6.4.3 余弦定理随堂同步进阶练习（解析版）

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6.4.3
余弦定理随堂同步进阶练习
一、单选题
1．的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，角所对的边分别为，若,则当取最小值时，
=（
）
A．
B．
C．
D．
3．中，角所对的边分别为．若，则边（
）
A．1
B．2
C．4
D．6
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为
A．
B．
C．2
D．4
5．已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在中，，是边上的一点，，若为锐角，的面积为20，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，角的对边分别是，若，且三边成等比数列，则的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的面积取得最小值时有（
）
A．
B．
C．
D．
9．在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则（
）
A．
B．
C．2
D．
10．已知的内角、、的对边分别为、、，边上的高为，且，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为e，若双曲线上点P，使，则的值为_______．
13．在中，，，，则的面积等于______.
14．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为_________．
15．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
三、解答题
16．在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角A；
（2）若，求面积的最大值.
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）如果a＝1，，求△ABC的面积．
18．如图，在中，，在中，，，，三点共线，于点，.
（1）若，求；
（2）求的最小值.
19．在中，角，，的对边分别为，，．
（1）若
求角，及边c的值；
（2）若是的面积，已知求c的值．
答案解析
1．C
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，
连接，则四边形是平行四边形，
在三角形中，，
，，，
由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，
故选：C.
2．C
【详解】
由正弦定理、余弦定理得
,
,
,
当
，即时取最小值.
故选C.
3．C
【解析】，即，解得或（舍去）．
4．C
【解析】
，解得c=2.
∴a2=22+22?2×2×2×cos120°=12，
解得
，
∴
，
解得R=2.
5．D
【详解】
由题得，
所以，
所以，
所以,
所以.
由正弦定理得,
所以的外接圆面积为.
故选D
6．C
【详解】
解：由的面积公式可知，，
可得，为锐角，可得
在中，，即有，
由可得，
由可知．
故选．
7．C
【详解】
，由正弦定理边角互化的思想得，
，，，则.
、、成等比数列，则，由余弦定理得，
化简得，，则是等边三角形，，故选C．
8．D
【详解】
由已知有，
根据正弦定理得，
又，即，
由于，即有，
即有，
由于，即，解得，
当且仅当时取等号，
当，，取最小值，
又（为锐角），则，
则.
故选：D
9．C
【详解】
把余弦定理代入得a=，
由得.
所以.
故选C
10．C
【详解】
由余弦定理可得：，
故：，
而，
故，
所以：．
故选．
11．
【详解】
因为，
所以根据正弦定理得:，
化简可得:，
即，(A为三角形内角)
解得:，
又，(b=c时等号成立)
故.
故答案为：
12．2
【详解】
由双曲线方程得，由双曲线的定义得，
因为，所以由正弦定理得，可解得，
又，根据余弦定理可得，
所以．
故答案为：2
13．
【详解】
因为在中，，，
由余弦定理得，
所以
由正弦定理得
故答案为：
14．
【详解】
由已知，，在中，由余弦定理可得
，
所以，
所以
.
故答案为：
15．或0
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时，
，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
16．（1）；（2）.
【详解】
（1），
即，
，整理得
.
（2）
，
即
当且仅当时，取最大值，从而.
所以面积的最大值为.
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）∵，
∴．
即，
解得，
∵0＜B＜π，
∴．
（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得，
，
解得：c＝1．
∴
．
18．（1）2；（2）.
【详解】
（1）由，及得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
（2）设，则，
在中，，，，
由正弦定理得，
所以
.
当，即时取等号.
所以的最小值为.
19．（1）或；（2）或．
【详解】
（1）根据正弦定理，得
∵
∴或．
①当时，
∴
②时，
∴
综上可知或
（2）∵
∴∴或
①当时，
∴
②当时，
∴
综上可知，或．
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