6.4.3余弦定理、正弦定理综合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册课前检测（Word含解析）

人教A版6.4.3余弦定理、正弦定理综合检测卷
一、单选题
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ）
A． B． C．4 D．
2．中，若，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知的三边长分别为7，5，3，则的最大内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形 ABCD中，∠ADC =120°，∠ACD=30°，∠BCD=90°，DC=，BC=2，则AB =（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B． a km
C． akm D．2akm
6．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是　　
A． B．60 C． D．
7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．在三角形中，，则三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．如图，地面四个5G中继站A．B．C．D，已知A．B两个中继站的距离为，，，，则C，D两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，则一定是
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
11．已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且， 则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，B＝，那么sinA＝_____．
14．中，，则________
15．如图，在中，点是边上的一点，，，，，则的长为________.
16．在中，内角的对边分别为，已知，，则的最大值为________.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
18．在中，．
（1）求；
（2）若，，求边．
19．在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
20．已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为.
（1）求的大小；
（2）求的值.
21．如图，是直角斜边上一点，．
（1）若，求角的大小；
（2）若，且求的长．
22．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求BC边上的高的长；
（2）求的最大值．
参考答案
1．B
【分析】
直接利用正弦定理即可求解．
【详解】
，，，
由正弦定理，
可得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
2．A
【分析】
直接利用三角形面积公式进行计算.
【详解】
因为，
又
所以的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式.属于容易题.
3．B
【分析】
根据大边对大角，由余弦定理，即可得出结果.
【详解】
三角形中，大边对大角，
所以边长为7的边所对的角最大，记作角，
由余弦定理，可得：，
解得：.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.
4．C
【分析】
在中可得，从而求得，在中，由余弦定理求．
【详解】
在中，，，，
，
，
．
在中，，，，
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．B
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】
在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
6．A
【分析】
由利用余弦定理可得，结合的范围即可得的值．
【详解】
中，，
可得：，
由余弦定理可得：，
，
，故选A．
【点睛】
本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
7．C
【解析】
【分析】
首先用正弦定理将转化为，再利用余弦定理列方程，求出的值，由此求得三角形周长.
【详解】
因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
又，解得，．则的周长是．
故应选C
【点睛】
本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理主要用于边和角的互化，余弦定理主要用于列方程求未知数.属于基础题.
8．C
【分析】
直接代正弦定理得,所以A=B，所以三角形是等腰三角形.
【详解】
由正弦定理得,所以=0，即,
所以A=B,所以三角形是等腰三角形.
故答案为C
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．C
【分析】
由正弦定理得求得AC、BC长，再由余弦定理得AB长可得答案.
【详解】
解：在中，，
在中，，
设，则，，
在中，由余弦定理，，
解得，
故选：C
【点睛】
思路点睛：把待求量放到三角形中，然后利用正余弦定理解三角形是解决这类问题的一般思路，基础题.
10．D
【分析】
根据余弦定理得到，进而得到三个角相等，是等边三角形.
【详解】
中，，
,
故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.
故答案为D.
【点睛】
这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.
11．A
【分析】
由余弦定理求得，且，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.
【详解】
由得，所以，即，而，所以，
所以，又因为，
所以，所以，，
故选：A.
【点睛】
本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.
12．C
【分析】
由正弦定理得求得AC、BC长，再由余弦定理得AB长可得答案.
【详解】
由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.
13．
【分析】
利用正弦定理列方程，解方程求得.
【详解】
依题意，由正弦定理得，
所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
14．2
【分析】
由余弦定理化角为边后即得结论．
【详解】
由余弦定理，
∴．
故答案为：2．
15．
【分析】
首先在中利用余弦定理求，再在中利用余弦定理求.
【详解】
中根据余弦定理，
即，整理为，解得：，
中利用余弦定理，
，所以.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：利用正余弦定理解三角形，一般包含以下几种情况:
1.已知两角和一边，利用正弦定理解三角形；
2.已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理，求边用余弦定理；
3.已知两边和夹角，用余弦定理解三角形.
16．
【分析】
先根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简，可得，从而可求出角，再利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值
【详解】
解：因为，
所以由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
化简得，
因为，所以，解得，
因为，所以，
因为，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，当且仅当时取等号
所以，
的最大值为，
故答案为：
【点睛】
此题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查两角和与差的三角函数公式和诱导公式，考查基本不等式的应用，属于中档题
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）因为，所以，然后，由变为，进而求解即可
（2）利用正弦定理和余弦定理，求出和，利用面积公式求解即可
【详解】
解：（1）因为，所以，
故，
所以，
即，得．
（2）由，，得．
在中，由余弦定理，得
，
又因为，所以，，
所以的面积为．
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于利用正弦定理，化简得，以及利用余弦定理求出和，难点在于运算，难度属于中档题
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）在中，利用正弦定理及其，可得，利用和差公式化简整理可得．
（2）在中，利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理即可求解的值．
【详解】
解：（1）在中，由正弦定理，
又，可得，
因为，，
可得，
可得：，
则．
又由，可得．
（2）在中，由余弦定理及，，，
可得，
所以由正弦定理，可得．
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．(1).
(2).
【解析】
分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得的值；
（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值.
详解：(1)由已知及正弦定理得：，
，

(2)
又
所以，．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
20．（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面积相等，求出的大小；
（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．
【详解】
（1）由三角形面积可知，
，又因为是锐角，所以.
（2）由（1）可知，
所以.
又因为，
因此.
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）在中，由正弦定理得可得，从而求得角；
（2）由直角三角形求得，再用余弦定理计算．
【详解】
解：（1）在中，由正弦定理得：，
由题意得：，
∵，
∴，
∴；
（2）
，∴在中，
∴，
在中，由余弦定理得：
．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，掌握正弦定理与余弦定理解三角形的类型是解题关键．
正弦定理解三角形类型：（1）已知两角及一角对边；（2）已知两边及一边对角（这种类型可能出现两解，需判断）；
余弦定理解三角形类型：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边求内角．
在已知两边及一角时都可得用余弦定理解三角形．
22．（1）； （2）．
【分析】
（1）由条件结合正弦定理可得，然后可得答案；
（2）设，，则，然后可得，然后可利用基本不等式求出最值.
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得
即
因为，所以，所以
所以
又因为，所以
（2）设，，则
①当，或时，
②当时，，
此时
因为，所以
所以，当且仅当时等号成立
所以当时，取得最大值
综上，的最大值为
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.