第一章 三角形的证明单元检测题1（含答案）

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北师大版学2020-2021年度下学期八年级数学(下册)
第一章三角形的证明检测题1 (有答案)
(时间：100分钟 满分：120分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
一、选择题(共10小题 每3分 共30分)
1．已知在一个角为30°的等腰三角形中，腰长为2cm，则这个三角形一腰上的高为( )
A．1 B． C．1或 D．或2
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏西65°方向的A处，它以每小时36海里的速度向正北方向
航行，1.5小时后到达位于灯塔P的北偏东50°的B处，则B处与灯塔P的距离为(　　)
A．60海里 B．54海里 C．52海里 D．48海里
3．在Rt△ABC中，AC=12，BC=16，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，交BC于点D，则△ADB的面积为 ( )
A．120 B． 90 C．72 D．60
4．如图，点P是等边三角形△ABC内部一点，AP=2，BP=，CP=4，则△ABC的面积为( )
A．10 B． C． D．
5．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )
A．145° B．140° C．135° D．125°
6．等腰三角形一腰的中线，将这个三角形的周长分成15cm和18cm的面部分，则这个等腰
三角形的底边长为( )
A．9 B．9或11 C．11 D．8或3
7．已知等腰三角形一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的腰长为( )．
A． B．9 C． D．或
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=8，BD=6，则AC的长为( )
A． B． C．8 D．
9．如图：在△ABC中，∠BAC=100°，∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，D是BC上一点，
且点D是线段AC垂直平分线上一点，，则∠CED的度数( )
A．25° B．20° C．15° D．10°
10．下列命题:①过到一条线段距离相等的点的直线，一定是这条线段的垂直平分线；②一个三角
形两边的垂直平分线的交点在这个三角形的外部，那么这个三角形是钝角三角形；③到角的
两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；④三角形三条角平分线的交点在这个三角形的
内部，则这个三角形是锐角三角形；⑤ 等边三角形三条中线、三条角平分线、三条高和三边
的垂直平分线的交点是同一点.其中正确的命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(共10小题 每题3分 共30分)
11．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，DE⊥AB，于点E，若AC=18，
CD=6，AB=22.5，则△BDE的周长为 .
12．已知等腰三角形的一个外角为70°，则其顶角为 .
13．下列命题：(1)等腰三角形两底角相等；(2)如图a=b，则a2=b2；(3)直角三角形的两个锐角互
余；(4)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；(5)对顶角相等.其中逆命题是
真命题的是 .(填序号)
14．如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，OP=17cm，P1与P关于OB对称，P2与P关
于OA对称，则P1P2的长为 cm.
15．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，
N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN的周长的最小值是 ．
16．已知如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACE的平分线的交点，若∠BDC=35°，
则∠CAD的度数为 .
17．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，
则∠B= ．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为28、35、49．其三条角平分线交于点O，则
S△ABO:S△BCO:S△CAO= ．
19．若∠MAN=10°，A1，A3，…在AN上，A2，A4，…在AM上，△AA1A2，△A1A2A3，…均是等
腰三角形，且AA1=A1A2=A2A3，…在∠MAN中长度为AA1的线段，最多能作出 条.
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，EP是AD的垂直平分线，交BC延长线于点P，
连接AP，下列结论：①AP=DP；②∠B=∠CAP；③S△ABD:S△ACD=AB:AC；④BD=DC；
⑤∠BAP=∠ACP，其中正确的是 (填正确的序号).
三、解答题(共7题 共60分)
21．(满分10分)已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出逆命题并写成“如果…，那么….
的形式”；(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，
“求证”，再 进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
22．(满分9分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在线段CD上，∠DAE=∠BAE，
∠ABE=∠CBE．求证：点E是DC的中点.
23．(满分9分) 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
交BC于点E，求证：△DEC的周长=BC．
24. (满分12分) 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，BE⊥CE，垂足E在
BD的延长线上，请你解决下列问题：
(1)延长BA和CE，交点为点F：
①在图上作图，并标出点F；
②证明△ACF≌△ABD；
(2)试探究线段CE和BD的关系，并证明你的结论．
25．(满分10分) 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分BC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC
于F．
(1)说明BE=CF 的理由；
(2)如果AB=5，AC=3，求 AE、BE 的长．
26．(满分10分) 如图所示，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B
两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度 是
4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)在
点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为直角三角形？若能，请求出t，若不能，请说明
理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若
不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题(共10小题 每3分 共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C B C A D A
二、填空题(共10小题 每题3分 共30分)
11、18 12、110° 13、(1)(3)(4) 14、17 15、 16、55°
17、20°或70° 18、4:5:7 19、8 20、①②③⑤
21． (1)逆命题：在一个三角形中，如果两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
如图已知△ABC中， CE、BD分别是AB、AC上的高，若BD=CE，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AD，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∵BD=CE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
22、 证明：过点E作EF⊥AD于点F，EG⊥BC的延长线于点G，
EH⊥AB于点H，
∵AD∥BC，
∴F、E、G三点共线，
∵∠DAE=∠BAE，∠ABE=∠CBE．
∴EF=EH，EH=EG，
∴EF=EG，
在△EFD和△EGC中，
∵，
∴△EFD≌△EGC(ASA)；
∴DE=CE，
∴点E是DC的中点；
23．(满分9分) 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
交BC于点E，求证：△DEC的周长=BC．
证明：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∴，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE=AC，
又∵∠A=90°，且AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，又∠DEC=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
△DEC的周长=DE+EC+DC
=AD+DC+EC
=AC+EC
=BE+EC
=BC．
24. (满分12分) 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，BE⊥CE，垂足E在
BD的延长线上，请你解决下列问题：
(1)延长BA和CE，交点为点F：
①在图上作图，并标出点F；
②证明△ACF≌△ABD；
(2)试探究线段CE和BD的关系，并证明你的结论．
解：(1)①如图：
②证明：∵∠BAC=90°，BE⊥CE，
∴∠CDE=∠F，
∵∠BDA=∠CDE，
∴∠BDA=∠F，
在△ACF和△ABD，
∵，
∴△ACF≌△ABD(AAS)；
(2)2CE=BD
证明：∵BD平分∠ABC，BE⊥CE，
∴∠A BD=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，
在△BFE和△BCE中，
∵，
∴△BFE≌△BCE(ASA)；
∴EF=CE，
∴2CE=CF，
∵△ACF≌△ABD；
∴CF=BD，
∴2CE=BD．
25．(满分10分) 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分BC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC
于F．
(1)说明BE=CF 的理由；
(2)如果AB=5，AC=3，求 AE、BE 的长．
(1)证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，DE=DF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF；
(2)在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=ABBE，AF=AC+CF，
∴5x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，AE=ABBE=51=4．
26． (满分10分) 如图所示，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B
两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度 是
4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)在
点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为直角三角形？若能，请求出t，若不能，请说明
理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若
不能，请说明理由．
解：(1)①当点Q到达点C时，即△BPQ为直角三角形．
理由如下：
∵AB=AC=BC=12cm，∴当点Q到达点C时，BP=6cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA(等边三角形三线合一的性质)．
∴4t=12,
解得t=3s时，△BPQ是直角三角形．
②当PQ⊥BC时，即△BPQ为直角三角形．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，
∴122t=2×4t，
解得t=1.2s．
∴当t=1.2时，△BPQ是直角三角形．
(2)假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP=PQ=BQ，
∴122t=4t，
解得t=2s．
∴当t=2s时，△BPQ是个等边三角形．
第14题图
第25题图
第4题图
第25题图
第26题图
第10题图
第24题图
第24题图
第23题图
第11题图
第17题图
第22题图
第8题图
第22题图
第25题图
第3题图
第15题图
第19题图
第21题图
第2题图
第24题图
第23题图
第16题图
第20题图
第18题图
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