2020-2021学年高一下学期数学必修第二册第七章《复数》基础培优训练卷Word含解析

2020-2021学年高一下册数学必修第二册第七章《复数》基础培优训练卷
一、单选题
1．已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知i为虚数单位，且复数，则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知复数满足：，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．为纯虚数
D．在复平面上对应的点在第四象限
11．满足及的复数可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数是实数的充要条件是
B．复数是纯虚数的充要条件是
C．若，互为共轭复数，则是实数
D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称
三、填空题
13．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）
14．若是虚数单位，则__________.
15．已知复数在复平面内对应的点分别为，则_________.
16．已知复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数_________.
17．已知，则 的最小值是_________．
18．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标（x，y）的轨迹方程为__________.
19．设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______．
四、解答题
20．已知虚数满足
（1）求；
（2）若，求的值.
21．已知复数，为虚数单位.
（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若，求的共轭复数.
22．已知为虚数单位.若是实数.
（1）求实数的值；
（2）求的值.
23．设，复数(为虚数单位)是纯虚数．
（1）求的值；
（2）若是方程的一个根，求实数，的值．
24．已知i为虚数单位，关于x的方程有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值.
25．（1）在复数范围内解方程（为虚数单位）
（2）设是虚数，是实数，且
（i）求的值及的实部的取值范围；
（ii）设，求证：为纯虚数；
（iii）在（ii）的条件下求的最小值．
参考答案
1．D
，因为为纯虚数且为实数，
故，故，
2．B
∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|
＝﹣1＝﹣1
∴|z+2|的最小值是﹣1．
3．C
复数的实部为，则，即.∴，
.复数，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
4．D
因为，所以，则，
因此复数z的共轭复数为.
5．D
.
6．B
由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
7．A
表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；
表示的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆；
，表示的轨迹是直线，如图所示：
表示直线上的点到圆和圆上的点的距离，
先作出点关于直线的对称点，连接, 与直线交于点.
的最小值为.
8．C
因为对任意，，则,
，
，解得.
9．BC
由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
10．BCD
因为，则的虚部为3，
，为纯虚数，对应的点在第四象限，
11．CD
对于A，， ，，错误；
对于B，，，，错误；
C. ，，，正确；
D. ，，，正确.
12．AC
解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；
对于：若复数是纯虚数则且，故错误；
对于：若，互为共轭复数，设，则，所以是实数，故正确；
对于：若，互为共轭复数，设，则，所对应的坐标分别为，，这两点关于轴对称，故错误；
13．充要
当时，为纯虚数，充分性成立，
若纯虚数，则，解得，必要性成立，
∴“”是“为纯虚数”的充要条件．
故答案为：充要．
14．0
因为是虚数单位，
所以，，，，
所以，
所以
15．
16．
因为，所以，解得.
又因为在复平面内对应的点位于第二象限，所以.
所以.
故答案为：
17．1
解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，
，
所以．
18．
设复数，
则，，
所以，整理得，即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为.
故答案为：.
19．-2
设（s，，）．则．
则，．
∵是实数，
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴，
取，
则，
∴．
则
．
20．（1）；（2）.
（1）依题意
，
所以，所以.
（2）依题意，
即
，
所以.
由得，
所以，
所以.
21．（1）；（2）.
（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，所以.
22．（1）3；（2）.
（1），，
由题意知为实数，
∴，解得.
（2）当时，，， ，
则.
23．（1）.（2），．
（1）复数是纯虚数，
解得：
（2） 是方程的一个根
由（1）可得，即：是方程的一个根
即
解得：，．
24．（1）；（2）
（1）是方程的实数根，
，，解得.
（2）设（x，），由，得，
即，它表示复数z对应的点Z到点的距离为，
构成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图所示.
当点Z在所在的直线上时，有最大值或最小值，，半径，
当时，有最小值，且.
25．（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii）
（1）
设，则
，解得：
（2）（i）设且
为实数 ，整理可得：
即

（ii）
由（i）知：，则
且
是纯虚数
（iii）
令，则，
（当且仅当时取等号）
即的最小值为：