广州市2012届高三年级调研测试数学（理科）

试卷类型：B
广州市2012届高三年级调研测试
数 学（理科） 2011.12
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设全集，集合，，则等于
A． B． C． D．
2．设复数，，则在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若∥，则等于
A． B． C． D．
4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是
A．24 B．48 C．60 D．72
5．设随机变量，且，则实数的值为
A． 4　 B． 6　 C． 8　 　 D．10
6．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为
A． B． C． D．
7．已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小正周期为；
②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中正确命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．展开式中的系数为 (用数字作答).
10．向面积为的三角形内任投一点，则△的面积小于的概率是　 　．
11．已知程序框图如右，则输出的= ．
12．已知实数满足若目标函数
取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为_____．
13．已知直线与抛物线相交于、两
点，为抛物线的焦点，若，则的值为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，
于点，若圆的面积为，，则的长为 ．
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
如图，在中，点在边上，，，
．
（1）求的值；
（2）求的长．
17．（本小题满分12分）
某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：
社区数量 居民素质
1分 2分 3分 4分 5分
社区服务 1分 1 3 1 0 1
2分 1 0 7 5 1
3分 2 1 0 9 3
4分 6 0 1
5分 0 0 1 1 3
（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分的均值（即数学期望）为，求、的值．
18.（本小题满分14分）
已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．
（1）当时，求证：；
（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．
19．（本小题满分14分）
设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
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20.（本小题满分14分）
已知数列中，，，且．
（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列的前项和．
21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
广州市2012届高三年级调研测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A B A D C B
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9．10 10． 11．9 12． 13. 14．1 15．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）因为，
所以．…………………………………………………………2分
因为，
所以．…………………………………………………………4分
因为，
所以
………………………………6分
．…………………………………………………………8分
（2）在△中，由正弦定理，得，………………………………10分
所以．……………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．………………………………………………………………………2分
设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分
（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………………………………………………………6分
所以“居民素质”得分的分布列为：
……………………………………8分
因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，
所以．…………………………………10分
即．
因为社区总数为个，所以．
解得，．…………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：根据题意，在中，，，
所以，所以.………………………………………………………2分
因为是正方形的对角线，
所以．………………………………………………………………………………………3分
因为，
所以.………………………………………………………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………5分
则有，，，．
设，则，．………………………………6分
又设面的法向量为，
则即
所以，令，则．
所以．………………………8分
因为平面的一个法向量为，
且二面角的大小为，………………………………………………………………9分
所以，得．
因为，所以．
解得．所以．………………………………10分
设平面的法向量为，因为，
则，即
令，则．
所以．…………………………………………………………………………………12分
设二面角的平面角为，
所以．……………………………………………13分
所以．
所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分
解法2：折叠后在△中，，
在△中，．……………………………5分
所以是二面角的平面角，
即．………………………………………6分
在△中，，
所以．………………………………………………………………………………………7分
如图，过点作的垂线交延长线于点，
因为，，且，
所以平面．…………………………………………………………8分
因为平面，所以．
又，且，所以平面．……………………………………9分
过点作作，垂足为，连接，
因为，，所以平面．…………………………………10分
因为平面，所以．
所以为二面角的平面角．……………………………………………………11分
在△中，，，则，，
所以．………………………………………………………12分
在△中，，所以………………………………………13分
在△中，．
所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1）由题设知，，，………………………………1分
由，得．……………………………………3分
解得．
所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 ………………………………………………………………6分
…………………………………………………7分
．………………………………………………………………8分
从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分
所以，即．…………………………………………………………11分
因为点，所以．……………………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分
所以的最大值为11．………………………………………………………………………14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 ………………………………………………6分
所以……………………………………………7分
．…………………………………………………9分
因为点在圆上，所以，即．………………………10分
因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分
所以．……………………………………………12分
因为，所以当时，．………………………………14分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………………6分
由，解得．………………………………………………………7分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．…………………………………………………………8分
所以，
……………………………………………………9分
所以．
……………………………………………………10分
因为，所以当时，取得最大值11．…………………………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．
不妨设，，．……………………………………………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．…………………………13分
综上可知，的最大值为11．………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，
则有． ①……………………………………1分
由，，且，得，．
所以，，，………………2分
所以，
解得或．…………………………………………………………………………………3分
当时，，，且，
有．………………………………………………4分
当时，，，且，
有．…………………………………………5分
所以存在实数，使数列为等比数列．
当时，数列为首项是、公比是的等比数列；
当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分
方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，
设，……………………………………………………………………………………1分
即，……………………………………………………2分
即．………………………………………………………………………3分
与已知比较，令………………………………………………………4分
解得或．…………………………………………………………………………………5分
所以存在实数，使数列为等比数列．
当时，数列为首项是、公比是的等比数列；
当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分
（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分
当为偶数时，…………………………8分
…………………………………………………………9分
．…………………………………………………10分
当为奇数时，………………………………11分
…………………………………………………………12分
．……………………………………………13分
故数列的前项和………………………………………14分
注：若将上述和式合并，即得．
解法2：由（1）知，…………………………………………………7分
所以，……………………………………………………8分
当时，
．
因为也适合上式，……………………………………………………………………………10分
所以．
所以．…………………………………………………………………………11分
则，………………12分
……………………………………………………………13分
．……………………………………………14分
解法3：由（1）可知，…………………………………………………7分
所以．…………………………………………………………………………8分
则，……9分
当为偶数时，………………………………………10分
．……………………………………………11分
当为奇数时，………………………………12分
．………………………………………13分
故数列的前项和………………………………………14分
注：若将上述和式合并，即得．
21．（本小题满分14分）
解：（1）．……………1分
因为为的极值点，所以．…………………………………………………2分
即，解得．……………………………………………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立．……………………………4分
（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．…………………5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故
符合题意．………………………………………………………………………………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以上恒成立．…………………………………7分
令，其对称轴为，……………………………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可，
因为，
解得．……………………………………………………………9分
因为，所以．
综上所述，的取值范围为．………………………………………………………10分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．…………………………………………………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ，…………………………………………………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数，…………………………………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0．…………………………………………………………………14分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0. ………………………………………………………14分
北京市良乡中学2012届高三数学会考模拟试题（4）
一、选择题（每题3分，共60分）
1、若，，则下列命题中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2、不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
3、下列函数中，在上是减函数的是（ ）
4、在区间上随机取一个数，则≤1的概率为（ ）
A． 　B． C．　 D．
5、函数的定义域是（ ）
A．或 B．且 C． D．
6、若，则cos2等于（ ）
A． B．－ C．1 D．
7、已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8、函数的图像与 的图像（ ）
关于轴对称 关于轴对称
关于直线对称 关于直线对称
9、在中，，则角为 （ ）
A. 30 B. C. D.
10、为了得到函数，的图象，只需将函数，的图象上所有的点（ ）
A． 向左平行移动个单位长度 B． 向右平行移动个单位长度
C． 向左平行移动个单位长度 D． 向右平行移动个单位长度
11、如果，，而且，那么的值是（ ）
A． 4 B． C． D．
12、在等差数列中，，，则等于（ ）
A． 19 B． 50 C． 100 D． 120
13、为改善生态环境，某城市对排污系统进行了整治。如果经过三年整治，城市排污量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么排污量平均每年降低的百分率是（ ）
40% 30% 20%
14、若、是异面直线，则一定存在两个平行平面、，使（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15、从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
16、圆截直线所得弦长为8，则的值为（ ）
A． 10 B．-68 C． 12 D． 10或-68
17、已知等比数列满足，则 （ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
18、已知点P（，）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）
A．[－1，－1] B．[－1，1] C．[1，－1] D．[1，1]
19、如果执行右面的程序框图，那么输出的S等于（ ）
A．20 B． 90 C． 110 D． 132
20、国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20 ，连环送活动”即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有680元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（ ）
A． 120元 B． 136元 C． 140元 D．160元
二、填空题（每题3分，共12分）
21、点（－2，1）到直线的距离等于_________．
22、函数的值域是___ _______．
23、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
．
24、已知圆C的圆心在第一象限，其半径小于5，那么圆C的方程是
_________________ _.（只要求写出满足条件的一个方程）
三、解答题
25、（7分）图，在正四棱柱中，E为中点.
求证：∥平面EBD
求证：
若，求三棱锥的体积.
26、（7分）在中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且。
（I）求锐角B的大小；
（II）如果，求的面积的最大值。
27、（7分）设为数列的前项和，（为常数，）.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列是等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当时，若数列满足，且，令. 求数列的前项和.
28.（7分）已知点，是轴上两点，且（B在C的左侧）．设的外接圆的圆心为.
（Ⅰ）已知，试求直线的方程；
（Ⅱ）当圆与直线相切时，求圆的方程；
（Ⅲ）设，，，试求的最大值．
参考答案：
C2.D3.A4.B5.D6.B7.C8.B9.C10.C11.D12.C13.B14.A15.B16.D17.A18.B19.C20.D
21. 22. 23. 24. >？
25. 略。
26. (1)解：m∥n 2sinB(2cos2－1)＝－cos2B
2sinBcosB＝－cos2B tan2B＝－ ……4分
∵0＜2B＜π,∴2B＝,∴锐角B＝ ……2分
(2)由tan2B＝－ B＝或
①当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立) ……3分
∵△ABC的面积S△ABC＝ acsinB＝ac≤
∴△ABC的面积最大值为 ……1分
②当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝(2＋)ac(当且仅当a＝c＝－时等号成立)
∴ac≤4(2－) ……1分
∵△ABC的面积S△ABC＝ acsinB＝ac≤2－
∴△ABC的面积最大值为2－ ……1分
27．解：（Ⅰ）因为，
所以，，.
……………………………………1分
由可知：.
所以，，.
因为，
所以.
所以或. ……………………………………3分
（Ⅱ）假设存在实数，使得数列是等差数列，则.
……………………………………4分
由（Ⅰ）可得：.
所以，即，矛盾.
所以不存在实数，使得数列是等差数列.
…………………………………6分
（Ⅲ）当时，.
所以，且.
所以，即.
所以，且.
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列
所以. ………………………………8分
因为，且，
所以
.
当时，上式仍然成立.
所以 . ………………………………10分
因为，
所以.
………………………………11分
因为， …………………………………12分
所以
.
28.解：（1）设，则．
，，
由得，
解得：，
所以，直线的方程为
（2）设圆心为，半径为，则
解之得：，
所以，圆的方程为．
（3）设，则，
所以，，
等号当且仅当时取得．
A
D
E
C
B
O
A
BA
CA
DA
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
y
x
z
A
B
C
D
O
H
K
2
2
2
3
A
B
C
D
E
B1
A1
C1
D1