科
目
数学
年
级
初三
班
级
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间
年
月
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课
题
第11课一元二次方程及其应用
课
时
1
课
型
复习课
教学目标
一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、一元二次方程的应用
教学重点
一元二次方程的解法、一元二次方程的应用
教学难点
会选择合适方法解一元二次问题、一元二次方程的实际应用
教学内容及过程（含教学方法及手段）
二次（三次）备课
【知识梳理】一、一元二次方程只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一般形式是ax2bxc0
(a≠0).二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法（十字交叉法）、配方法、公式法.2．求根公式：一元二次方程ax2bxc0
(a0)的求根公式是x，运用求根公式解一元二次方程的前提是b24ac≥0.三、列一元二次方程解应用题1．基本步骤：审、设、列、解、验、答.2．常见类型：（1）增长率（降低率）问题：设a为基础量，b为结果量，x为增长率（或降低率），n为增长或降低的次数，则有a(1x)nb.初中阶段，涉及到的问题通常是增长或降低两次，因此n2，即a(1x)2b.（2）面积问题：熟记矩形、三角形面积公式是关键.有关求解不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解.【典型例题】题型1
一元二次方程的根的定义【例1】若x=2是关于x的一元二次方程x2+axa2=0的一个根，则a的值为（ ）
A1或4
B．1或4
C．1或4
D．1或4题型2
一元二次方程的解法【例2】解方程：x2－3x＋2＝0.（展示不同方法：求根公式法、配方法、因式分解法）．点拨：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解.一般地，方程左边若能化成一个完全平方式，右边是一个非负数，则可采用直接开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法.题型3
一元二次方程的应用【例3】
如图1，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为
．点拨：几何图形的面积（体积）问题中的等量关系是图形的面积（体积）公式，若图形不规则，则应通过分割或平移的方法组合成规则图形，找出各部分之间的面积关系，再利用规则图形的面积公式列方程.【例4】为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．【中考链接】1.（2018长沙，）已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。2.（2019常德）解方程：3.（2019·衡阳）（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）A．9（1﹣2x）＝1
B．9（1﹣x）2＝1
C．9（1+2x）＝1
D．9（1+x）2＝14.（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【当堂练习】1.已知m是关于x的方程x22x3=0的一个根，则2m24m=
．2解方程：（x3）2=x29．3.（2019长沙9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【课堂小结】
板书设计：
作业布置：
教学反思
注：二备用黑笔，三备用红笔。
22米
17米(共8张PPT)
知识梳理
典型例题
中考链接
当堂练习
一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、一元二次方程的应用
一元二次方程及其应用
【知识梳理】
一、一元二次方程的概念
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法（含十字交叉法）、配方法、公式法.
只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一般形式是
(a≠0).
2．求根公式：一元二次方程
的求根公式是
，运用求根公式解一元二次方程的前提是
.
三、列一元二次方程解应用题
（2）面积问题：熟记矩形、三角形面积公式是关键.有关求解不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解.
1.基本步骤：审-设-列-解-验-答.
2.常见类型：
（1）增长率（降低率）问题：设a为基础量，b为结果量，x为增长率（或降低率），n为增长或降低的次数，则有
.初中阶段，涉及到的问题通常是增长或降低两次，因此n=2，即
【典型例题】
题型1
一元二次方程的根的定义
【例1】若x=-2是关于x的一元二次方程
的一个根，则
的值为（
）
A．-1或4
B．-1或-4
C．1或-4
D．1或4
【例2】解方程：x2－3x＋2＝0.（展示不同方法：求根公式法、配方法、因式分解法）．
题型2
一元二次方程的解法
备考笔记：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解.一般地，方程左边若能化成一个完全平方式，右边是一个非负数，则可采用直接开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法.
题型3
一元二次方程的应用
【例3】
如图1，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为
．
点拨：几何图形的面积（体积）问题中的等量关系是图形的面积（体积）公式，若图形不规则，则应通过分割或平移的方法组合成规则图形，找出各部分之间的面积关系，再利用规则图形的面积公式列方程.
（22﹣x）（
17﹣x）=300
【例4】为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
题型4
一元二次方程的应用
解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2=8640
解得：x=0.2=20%，
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
【中考链接】
2.（2019常德）解方程：
1.（2018长沙）已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。
3.（2019衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1
B．9（1﹣x）2＝1
C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1
4.（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C.（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【当堂练习】
1.
（2017常德）分式方程
的解为
．
2.（2018衡阳）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为
万千克，根据题意，列方程为（
）
3.（2020常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
