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7.1.1
数系的扩充和复数的概念随堂同步进阶练习
一、单选题
1．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（
）
A．的共轭复数为
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
2．设有下面四个命题
:若满足，则;
:若虚数是方程的根，则也是方程的根:
:已知复数则的充要条件是:
;若复数,则.其中真命题的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知i是虚数单位，是z的共轭复数，，则z的虚部为（
）
A．1
B．-1
C．i
D．-i
5．复数满足，则的虚部是（?
）
A．
B．
C．
D．
6．已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数的值为（
）
A．
B．
C．-2
D．
8．已知复数
和复数，则复数的实部是(
)
A．
B．
C．
D．
9．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3i
B．3i
C．±3i
D．4i
10．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
二、填空题
11．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____.
12．已知复数满足，则________.
13．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
14．已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
15．已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
三、解答题
16．实数取什么值时,复数
(1)与复数相等
(2)
与复数互为共轭复数
(3)对应的点在轴上方.
17．已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数.
（1）若，，求的值；
（2）若，求，的值.
18．已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，，.
(1)求实数的值；
(2)求以为邻边的平行四边形的面积.
19．已知复数,(其中i是虚数单位,m,,).
(1)若为纯虚数,求实数m的值;
(2)若,求实数的取值范围.
答案解析
1．D
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
2．C
【解析】
对于中若，设，则，所以是正确的；
对于中，若虚数是方程的根，则也一定是方程的一个根，所以是正确的；
对于中，例如则，此时，所以不正确；
对于中，若，则必为实数，所以是正确的，
综上正确命题的个数为三个，故选C.
3．B
【详解】
，.，，的虚部为.故选:B.
4．A
【详解】
由，∴，
∴，
∴z的虚部为1，
故选：A.
5．A
【详解】
∵，∴，
∴，即的虚部是，故选A.
6．B
【详解】
因为))，
所以
因为，所以，选B.
7．D
【详解】
因为,所以,选D.
8．D
【解析】
，
实部为,故选D.
9．B
【解析】
设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.
选B.
10．B
【解析】
由于复数z＝a＋i的实部与虚部分别为，故由题设可得，应选答案B．
11．1
【详解】
解:因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以是实系数一元二次方程的一个根，
所以，，
因此.
故答案为：1.
12．
【详解】
又
，故答案为．
13．2
【解析】
因为，则，则的实部为.
14．3i
【解析】
设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以即
又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
15．±2-2i
【解析】
因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),
由|z|=4得a2+4=16,
所以a2=12,所以a=±2,
所以z=±2-2i.
16．（1）m＝－1
（2）m＝1
（3）m<－3或m>5.
【解析】(1)根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
17．（1）
（2）
【详解】
（1）当，时，，
所以，所以.
（2）若，则，
所以，所以解得
18．(1)3；(2).
【详解】
(1)∵,
∴，解得
(2)由(1)知,
∴,
∴,
设向量的夹角为,
∴,
∴,
∴
19．(1)(2).
【详解】
解
(1)∵为纯虚数,∴解得.
(2)由,得.
,∴当时,;
当时,.
∴实数的取值范围是.
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7.1.1
数系的扩充和复数的概念随堂同步练习
一、单选题
1．已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．i是虚数单位，若集合S=，则
A．
B．
C．
D．
3．设复数满足，则复数的虚部为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知复数，复数，给出下列命题：
①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.
其中真命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．下列命题中正确的是(
)
A．若，则
B．若复数，满足，则有或
C．复数是的充要条件
D．两个复数和为实数，则这两个复数互为共轭复数
6．已知复数对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在下列命题中，正确命题的个数是（
）
①两个复数不能比较大小；
②若和都是虚数，且它们的虚部相等，则；
③若，是两个相等的实数，则必为纯虚数.
A．0
B．1
C．2
D．3
8．复数（i（为虚数单位）的虚部为（
）
A．2
B．3
C．
D．
9．设i为虚数单位,若,a,,则(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知复数(i为虚数单位),则下列说法正确的是(
)
A．z的虚部为
B．z的共轭复数为
C．
D．在复平面内对应的点在第三象限
二、填空题
11．如果的实部和虚部相等，那么________.
12．已知复数满足，且复数的实部是虚部的倍，则实数的值是______.
13．实部为5，模与复数的模相等的复数的个数为______.
14．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是______.
15．已知复数满足，则复数的实部与虚部的和为__________.
三、解答题
16．(1)已知i为虚数单位,复数z满足,求z;
(2)已知i为虚数单位,复数z满足,求z.
17．设，若，求实数的取值范围.
18．已知复数满足，求复数．
19．已知关系，的方程组有实数解，求实数，的值.
答案解析
1．C
【详解】
复数的实部为，则，即.∴，
.复数，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选：C.
2．B
【详解】由可得，，，，.
3．B
【详解】
∵i4＝1，∴i2019＝（i4）504?i3＝﹣i．
∴i．
∴，其虚部为．
故选B．
4．C
【详解】
由复数，复数，
可得复数，复数，
对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；
对于②:
，
，,∴②正确；
对于③:
复数与其共轭复数，在复平面内的点分别为，
关于实轴对称,∴③正确；
对于④:复数为实数，虚部为0,∴④正确.
综上,真命题3个，
5．C
【详解】
选项A，若，满足，
但是虚数不能比较大小，所以A项不正确；
选项B，若，满足，
但且，所以B项不正确；
选项C，设，
若则，
若则，所以C项正确；
选项D，如果两个复数分别为，和为，
但不是共轭复数，所以D项不正确.
故选:C.
6．B
【详解】
设，则.由，得，即，解得.
复数对应的点在第二象限，.
，.
故选：B．
7．A
【详解】
对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误.对于②，设，，因为，所以.当时，.当时，，故②错误.对于③，当时，是纯虚数.当时，是实数，故③错误.故选A.
8．D
【详解】
解：，
∴复数z的虚部为，
故选：D.
9．B
【详解】
由,a,,得,,
则.
故选:B.
10．D
【详解】
复数的虚部为,故A不正确;z的共轭复数为,故B不正确;,故C不正确;z在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限.
故选：D
11．
【详解】
因为，
又的实部和虚部相等，
所以，
解得.
故答案为：
12．
【详解】
由已知，，因复数的实部是虚部的倍，
所以，解得.
故答案为：.
13．1
【详解】
依题意设，
则，而，
所以，即.所以.故满足题意的复数只有一个.
故答案为：1
14．
【详解】
的虚部为，的实部为，
故答案为：.
15．4
【详解】
设，则，
∴，
即，
∴，
解得，
∴，
即复数的实部与虚部的和是4.
故答案为：4.
16．(1).(2).
【详解】
解：（1）设,因为,所以,即且,解得,,所以.
(2)设,则,又,所以,由复数相等的定义得解得所以.
17．
【详解】
由题意可知
，即
解得
18．
【详解】
设，
则，那么
，
∴．
19．1，2
【详解】
解：设是方程组的实数解.
由已知及复数相等，得，
由①②得，代入③④得，
∴实数，的值分别为1，2.
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