高二级数学检测5导数的综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.火车的锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤的费用为40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100km/h,火车以 的速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少. ( )
A.20km/h
B.20km/h
C.20km/h
D.30km/h
【解析】选A.设火车的速度为xkm/h,
甲、乙两城距离为akm.
由题意,令40=k·203,所以k=,
则总费用f(x)=(kx3+400)·=a(kx2+)
=a(0
由f′(x)==0,得x=20.
当0当200,f(x)单调递增.
所以当x=20时,
f(x)取极小值也是最小值,
即速度为20km/h时,总费用最少.
2.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选A.当x∈(-∞,-1)和x∈(1,+∞)时,
f(x)是增函数,所以f′(x)>0,
由x·f′(x)<0,得x<0,所以x<-1.
当x∈(-1,1)时,f(x)是减函数,所以f′(x)<0.
由x·f′(x)<0,得x>0,
所以0故x·f′(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
3.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,4]
C.(0,+∞)
D.[4,+∞)
【解析】选B.2xlnx≥-x2+ax-3,
则a≤2lnx+x+,
设h(x)=2lnx+x+(x>0),
则h′(x)=.
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=4,所以a≤h(x)min=4.
4.若a>2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有 ( )
A.0个零点
B.1个零点
C.2个零点
D.3个零点
【解析】选B.因为f′(x)=x2-2ax,且a>2,
所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,
即f(x)在(0,2)上是单调减函数.
又因为f(0)=1>0,f(2)=-4a<0,
所以f(x)在(0,2)上恰好有1个零点.
5.已知函数f(x)=给出如下三个命题:
①f(x)在(,+∞)上是减函数;②f(x)≤在R上恒成立;
③函数y=f(x)图象与直线y=-有两个交点.
其中真命题的个数为 ( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解析】选B.当x<0时,函数f(x)=ex+x-1显然是增函数;
当x≥0时,函数f(x)=-x3+2x,
f′(x)=-x2+2且f(0)=0,
所以函数在[0,)上单调递增,在[,+∞)上单调递减,
f(x)极大值=f()=,由此画出函数大致图象,故①,③正确.
6.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有
f′(x)>f(x)成立,则 ( )
A.3f(ln2)>2f(ln3)
B.3f(ln2)=2f(ln3)
C.3f(ln2)<2f(ln3)
D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
【解析】选C.根据题意,令g(x)=,则g′(x)==>0,所以有g(x)=是增函数,从而有>,即3f(ln2)<2f(ln3).
7.已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.
D.
【解析】选A.f′(x)=2xlnx+(1-2a)x=x(2lnx+1-2a),
当a≤时,因为x≥1,所以f′(x)≥0.
所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
故f(x)≥f(1)=0.
当a>时,令f′(x)=0,得x=.
若x∈,则f′(x)<0,
所以函数f(x)在上单调递减,
所以当x∈时,f(x)≤f(1)=0不符合题意.综上a的取值范围是.
8.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0
【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=±1,
所以-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20,
所以t的最小值是20.
9.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选B.(1)当a=0时,函数f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意.
(2)当a>0时,由于f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),利用导数的正负与函数单调性的关系可得在(-∞,0)和上函数单调递增,在上函数单调递减,显然存在负零点,不合题意.
(3)当a<0时,利用导数的正负与函数单调性的关系可得,在和(0,+∞)上函数单调递减,在上函数单调递增,要使得函数有唯一的零点且为正,则满足即有a×-3×+1>0,则有a2>4,解得a<-2或a>2(不合条件a<0,舍去).
综合可得a<-2.
二、填空题
10.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是 .
【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,
可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,
如图,观察得-2答案:(-2,2)
11.已知圆柱的体积为16πcm3,则当底面半径r= cm时,圆柱的表面积最小.
【解析】圆柱的体积为V=πr2h=16π?r2h=16,圆柱的表面积S=2πrh+2πr2=+2πr2=2π,
由S′=2π·=0,得r=2.
因此
r
(0,2)
2
(2,+∞)
S′
-
0
+
S
↘
极小值,也是最小值
↗
所以当底面半径r=2cm时,圆柱的表面积最小.
答案:2
12.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为 .
【解析】由y′=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,
由于0当x>40时,y′>0.
所以当x=40时,y有最小值.
答案:40
13.若a>,则方程lnx-ax=0的实根的个数为 个.
【解析】由于方程lnx-ax=0等价于=a.
设f(x)=.
因为f′(x)==,令f′(x)=0,得x=e,所以f(x)在(0,e)上单调递增;在(e,+∞)上单调递减.
所以f(x)的最大值为f(e)=,f(x)=≤(当且仅当x=e时,等号成立).因为a>,所以原方程无实根.
答案:0
14.设函数f(x)=6lnx,g(x)=x2-4x+4,则方程f(x)-g(x)=0
有 个实根.
【解析】设φ(x)=g(x)-f(x)=x2-4x+4-6lnx,
则φ′(x)==,且x>0.
由φ′(x)=0,得x=3.当0当x>3时,φ′(x)>0.
所以φ(x)在(0,+∞)上有极小值
φ(3)=1-6ln3<0.
故y=φ(x)的图象与x轴有两个交点,
则方程f(x)-g(x)=0有两个实根.
答案:2
15.
(
全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分
则V=（90-2x）（48-2x）x,(0=4x3-276x2+4320x
∵V′=12
x2-552x+4320……7分
由V′=12
x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10
时，V′>0,
10x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分
试卷第4页，总7页
试卷第1页，总7页高二级数学检测5
导数的综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1.火车的锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤的费用为40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100km/h,火车以 的速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少. ( )
A.20km/h
B.20km/h
C.20km/h
D.30km/h
2.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,4]
C.(0,+∞)
D.[4,+∞)
4.若a>2,则函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有 ( )
A.0个零点
B.1个零点
C.2个零点
D.3个零点
5.已知函数f(x)=给出如下三个命题:
①f(x)在(,+∞)上是减函数;②f(x)≤在R上恒成立;
③函数y=f(x)图象与直线y=-有两个交点.其中真命题的个数为 ( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
6.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有
f′(x)>f(x)成立,则 ( )
A.3f(ln2)>2f(ln3)
B.3f(ln2)=2f(ln3)
C.3f(ln2)<2f(ln3)
D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
7.已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.
D.
8.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有
|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0
9.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
二、填空题
10.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是 .
11.已知圆柱的体积为16πcm3,则当底面半径r= cm时,圆柱的表面积最小.
12.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为 .
13.若a>,则方程lnx-ax=0的实根的个数为 个.
14.设函数f(x)=6lnx,g(x)=x2-4x+4,则方程f(x)-g(x)=0
有 个实根.
三、解答题
15.
(
全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页