为等比数列，首项为4，公比为9，
∴{a}的前n项和为＝(9n－1)．
答案：(9n－1)
9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解析：(1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
即＝，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
10．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)·q＋S4＝0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解析：(1)由条件得an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
故Sn＝＝＝n2.
(2)由(1)知a4＝7，S4＝16，
所以q2－8q＋16＝0，从而q＝4.
又b1＝2，且{bn}为等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1，
Tn＝＝＝(4n－1)．
[B组 能力提升]
11．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．80
B．30
C．26
D．16
解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，
∴Sn·(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2，
即2×(14－S2n)＝(S2n－2)2，
解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)．
同理，(6－2)(S4n－14)＝(14－6)2，
解得S4n＝30.
答案：B
12．已知数列{an}中，an＝－3n＋4，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a1，则满足＋＋…＋＜成立的n的最大值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由an＝－3n＋4可得其公差为－3，所以q＝－3，且b1＝a1＝1，故bn＝(－3)n－1，故＝()n－1是公比为的等比数列，所以＋＋…＋＝＝＜.故n的最大值为4.
答案：B
13．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.
答案：3n－1
14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2
013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得
即
解得
故数列{an}的通项公式为an＝3·(－2)n－1.
(2)由(1)得Sn＝＝1－(－2)n.
若存在n，使得Sn≥2
013，则1－(－2)n≥2
013，
即(－2)n≤－2
012.
当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2
012，即2n≥2
012，
即n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
15．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列．
(1)求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列；
(2)若a1＝2，求数列a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2的和．
解析：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，由题意得2a7＝a1＋a4，
即2a1·q6＝a1＋a1·q3，
∴2q6－q3－1＝0.令q3＝t，则2t2－t－1＝0，
∴t＝－或t＝1.
即q3＝－或q3＝1.
当q3＝1时，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，
∴S＝2S3·(S12－S6)，
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．
当q3＝－时，2S3＝2×＝＝，
S6＝＝，
S12－S6＝＝＝，
∴S＝2S3·(S12－S6)，
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．
综上可知，2S3，S6，S12－S6成等比数列．
(2)当q3＝1时，q＝1，{an}为常数列，an＝2，
∴a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝2n.
当q3＝－，a1，a4，a7…是以a1＝2为首项，公比为－的等比数列．
∴a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝
＝.
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