2020-2021学年冀教版九年级下册数学期中检测卷（word版含答案）

期中检测卷
时间:100分钟　　
满分:120分
一、选择题(本大题共16小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分,每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.将二次函数y=x2-4x+3通过配方化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为
(　　)
A.y=(x+2)2-1
B.y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2+3
D.y=(x-2)2-1
2.已知☉A的直径是8,点A的坐标是(3,4),那么坐标原点O与☉A的位置关系是
(　　)
A.点O在☉A外
B.点O在☉A上
C.点O在☉A内
D.不能确定
3.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图像与性质,下列说法正确的是
(　　)
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
4.将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,则下列平移方法正确的是
(　　)
A.向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以2.5为半径的☉C与直线AB的位置关系是
(　　)
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法确定
6.一次函数y=ax+c的图像如图所示,则二次函数y=ax2+x+c的图像大致是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
第6题图　　　　第7题图
7.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别是P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是
(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
8.已知抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的一个交点为(-1,0),则一元二次方程ax2-2ax+c=0的根为
(　　)
A.x1=1,x2=3
B.x1=-1,x2=3
C.x1=-1,x2=-3
D.x1=1,x2=-3
9.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为
(　　)
A.
B.
C.
D.
　　　　　　　　　　　　　
第9题图　　　第10题图
10.如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,∠ACB=90°,且AB=13,AC=12,则图中阴影部分的面积是
(　　)
A.30-π
B.30-2π
C.30-3π
D.30-4π
11.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则
(　　)
A.y1B.y3C.y3D.y212.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定AT是☉O的切线的是
(　　)
A.AB=4,AT=3,BT=5
B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55°
D.∠ATC=∠B
13.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三角形的三边长,则该三角形的面积是(　　)
A.
B.
C.
D.
14.一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离4
m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5
m时,达到最大高度3.5
m,然后准确落入篮球框内.已知篮球框中心距离地面的高度为3.05
m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是
(　　)
A.此抛物线的表达式是y=-0.2x2+3.5
B.篮球框中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D.篮球出手时离地面的高度是2
m
　　　　　　　　　　
第14题图　　
　　　第15题图　　　　　　　第16题图
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列结论:①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有
(　　)
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
16.已知抛物线y=a(x-3)2+过点C(0,4),顶点为M,与x轴交于A,B两点,如图所示,以AB为直径作圆,记为☉D,则下列结论:
①抛物线的对称轴是直线x=3;
②点C在☉D外;
③在抛物线上存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形;
④直线CM与☉D相切.
其中正确的结论是
(　　)
A.①③
B.①④
C.①③④
D.①②③④
二、填空题(本大题有3小题,共12分,17~18小题各3分;19小题有2个空,每空3分)
17.已知二次函数y=x2+bx+3,其中b为常数,当x≥2时,函数值y随着x的增大而增大,则b的取值范围是　　　　.?
18.如图,有两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是　　　　.?
19.已知抛物线P:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点C关于x轴的对称点为C',我们称以A为顶点且过点C',对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线P的“关联”抛物线,直线AC'为抛物线P的“关联”直线.若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的表达式为　　　　　　　　,与坐标轴的交点个数为　　　　.?
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(本小题满分8分)
如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).
(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,x1(3)点B(-1,2)在抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数表达式.
21.(本小题满分9分)
如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,点M在PB上,且OM∥AP,MN⊥AP,垂足为N.
(1)求证:OM=AN;
(2)若☉O的半径R=3,PA=9,求OM的长.
22.(本小题满分9分)
如图,二次函数y=-x2+2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)若该二次函数图像上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
23.(本小题满分9分)
如图,☉O为△ABC的外接圆,BC为直径,点E在AB上,过点E作EF⊥BC于点F,点G在FE的延长线上,且GA=GE.
(1)求证:AG与☉O相切;
(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.
24.(本小题满分10分)
如图,已知抛物线过点A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M是抛物线AC段上的一个动点,当图中阴影部分的面积最小值时,求点M的坐标.
25.(本小题满分10分)
某种商品的成本为每件20元,经市场调查发现,该商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间x(天)的关系如表.
时间x/天
1
3
6
10
36
…
日销售量m/件
94
90
84
76
24
…
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间x(天)的函数关系式为y1=x+25(1≤x≤20且x为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间x(天)的函数关系式为y2=-x+40(21≤x≤40且x为整数).
(1)求日销售量m(件)与时间x(天)之间的关系式;
(2)请预测这种商品在未来40天中哪一天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件该商品就捐款a(026.(本小题满分11分)
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点(包括B,C两端点),过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,线段EF最长?求出此时E点的坐标.
期中检测卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
A
C
C
B
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
A
D
C
D
A
A
B
B
17.b≥-4　18.81.D　【解析】　y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-1=(x-2)2-1,即y=(x-2)2-1.故选D.
2.A　【解析】　因为直径d=8,所以半径r=4,又因为OA==5>4,所以点O在☉A外.故选A.
3.B　【解析】　由抛物线的表达式y=-(x-1)2+2,知对称轴为直线x=1,开口方向向下,所以有最大值,最大值为2,故选B.
4.D　【解析】　y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(-1,2),抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),则平移的方法可以是:将抛物线y=x2+2x+3向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度.
5.A　【解析】　∵∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5.设点C到直线AB的距离为d,∵S△ABC=AB×d=×AC×BC,即5d=12,解得d=.∵<2.5,∴☉C与直线AB的位置关系是相交.故选A.
6.C　【解析】　∵一次函数y=ax+c的图像经过第一、三、四象限,∴a>0,c<0,故二次函数y=ax2+x+c的图像开口向上,对称轴在y轴左边,交y轴于负半轴.故选C.
7.C　【解析】　∵AC,AP为☉O的切线,∴AP=AC=3.∵BP,BD为☉O的切线,∴BP=BD,∴BD=BP=AB-AP=5-3=2.故选C.
8.B　【解析】　解法一　将x=-1,y=0代入y=ax2-2ax+c,得a+2a+c=0,解得c=-3a.将c=-3a代入方程,得ax2-2ax-3a=0,∴a(x2-2x-3)=0,∴a(x+1)(x-3)=0,∴x1=-1,x2=3.故选B.
解法二　抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=-=1,∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴根据抛物线的对称性可知另一个交点为(3,0),∴ax2-2ax+c=0的两个根为-1,3.故选B.
9.A　【解析】　连接AC,∵AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,∴∠ACB=∠DAO=90°,又∵BC∥OD,∴∠DOA=∠ABC,∴△DAO∽△ACB,∴=,即BC=.∵AB=2,∴AO=1,又∵OD=3,∴BC==.故选A.
10.D　【解析】　∵∠ACB=90°,且AB=13,AC=12,∴BC==5,设△ABC的内切圆半径为r,连接OA,OB,OC,则S△ABC=AC×BC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=AB×r+BC×r+AC×r,即12×5=(13+5+12)r,解得r=2.所以图中阴影部分的面积S=S△ABC-S圆O=×5×12-π×22=30-4π.故选D.
11.C　【解析】　抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2,且开口向下,当x=-2时,y取得最大值.∵|-2-(-4)|>|-1-(-2)|,根据二次函数的对称性,得y312.D　【解析】　A选项,∵AB=4,AT=3,BT=5,∴AB2+AT2=BT2,∴△BAT是直角三角形,∴∠BAT=90°,∴AT是☉O的切线,故不符合题意;B选项,∵∠B=45°,AB=AT,∴∠T=45°,∴∠BAT=90°,∴AT是☉O的切线,故不符合题意;C选项,∵AB为直径,∴∠BCA=90°,∵∠B=55°,∴∠BAC=35°,又∵∠TAC=55°,∴∠BAT=90°,∴AT是☉O的切线,故不符合题意;D选项,∠ATC=∠B,无法得出AT是☉O的切线,故符合题意.故选D.
13.A　【解析】　如图1,∵OC=2,∴OD=2×sin
30°=1;如图2,∵OB=2,∴OE=2×sin
45°=;如图3,∵OA=2,∴OD=2×cos
30°=,则该三角形的三边长分别为1,,.∵12+()2=()2,∴该三角形是直角三角形,∴该三角形的面积是×1×=.故选A.
14.A　【解析】　由题意可知,抛物线的顶点坐标为(0,3.5),篮球框中心的坐标为(1.5,3.05),故选项B,C错误;可设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,将篮球框中心的坐标(1.5,3.05)代入表达式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5,故选项A正确;设篮球出手处离地面h
m,∵抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5,∴h=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25,故选项D错误.故选A.
15.B　【解析】　根据图像可得a>0,c<0,对称轴x=->0.∵它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),∴对称轴是直线x=1,∴-=1,∴b+2a=0,故①错误;易知b<0,∴abc>0,故②错误;∵a-b+c=0,∴c=b-a,∴a-2b+4c=a-2b+4(b-a)=2b-3a,∵b=-2a,∴a-2b+4c=-7a<0,故③正确;根据题图知,当x=4时,y>0,∴16a+4b+c>0,∵b=-2a,∴8a+c>0,故④正确.故选B.
16.B　【解析】　由抛物线y=a(x-3)2+可知抛物线的对称轴是直线x=3,故①正确;∵抛物线y=a(x-3)2+过点C(0,4),∴4=9a+,解得a=-,∴抛物线的表达式为y=-(x-3)2+,令y=0,则-(x-3)2+=0,解得x=8或x=-2,∴A(-2,0),B(8,0),∴AB=10,AD=5,点D(3,0),又∵C(0,4),∴CD=5,∴CD=AD,即点C在☉O上,故②错误;过点C作CE∥AB,交抛物线于E,令4=-(x-3)2+,解得x=0或x=6,∴CE=6,∴AD≠CE,∴四边形ADEC不是平行四边形,故③错误;由抛物线y=a(x-3)2+,可知M(3,),∵C(0,4),∴直线CM的方程为y=x+4,直线CD的方程为y=-x+4,∴CM⊥CD.∵CD=AD=5,∴直线CM与☉D相切,故④正确.故选B.
17.b≥-4　【解析】　抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=-,开口向上,∴当x≥-时,函数值y随着x的增大而增大,∵当x≥2时,函数值y随着x的增大而增大,∴-≤2,解得b≥-4.
18.819.y=x2-2x-3　3　【解析】　∵y=x2+2x+1=(x+1)2,∴点A坐标为(-1,0),由得或∴点C'的坐标为(1,4),∵点C和点C'关于x轴对称,∴C(1,-4).设原抛物线的表达式为y=a(x-1)2-4,把A(-1,0)代入得4a-4=0,解得a=1,∴原抛物线的表达式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3,与y轴的交点坐标为(0,-3),方程x2-2x-3=0的判别式Δ=4+12=16>0,∴抛物线与x轴有两个交点,综上,与坐标轴的交点个数为3.
20.【解析】　(1)∵抛物线y=ax2+bx经过原点O和点A(2,0),线段OA的中点坐标为(1,0),
∴抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).
(2)∵该抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小.
∵x1y2.
(3)∵点B(-1,2)在抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,
∴点C的坐标为(3,2).
设直线AC的函数表达式为y=kx+m,则解得
∴直线AC的函数表达式为y=2x-4.
21.【解析】　(1)如图,连接OA,则OA⊥AP,
∵MN⊥AP,∴MN∥OA,
又∵OM∥AP,∴四边形ANMO是矩形,∴OM=AN.
(2)如图,连接OB,则OB⊥BP,
∴∠OBM=∠MNP=90°.
∵OA=MN,OA=OB,∴OB=MN,又∵OM∥AP,
∴∠OMB=∠NPM,∴∠BOM=∠NMP,
∴△OBM≌△MNP,
∴OM=MP.
设OM=x(x>0),则NP=9-x,
在Rt△MNP中,有x2=32+(9-x)2,
∴x=5,即OM=5.
22.【解析】　(1)∵二次函数y=-x2+2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3,0),
∴-9+2×3+m=0,解得m=3.
(2)由(1)知二次函数的表达式为y=-x2+2x+3,
∴当y=0时,-x2+2x+3=0,
解得x=3或x=-1,∴点B的坐标为(-1,0).
(3)如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,当x=0时,y=3,∴C(0,3),
若S△ABD=S△ABC,则可得OC=DE=3,
当y=3时,-x2+2x+3=3,解得x=0或x=2,
∴点D的坐标为(2,3).
23.【解析】　(1)如图,连接OA.
∵OA=OB,∴∠B=∠BAO.
∵EF⊥BC,∴∠BFE=90°,
∴∠B+∠BEF=90°.
∵GA=GE,∴∠GAE=∠GEA,
又∵∠GEA=∠BEF,
∴∠GAE=∠BEF,
∴∠BAO+∠GAE=∠B+∠BEF=90°,
∴GA⊥AO,
又∵OA为☉O的半径,
∴AG与☉O相切.
(2)如图,过点O作OH⊥AB,垂足为H.
由垂径定理,得BH=AH=AB=×8=4,
又∵BE=3,∴EH=1.
∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,
又∵AB=8,AC=6,∴BC==10,
∴OB=BC=5.在Rt△OBH中,利用勾股定理,得OH=3.
在Rt△OHE中,利用勾股定理,得OE==.
24.【解析】　(1)由题意,设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-4),
把C(0,-4)代入得a×2×(-4)=-4,
解得a=,
∴抛物线的表达式为y=(x+2)(x-4),
即y=x2-x-4.
(2)如图,连接AC,则AC与抛物线所围成的图形的面积为定值.
当△ACM的面积最大时,阴影部分的面积最小.
作MN∥y轴交AC于N,设M(m,m2-m-4),
由A(4,0),C(0,-4)知,直线AC的表达式为y=x-4,
则N(m,m-4),
∴MN=m-4-(m2-m-4)=-m2+2m,
∴S△ACM=S△MNC+S△MNA=×OA×MN=×4×MN=-m2+4m=-(m-2)2+4,
∴当m=2时,△ACM的面积最大,即阴影部分的面积最小,
此时点M的坐标为(2,-4).
25.【解析】　(1)通过题中表格可知m为x的一次函数,设m=kx+b,把(1,94)和(3,90)代入,解得k=-2,b=96,
∴m=-2x+96.
(2)设这种商品的日销售利润为W元,
当1≤x≤20时,W=(-2x+96)(x+25-20)=-(x-14)2+578,
当x=14时,W最大=578;
当21≤x≤40时,W=(-2x+96)(-x+40-20)=(x-44)2-16,
∵当x<44时,W随x增大而减小,
∴当x=21时,W最大=513.
∵578>513,
∴未来40天中第14天日销售利润最大,最大日销利润为578元.
(3)由题意得,前20天中扣除捐款后的日销售利润W1=(-2x+96)(x+25-20-a)=-[x-2(a+7)]2+2(a-17)2,
令y=-[x-2(a+7)]2+2(a-17)2,则二次函数的图像开口向下,对称轴是直线x=2(a+7),要使日销售利润随时间x的增大而增大,
则2(a+7)≥20,∴a≥3,又∵026.【解析】　(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),C(0,2),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2.
(2)由(1)知,当y=0时,-x2+x+2=0,解得x=-1或x=4,
∴点B的坐标为(4,0),则OB=4,又∵OC=2,
∴BC==2,
∴sin∠ABC=sin∠OBC==.
(3)存在.
∵对称轴是直线x=-=,∴点D的坐标为(,0),则OD=,
∴CD==.
在△PCD中,若PD=CD=,则P(,)或(,-);
若PC=CD=,即P点与D点关于PD边的高对称,得
P点的纵坐标为4,即P(,4).
综上所述,点P的坐标为(,)或(,-)或(,4).
(4)设直线BC的表达式为y=mx+n,
∵B,C两点坐标分别为(4,0),(0,2),
∴解得
∴直线BC的表达式为y=-x+2.
设E点坐标为(t,-t+2)(0≤t≤4),则F点坐标为(t,-t2+t+2),
∴EF=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t=-(t-2)2+2(0≤t≤4),
∴当t=2时,EF最长,
即当点E的坐标为(2,1)时,线段EF最长.