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6.4.3
正弦定理、余弦定理的应用随堂同步进阶练习
一、单选题
1．如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．40海里
2．小赵开车从处出发，以每小时千米的速度沿南偏东的方向直线行驶，分钟后到达处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在的南偏东方向的处，且与的距离为千米，若此时，小赵以每小时千米的速度开车直线到达处接小王，则小赵到达处所用的时间大约为（
）
A．分钟
B．分钟
C．分钟
D．分钟
3．在中，，是的平分线，交于点，且，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图，在某海岸处，发现北偏东方向、距离处1海里的处有一艘走私船，在处北偏西的方向、距离处海里的处的缉私船奉命以海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以5海里/时的速度从处按照北偏东方向逃窜，则缉私船沿（
）方向能最快追上走私船.
A．北偏东
B．北偏东
C．北偏东
D．正东
5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
6．某小区打算将如图所示的区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形，在其内部建造文化景观，已知，，则区域面积（单位：）的最小值为（
）
A．
B．25
C．
D．
7．甲船在岛正南方向的处，以每小时4千米的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发，以每小时6千米的速度向北偏东60°方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（
）
A．分钟
B．分钟
C．21.5分钟
D．2.15小时
8．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
9．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面下方，点为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点两地相距米，，其中到的距离比到的距离远米.地测得该仪器在处的俯角，地测得最高点的仰角，则该仪器的垂直弹射高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
10．如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C
岛和A岛成的视角，则B、C间的距离是___________________海里．
12．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，
BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为_________.
13．学校里有一棵树，甲同学在地测得树尖的仰角为，乙同学在地测得树尖的仰角为，量得，树根部为（在同一水平面上），则______________.
14．如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段和），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段和），以供市民休闲健身.已铺设好的部分，，（为锐角三角形）由于设计要求，未铺设好的部分和的总长只能为，则剩余的“花卉长廊”（线段）最短是_____.
15．如图，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=________.
三、解答题
16．如图所示，高邮漫水公路AB一侧有一块空地OAB，其OA＝6km，
km，∠AOB＝90°．市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上
（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．
（1）若M在距离A点4km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积．
17．如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观在AE上的点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段D，E(含端点)上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=8米，AE=8米，AP=2米，.记∠EPM=θ，监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米.
（1）求S关于θ的函数关系式，并写出cosθ的取值范围；
（2）求可视区域△PMN的面积的最小值.
18．如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB?乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.
(1)求乙到达C地这一时刻的甲?乙两交警之间的距离;
(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲?乙方可通过对讲机取得联系.
19．如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高14，灯杆与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内．
（1）当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线?
（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面的中线，此时有一高2.5
的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．
答案解析
1．A
【详解】
在中，，所以，
由正弦定理可得：，解得，
在中，，所以，
在中，，由余弦定理可得：
，解得.
故选：A.
2．B
【详解】
根据条件可得，，，
由余弦定理可得，
则（千米），
由到达所需时间约为（时）分钟．
故选：B．
3．A
【详解】
在中，
，是的平分线，
由角平分线的性质可得，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，
化简得，即，
而，故，
.
故选：A.
4．C
【详解】
如图,设缉私船在处追上走私船,所用时间为小时,则,,由题意可知,∴.
由勾股定理可得,解得或（舍）.
∴,故,∴,∴,
故选：C.
5．B
【详解】
在中，，，.
在中，，，.
由正弦定理，得，得.
在中，，
故此无人机距离地面的高度为，
故选：B.
6．D
【详解】
在中，，，可得.
设，，那么，.
在中，由正弦定理，可得，
，
，其中，
所以当时，取到最小值，最小值为，
故面积的最小值.
故选:D.
7．A
【详解】
如图，设小时后甲行驶到处，则千米，
乙行驶到处，则千米，易知，
所以
.当时，最小，即最小，
此时它们所航行的时间为（分钟）.
故选:A.
8．D
【详解】
设，在中，，
所以.
在中，，所以.
在中，，，
由余弦定理得，
解得（舍去）.
故选:D.
9．B
【详解】
设米，则米
在中，由余弦定理得：
即，解得：
在中，米，，
由正弦定理得：米
故选：
10．D
【详解】
设建筑物的高度为，由题图知，
，，，
在和中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为，
所以③，
由①②③，解得或（舍去），
即建筑物的高度为.
故选:D.
11．
【解析】
因为,所以,由正弦定理知，解得，故填．
12．2＋.
【详解】
由题意设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，
依题设AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，
即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得：
t＝
(x>1)，即t＝x－1＋＋2，
因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，
当且仅当x＝1＋时取等号，此时取最小值2＋.
故答案为：2＋
13．
【详解】
如图所示,在中,∵,∴
在中,∵,∴.
在中,,∴.
故答案为：
14．20
【详解】
在中，由正弦定理得：
解得：
为锐角三角形
设，则
在中，由余弦定理得：
当时，取得最小值
长度的最小值为
故答案为：
15．
【详解】
解析：如图所示，作交BE于N，交CF于M，作交BE于H.
由题中所给数据得
（m），
（m），
（m）.
在△DEF中，由余弦定理，得
.
故答案为：
16．（1）
；（2）当时，三角形的面积最小，最小值为．
【详解】
（1）OAB，其OA＝6km，km，∠AOB＝90°，
，
所以中，，
则，
在中，
中，，
所以．
（2）设
在中，得
在中，得
．
，
因为，所以当时面积最小，最小值为．
此时中，则．
答：当时，三角形的面积最小，最小值为
17．（1）S=，cosθ∈[，1]；（2）18(﹣1)平方米.
【详解】
（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=8﹣2=6(米)，∠PEM=，∠PME=﹣θ，
由正弦定理可得PM==，
同理，在△PNE中，PN=，
∴△PMN的面积为S=?PM?PN?sin∠MPN
=
=
=，
当M与E重合时，θ=0，
N与D重合时，cos∠APD=，
即θ=﹣arccos，
∴0≤θ≤﹣arccos，
∴≤cosθ≤1，
综上所述，S=，cosθ∈[，1]；
（2）由（1）知当2θ+=，即θ=时，
S取得最小值为=18(﹣1)平方米.
18．(1)
(2)
小时
【详解】
(1)由.
设当乙到达C地时,甲处在D点,则
所以在中,由余弦定理得:
即此时甲?乙两交警之间的距离为
(2)设乙到达C地后,经过t小时,甲?乙两交警之间的距离为
,
在中，
乙从C地到达B地,用时小时,甲从D处到达B地,用时小时,
所以当乙从C地到达B地,此时,甲从D处行进到E点处,且
所以当时，
令或（舍去）
又当
时,甲?乙两交警间的距离
因为甲?乙间的距离不大于3km时方可通过对讲机取得联系
所以,从乙到达C地这一时刻算起,经过小时,甲?乙可通过对讲机取得联系.
19．（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解：分别以图中所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
（1）作垂足为，作垂足为
因为灯杆与地面所成角为，即
在中，
所以在中，
解得：
（2）设警示牌为，，则
令，所以，所以
答：（1）当灯杆长度为时，灯罩轴线正好通过路面的中线
（2）求警示牌在该路灯灯光下的影子长度
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6.4.3
正弦定理、余弦定理的应用随堂同步练习
一、单选题
1．如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
2．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（
）
A．
B．2
C．3
D．2
3．如图，在中，是边上一点，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，，，则△ABC的两边长度之和AC+AB的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔的南偏西距灯塔64海里的处，下午2时到达这座灯塔东南方向的处，则这只船航行的速度为（单位：海里/时）（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（
）
A．m
B．m
C．m
D．m
8．如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（
）
A．小时
B．1小时
C．小时
D．2小时
9．如图，为测塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得，再沿方向前行米到达点，测得，则塔高为（
）
A．米
B．米
C．40米
D．20米
10．如图，两座相距的建筑物的高度分别为为水平线，则从建筑物的顶端看建筑物的视角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得_________．
12．在地平面上有一旗杆（在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得，则旗杆的高h等于_____m．
13．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是____米（结果保留根号）．
14．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点，望对岸标记物，测得，，，则河的宽度为______．
15．在中，为边上一点，.若的面积为，则_____，________.
三、解答题
16．
如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,
CD＝3，cos
B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
17．在中，已知：，且．
（）判断的形状，并证明．
（）求的取值范围．
18．在平面四边形中，为上一点，连接，已知，，，若.
（1）求的面积；
（2）求的长.
19．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员在处先看到山顶的俯角为18°30′，经过后又在处看到山顶的俯角为81°
（1）求飞机在处与山顶的距离（精确到）；
（2）求山顶的海拔高度（精确到）
参考数据：
，
答案解析
1．A
【详解】
∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.
故选：A.
2．C
【详解】
根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，
则AB＝3．
故选：.
3．D
【详解】
因为，，所以，
因此，所以，
又，，由正弦定理可得：，
所以.
故选D
4．D
【详解】
由正弦定理，得，
∴，.
∴
.
又∵，则，
∴.，即
∴.
∴的取值范围是.
5．B
【详解】
如图,由题意知.
在中,由正弦定理得.
又由到所用时间为（时）,故船的航行速度海里/时.
故选：B.
6．D
【详解】
在中，，
由正弦定理得，解得，
在中，.
故选：D.
7．D
【详解】
由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，
△ADC中，CD=ACsin60°=m，
故选：D.
8．B
【详解】
解：如图所示，
中，，，；
所以，
，
又甲船的速度为，
所以甲船到达处需要的时间为．
故选：B．
9．D
【详解】
中,设,则由可知,在中,
,所以,解得.则塔高为20米.
故选：D.
10．B
【详解】
作于,则
,.
在中,由余弦定理,得,故.
故选：B.
11．
【详解】
∵，，∴，
在中，由正弦定理有，
即，即，
在中，由正弦定理有，即，
所以，
因此.
故答案为：.
12．20
【详解】
由题意得，因为在B处测得P点的仰角为45°，得，
又因为在A处测得P点的仰角为30°，即
，在中，；
在中，由余弦定理可得，
即，解得，∴旗杆OP的高度为20m．
故答案为20．
13．
【详解】
如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，
则,,
所以．由正弦定理知,
，所以(米)，
(米)，
(米)．答案：
14．
【详解】
在△中，，，
∴，.
∴，
作，垂足为，则即为河的宽度．
∴，
∴河的宽度为.
故答案为：.
15．
【详解】
解：，则，
，
故，.
根据余弦定理：，
故
在中，.
在中，
所以
故答案为：；.
16．(1)
；（2）4.
【解析】
(1)因为∠D＝2∠B，cos
B＝，
所以cos
D＝cos
2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，
所以sin
D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin
D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos
D＝12，
所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.
17．(1)
是直角三角形,证明见解析.
(2)
.
【解析】
（）为直角三角形，
证明：在中，∵，
根据正弦定理，得，
∴①，
∵，
∴，
化简得，
由正弦定理，得，②
将②代入①中得，即，
故是直角三角形．
（）由（）知，
则，即，
故，
根据正弦定理，得，
∵，，
∴，
∴，
即的取值范围是．
18．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意可知，，
则.
在中由余弦定理可得，
代入可得，
解得，
由三角形面积公式可得
（2）因为，
所以，
则，
因为，所以，
则，
所以，
在中由余弦定理可得，
代入可得，
所以.
19．（1）14981m（2）
【详解】
解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为，
在中，由正弦定理，有，
∴；
（2）飞机，山顶的海拔的差为，
，
即山顶的海拔高度为．
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