江西省信丰中学2012届高三第四次月考（数学）

江西省信丰中学2012届高三第四次月考（数学）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合， ，已知，那么实数k的取值范围是（ ）
A．(－,1) B．(－,1] C． (1,+) D． (－,+)
2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为( )
A．0 B．1 C．-1 D．2
3．是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题，其中是“可换命题”的是（　 　）
①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
6.设把的图象向右平移 个单位(>0)后，恰好得到函数=()的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C．π D．
7.设偶函数，当时，，则 （） A. B.
C. D.
8．若定义在上的函数满足：对任意有，且时有，的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=（ ）
A. 2011 B. 2012 C. 4024 D. 4022
9.若（）则2+的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第与第段所在直线必须是异面直线(其中是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1 B. C. D.0
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝
12．F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点A使为正三角形，那么椭圆的离心率为 。
13．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，
，。给出下列结论：①；②，③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198。
其中正确的结论是 .
14．若函数y = f (x)，x∈D同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设(a>0且a≠1) ,则当f (x)为可等射函数时，a的取值范围是 ．
15．选做题（请考生在两个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．
(A)在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .
(B) 不等式的解集是_________
三、解答题（本大题共6小题，75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（本题满分12分）
已知函数, 其中，
相邻两对称轴间的距离不小于
（1）求的取值范围；
（2）在
的面积.
17．（本题满分12分）
如右图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
18（12分）．某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时间x(小时)的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作.
(1)令，求t的取值范围；(2)求函数；
(3)市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染是否超标？请说明理由。
19.（本小题满分12分）
椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是直线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程； （2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．
20（13分）已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若 恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明：（且）
21（14分）已知在数列中，，是其前项和，且.
(1)证明：数列是等差数列；
（2）令，记数列的前项和为.
①；求证：当时，
②： 求证：当时，
2011——2012学年高三第一学期第四次月考数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C D D B D D B
二填空题参考答案
11．. 12． 13. ①②④ 14.
15. (A) (B) （1，2）
（2）由（Ⅰ）可知的最大值为1，
，，，
而，，，
由余弦定理知，，
联立解得，。 ………………12分
17．解：设，建立如图所示的坐标系，则
．
∵为的中点，∴．……………2分
(1)证明： ，
∵，平面BCE，∴AF∥平面BCE．
或求出平面的法向量，再证AF与法向量垂直。……………6分
(2)解：设平面的法向量为，由可得：
，取．………………………………8分
又，设和平面所成的角为，
则sin＝＝．
∴直线和平面所成角的正弦值为．……………………12分
18．解（1）∵,时，.
时，，∴.∴。---------4分
（2）令--------------------5分
当，即时，.--7分
当，即时，.
所以 -------------------8分
（3）当时，是增函数，.--
当时，是增函数，.
综上所述，市中心污染没有超标. --------------------12分
圆心的坐标为，半径.
圆的方程为，
整理得：. …………10分
， 令，得，.
圆过定点.………………12分
20．解：（1）上为增函数；
上为增函数；在上为减函数；…………4分
（2）易知k>0,则即；…………8分
（3）令则对恒成立 即：对恒成立
取，则即，
…………13分
21．21、解：由条件可得，
两边同除以，得：
所以：数列成等差数列，且首项和公差均为1………………4分
（2）由（1）可得：，，代入可得，所以，.………………………6分
①当时，即时命题成立
假设时命题成立，即
当时，
= 即时命题也成立
综上，对于任意，………………………………9分
② 当时，
平方则
叠加得
又
=
………………14分
www.
A
B
E
D
C
F