2020-2021学年华东师大版九年级下册数学单元测试卷 第26章二次函数综合能力检测卷（word版含答案）

第26章　二次函数综合能力检测卷
时间:90分钟　　
满分:120分
一、选择题(本大题共10个小题,每题3分,共30分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列函数是二次函数的是
(　　)
A.y=-4x+5
B.y=x(2x-3)
C.y=(x+4)2-x2
D.y=
2.抛物线y=(x-4)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是
(　　)
A.向上,直线x=4,(4,5)
B.向上,直线x=-4,(-4,5)
C.向上,直线x=4,(4,-5)
D.向下,直线x=-4,(-4,5)
3.若点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=2x2+4x-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
(　　)
A.y3B.y2C.y1D.y24.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位所得的图象表达式为
(　　)
A.y=(x-1)2+3
B.y=(x+1)2+3
C.y=(x-1)2-3
D.y=(x+1)2-3
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集为
(　　)
A.x<-1或x>5
B.x>5
C.-1D.无法确定
6.下列是抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象的是
(　　)
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0)和点(0,-3),且顶点在第四象限,若P=a+b+c,则P的取值范围是
(　　)
A.-3B.-6C.-3D.-6　　　　　
第7题图　　　　　　　　　　　　　　第8题图　　　　　　　　
8.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图),对应的两条抛物线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4
cm,最低点C在x轴上,高CH=1
cm,BD=2
cm,则右轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为(　　)
A.y=(x+3)2
B.y=-(x-3)2
C.y=-(x+3)2
D.y=(x-3)2
9.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为
(　　)
A.(,)
B.(2,2)
C.(,2)
D.(2,)
第9题图　　　　　　第10题图
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④若a+bx1=a+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中,正确结论的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)
11.若y=(m2-1)是二次函数,则m=　　　　.?
12.若抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点,则直线y=cx+1经过第　　　　象限.?
13.已知点P(a,2)与点Q(3,b)是抛物线y=x2-2x+c上的两点,且点P,Q关于此抛物线的对称轴对称,则ab的值为　　　　.?
14.如图是一座拱桥,当水面宽AB为12
m时,桥洞顶部离水面4
m.已知桥洞是抛物线形,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是　　　　　　　.?
　　　　　　　　　　　　　　　第14题图　　　　　　　　　　　　　　第15题图
15.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为　　　　　　　　　　　　.?
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16.(8分)一个二次函数图象上的部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-
0
2
0
m
-6
-
…
(1)求m的值;
(2)在给定的平面直角坐标系(如图)中,画出这个函数的图象;
(3)求这个二次函数的表达式;
(4)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.
17.(8分)如果二次函数的二次项系数为1,那么此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+3x+2的特征数是[3,2].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的新图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的新图象对应的函数的特征数为[3,4]?
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n.
(1)当m=2时,
①求抛物线的对称轴,并用含n的式子表示其顶点的纵坐标;
②若点A(-2,y1),B(x2,y2)都在抛物线上,且y2>y1,则x2的取值范围是　　　　;?
(2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.
19.(8分)如图所示,已知平行四边形ABCD的周长为8
cm,∠B=30°,边长AB=x
cm.
(1)写出平行四边形ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)当x取什么值时,y的值最大?并求最大值.
20.(10分)如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5
m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(m)与飞行时间t(s)之间满足函数关系式y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8
s时,离地面的高度为3.5
m.
(1)足球飞行的时间是多少时,离地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(m)与飞行时间t(s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44
m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28
m,他能否将球直接射入球门?
21.(10分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台.空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1=-20x1+1
500(0300(0(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1
200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1
760元和1
700元的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.
22.(11分)如图,在平面直角坐标系中,现将一张等腰直角三角形纸片ABC放在第二象限,直角边AC斜靠在两坐标轴上,点B的坐标为(-3,1),且抛物线y=ax2+ax-4a经过点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求点A和点C的坐标;
(3)以AC所在的直线为对称轴,将△ABC折叠,问点B的对称点B1是否落在抛物线上?若在,求出它的坐标;若不在,请说明理由.
23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的函数表达式.
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB的面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.
第26章　综合能力检测卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
A
D
B
D
C
B
11.2　12.一、二、三　13.1　14.y=-(x+6)2+4
15.(1-,2)或(1+,2)
1.B
2.A　【解析】　因为a=,>0,所以抛物线开口向上.易知对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,5).故选A.
3.C　【解析】　∵y=2x2+4x-1的图象的对称轴为直线x=-1,a=2,2>0,∴x<-1时,y随x的增大而减小,x>-1时,y随x的增大而增大.∵点A(-2,y1)关于对称轴对称的点为(0,y1),且0<1<3,∴y14.A
　【解析】　∵二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,∴平移后所得图象的顶点坐标为(1,3),∴所得图象的函数表达式是y=(x-1)2+3.故选A.
5.A　【解析】　由图象可知二次函数的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标为(5,0),由函数图象的对称性,可得其与x轴的另一个交点是(-1,0),∴ax2+bx+c<0的解集为x>5或x<-1.故选A.
6.D　【解析】　A选项,由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b应经过第二、四象限,故A错误;B选项,由二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,所以a,b异号,所以b>0,此时直线y=ax+b应经过第一、二、四象限,故B错误;C选项,由二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b应经过第一、三象限,故C错误;D选项,由二次函数的图象可知a>0,对称轴在y轴的右侧,所以a,b异号,所以b<0,此时直线y=ax+b应经过第一、三、四象限,故D正确.故选D.
7.B　【解析】　∵抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0)和点(0,-3),∴a-b+c=0,c=-3,∴b=a-3,∴P=a+b+c=a+a-3-3=2a-6.∵抛物线开口向上,∴a>0,又∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b<0,∴b=a-3<0,∴a<3.∴08.D　【解析】　∵CH=1
cm,BD=2
cm,而点B,D关于y轴对称,∴点D的坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=4
cm,最低点C在x轴上,∴点A,B关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(-3,0),∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3,0),设右边抛物线对应的函数表达式为y=a(x-3)2,把D(1,1)代入,得1=a(1-3)2,解得a=,∴右边抛物线对应的函数表达式为y=(x-3)2.故选D.
9.C　【解析】　∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,∴4=a×(-2)2,解得a=1,∴y=x2.∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD,∴OB=OD=2,CD∥x轴,∴点D和点P的纵坐标均为2,∴令y=2,得2=x2,解得x=±.∵点P在第一象限,∴点P的坐标为(,2).故选C.
10.B　【解析】　①由题图可知抛物线开口向下,则a<0,根据对称轴位于y轴的右侧,可得a,b异号,即ab<0,根据抛物线与y轴交于正半轴,得c>0,所以abc<0,故①错误.②∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,故②正确.③∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右侧,∴当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,故③错误.④∵a+bx1=a+bx2,∴a+bx1-a-bx2=0,∴a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0,∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=-,∵b=-2a,∴x1+x2=2,故④正确.综上所述,正确的有②④.故选B.
11.2
　【解析】　由题意得m2-m=2,且m2-1≠0,解得m=2.
12.一、二、三
　【解析】　因为抛物线y=x2+x+c与x轴没有交点,所以关于x的一元二次方程x2+x+c=0的根的判别式Δ=1-4×c=1-2c<0,解得c>,又因为直线y=cx+1与y轴的交点在y轴的正半轴,所以直线y=cx+1经过第一、二、三象限.
13.1　【解析】　由题意,得抛物线的对称轴为直线x=-=1,∵点P(a,2)与点Q(3,b)关于此抛物线的对称轴对称,∴=1,b=2,解得a=-1,b=2,∴ab=(-1)2=1.
y=-(x+6)2+4
【解析】　
由题意知a=-,而选取B为坐标原点时,如图所示,抛物线的顶点坐标为(-6,4),这时抛物线的表达式为y=-(x+6)2+4.
15.(1-,2)或(1+,2)　【解析】　根据题意得C(0,3).因为△PCD是以CD为底的等腰三角形,所以点P在线段CD的垂直平分线上,线段CD的垂直平分线为y=2,由-x2+2x+3=2,解得x=1±,所以点P的坐标为(1-,2)或(1+,2).
16.【解析】　
(1)根据题目中的表可知,当x=2时,y=-,
∴m=-.
(2)函数图象如图所示:
(3)由(2)中的图象可知抛物线的顶点坐标为(-1,2),
∴设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,
∵图象过点(1,0),
∴a(1+1)2+2=0,
∴a=-,
∴这个二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2.
(4)根据图象可得,当y<0时,x<-3或x>1.
17.【解析】　(1)∵一个函数的特征数是[-2,1]
∴该函数的表达式为y=x2-2x+1.
∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴该函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①易知特征数为[4,-1]的函数为y=x2+4x-1,
即y=(x+2)2-5.
∵函数图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,
∴平移后的新图象对应的函数关系式为y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3,
∴得到的新图象对应的函数的特征数为[2,-3].
②特征数为[2,3]的函数为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,
特征数为[3,4]的函数为y=x2+3x+4,
即y=(x+)2+=(x+1+)2+2-,
∴将抛物线y=x2+2x+3的图象先向左平移个单位,再向下平移个单位(或先向下平移个单位,再向左平移个单位),即可得到抛物线y=x2+3x+4的图象,其特征数为[3,4].
18.【解析】　(1)①∵m=2,∴抛物线为y=x2-2x+n.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵当x=1时,y=1-2+n=n-1,
∴其顶点的纵坐标为n-1.
②x2<-2或x2>4
(2)∵点P(-1,2)向右平移4个单位得到点Q,
∴点Q的坐标为(3,2),
∵n=3,∴抛物线为y=x2-mx+3.
当抛物线经过点Q(3,2)时,2=32-3m+3,解得m=;
当抛物线经过点P(-1,2)时,2=(-1)2+m+3,
解得m=-2;
当抛物线的顶点在线段PQ上时,=2,
解得m=±2.
结合图象可知,m的取值范围是m≤-2或m=2或m>.
19.【解析】　(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,∵∠B=30°,AB=x
cm,∴AE=x
cm.
∵平行四边形ABCD的周长为8
cm,
∴BC=(4-x)cm,
∴y=AE·BC=x(4-x)=-x2+2x(0(2)y=-x2+2x=-(x-2)2+2,
∵a=-,-<0,∴当x=2时,y有最大值,最大值为2.
20.【解析】　(1)由题意得y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5),(0.8,3.5),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-t2+5t+,
∴当t=-=时,y最大=.
∴足球飞行的时间是
s时,离地面最高,最大高度是
m.(2)把x=28代入x=10t,得t=2.8,
∴当t=2.8时,y=-×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,
∴他能将球直接射入球门.
21.【解析】　(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20-x)台,
由题意,得解得11≤x≤15,
∵x为正整数,
∴x可取的值为11,12,13,14,15,
∴该商家共有5种进货方案.
(2)设总利润为w元,
冰箱的采购单价y2=-10x2+1
300=-10(20-x)+1
300=10x+1
100,
则w=(1
760-y1)x1+(1
700-y2)x2
=1
760x-(-20x+1
500)x+(1
700-10x-1
100)(20-x)
=1
760x+20x2-1
500x+10x2-800x+12
000
=30x2-540x+12
000
=30(x-9)2+9
570,
当x>9时,w随x的增大而增大,
∵11≤x≤15,
∴当x=15时,w最大值=30(15-9)2+9
570=10
650.
答:采购空调15台时总利润最大,最大利润为10
650元.
22.【解析】　(1)∵抛物线y=ax2+ax-4a经过点B(-3,1),
∴1=9a-3a-4a,
解得a=,
∴抛物线的函数表达式为y=x2+x-2.
(2)如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO.
∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,∴BD=OC,CD=OA,
∵点B的坐标是(-3,1),
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(-1,0).
(3)点B1在抛物线上,理由如下:
如图,延长BC至点B1,使得B1C=BC,得到点B关于直线AC的对称点B1,连接AB1,
过点B1作B1M⊥x轴于点M,
∵CB1=CB,∠MCB1=∠BCD,∠B1MC=BDC=90°,
∴△MB1C≌△DBC,
∴CM=CD=2,B1M=BD=1,
∴点B1的坐标为(1,-1).
令x=1,得y=x2+x-2=×12+×1-2=-1,
∴点B1(1,-1)在抛物线y=x2+x-2上.
23.【解析】　(1)∵抛物线y=ax2-2x+c经过A(0,-3),B(3,0)两点,
∴∴
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
∵直线y=kx+b经过A(0,-3),B(3,0)两点,
∴解得
∴直线AB的函数表达式为y=x-3.
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.
∵当x=1时,y=x-3=1-3=-2,
∴点E的坐标为(1,-2),
∴CE=2.
图1
①如图1,若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN=2,
设M(a,a-3),则N(a,a2-2a-3),
∴MN=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,
∴-a2+3a=2,
解得a=2,a=1(舍去),
∴M(2,-1).
②如图2,若点M在x轴上方,四边形CENM为平行四边形,则CE=MN=2,
图2
设M(a,a-3),则N(a,a2-2a-3),
∴MN=a2-2a-3-(a-3)=a2-3a,
∴a2-3a=2,
解得a=,a=(舍去),
∴M(,).
综上,可得存在符合条件的点M,且点M的坐标为(2,-1)或(,).
(3)如图3,过点P作PG∥y轴交直6线AB于点G,连接PA,PB,
图3
设P(m,m2-2m-3),则G(m,m-3),
∴PG=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m,
∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=PG×OB=×(-m2+3m)×3=-m2+m=-(m-)2+,
∴当m=时,△PAB面积的最大值是,此时点P的坐标为(,-).