_1.1.3 导数的几何意义课件（共31张PPT）2020-2021学年高二下学期数学人教A版选修2-2第一章

1.1.3　导数的几何意义
1.导数的几何意义
(1)切线的定义
导思
1.导数的几何意义是什么,如何求切线的斜率?
2.如何求函数的导函数?
如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线
PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT
称为点P处的_____.
切线
(2)导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,
即k= =_______.
(3)本质:是曲线上一点处的切线的斜率.
(4)应用:①求切线的方程;②求直线的倾斜角
f′(x0)
【思考】
(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?
提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无
穷多个.
(2)曲线的切线与导数有什么关系?
提示:①函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值
就是该切线的斜率.
②函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定
可导,例如f(x)= 在x=0处有切线,但不可导.
2.导函数的概念
(1)定义:当x变化时,_______是自变量x的一个函数,称为函数f(x)的导函数(简
称导数).
(2)记法:f′(x)或y′,即f′(x)=y′= _____________ .
f′(x)
【思考】
f′(x)与f′(x0)相同吗?它们之间有何关系?
提示:f′(x)与f′(x0)不相同.f′(x)是函数f(x)的导函数,f′(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f′(x)在x=x0时的函数值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在x=x0处的函
数值. (　　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))
处的切线与x轴所夹锐角的正切值. (　　)
(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))
处的切线的斜率. (　　)
(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0,f(x0))与点(0,0)连
线的斜率. (　　)
提示:(1)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在x=x0处的导数值.
(2)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线倾斜角的正切值.
(3)√.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
(4)×.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率.
2.曲线f(x)=x3+2x+1在点(0,f(0))处的切线的方程为 (　　)
A.y=x-1 B.y=x+1
C.y=2x-1 D.y=2x+1
【解析】选D.因为f′(0)=
,
所以曲线f(x)=x3+2x+1在点(0,f(0))处的切线的斜率为2,所以切线方程为
y-1=2(x-0),即y=2x+1.
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线的斜率为 (　　)
A.4 B.16 C.8 D.2
【解析】选C.
,即斜率k=8.
关键能力·合作学习
类型一　求曲线的切线方程(数学运算)
【题组训练】
1.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=5x-1 B.y=-5x+1
C.y= x+1 D.y=- x-1
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x+y+5=0,则 (　　)
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x)=0 D.f′(x0)不存在
【解析】1.选A.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线的斜率
,
f(1)=4.所以切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1.
2.选B.由切线方程y=-3x-5及导数的几何意义知
f′(x0)=-3<0.
【解题策略】
1.求曲线上某点处切线方程的三个步骤
2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0,y0).
(2)求出函数y=f(x)在点Q处的导数f′(x0).
(3)利用Q在曲线上和f′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f′(x0).
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
类型二　求切点坐标(数学运算)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标和实数a的值.
【思路导引】根据切线方程得到切线斜率为8,解导数方程即可得到结论.
【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),切线的斜率为k,
由
,
得 ,
根据题意得4x0=8,x0=2,分别代入y=2x2+a和8x-y-15=0,得a=-7,y0=1,故
P(2,1),a=-7.
【解题策略】
求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0).
(2)求斜率:求切线的斜率f′(x0).
(3)列方程:由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(4)求切点:因点(x0,y0)在曲线上,将(x0,y0)代入曲线方程求y0,得切点坐标.
【跟踪训练】
曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为 (　　)
A.(-2,-8) B.(1,1),(-1,-1)
C.(2,8) D.
【解析】选B.因为y=x3,所以

.
令3x2=3,得x=±1,
所以点P的坐标为(1,1),(-1,-1).
类型三　导数几何意义的应用(数学运算)
　角度1　点在曲线上的切线问题?
【典例】直线l过点(1,2)且平行于曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,求直线l的方程.
【思路导引】先求出曲线在点(1,0)处的切线斜率,从而得直线l的斜率,进而得出l的方程.
【解析】y′=

,所以y′|x=1=2×1+1=3,
所以直线l的斜率为3,所以l的方程为:
y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
【变式探究】
本例改为直线l过点(1,2)且与曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线垂直,求直线l的方
程.
【解析】
,
所以y′|x=1=2×1+1=3,
所以直线l的斜率为- ,所以l的方程为:
y-2=- (x-1),即x+3y-7=0.
　角度2　已知点不在曲线上的切线问题?
【典例】求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线与x轴、y轴围成的三角形面积.
【思路导引】点(-1,-2)不在曲线上,所以先根据题意确定切点的坐标,再求出切线方程,然后求面积.
【解析】
.
设切点坐标为(x0,2x0- ),则切线方程为:
y-2x0+ =(2-3 )(x-x0),因为切线过点(-1,-2),所以-2-2x0+ =
(2-3 )(-1-x0),
即2 +3 =0,解得x0=0或x0=- ,所以切点坐标为(0,0)或 .
当切点为(0,0)时,切线斜率 ,切线方程为y=2x,与坐标轴构不成
三角形.
当切点为 时,切线斜率为: ,切线方程为:
y+2=- (x+1),即19x+4y+27=0.
在x轴上的截距为x=- ,在y轴上的截距为y=- ,所以切线与坐标轴围成的
三角形面积为:
.
【解题策略】
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.
【题组训练】
1.已知曲线f(x)= ,g(x)= ,过两曲线交点作两条曲线的切线,则曲线f(x)
在交点处的切线方程为________.?
【解析】由 得
所以两曲线的交点坐标为(1,1).由f(x)= ,
得 ,
所以y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1= (x-1),即x-2y+1=0.
答案:x-2y+1=0
2.求抛物线y=x2上的一点到直线x-y-2=0的最短距离.
【解析】根据题意可得,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到
直线x-y-2=0的距离最短,由y=x2知,
= (2x+Δx)=2x.设切点坐标为(x0, ).
根据定义可求导数 ,
所以x0= ,所以切点坐标为 .
切点到直线x-y-2=0的距离 .
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 .
1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 (　　)
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
【解析】选B.f′(x0)=0,说明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,所以与x轴平行或重合.
2.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P坐标为________.?
【解析】设点P(x0, +4x0),
则
,
令4x0+4=16得x0=3,所以P(3,30).
答案:(3,30)
3.如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象,则f(2)+f′(2)=________.
【解析】由题干图可知,点P处切线的斜率为
, 即f′(2)= .
切线方程为y= (x-4),
将x=2代入得y=f(2)= .
则f(2)+f′(2)= - = .
答案:
4.已知抛物线y=2x2+1,抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?
【解析】设切点坐标为(x0,y0),则
Δy=2(x0+Δx)2+1-2 -1=4x0·Δx+2(Δx)2,
所以 =4x0+2Δx,所以 .因为抛物线的切线与
直线x+8y-3=0垂直,所以切线斜率为8,即f′(x0)=4x0=8,得x0=2.
该点为(2,9).