15.4.2公式法(完全平方公式分解因式)

(共24张PPT)
1、利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)
2、分解因式应注意的问题
（1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.
（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.
（3）因式分解进行到每一个因式不能分解为止.
温故知新
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
问题引入
例如:你会对x2-6x+9因式分解吗？
完全平方式的特点：
1．有三部分(即三项)组成．
2．其中有两部分分别是某两个数(或式)的平方，
　 且这两部分同号．
　　　　　　　　　另一部分是上述两数(或式)
　 的乘积的2倍，符号可正可负．
形如 　 的多项式称为完全平方式.
判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 各表示什么？
是
不是
不是
是
不是
是
1、下列各式是不是完全平方式？说明理由。
（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+b2; （4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25.
是
（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.
是
（4）不是， ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x2与－9的符号不统一.
是
2．请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(±2xy)
(±12ab)
(±4xy)
(±ab)
y2
完全平方公式
公式应用的特征:
左边是:两数的平方和与这两数积的两倍和(或差).（即左边是完全平方式）
右边是:这两数和(或差)的平方
填写下表(若某一栏不适用，请填入“不适用”)
a表示x,b表示3
a，b各表示什么
表示成(a＋b)2或(a－b)2的形式
是
是否是完全平方式
多项式
是
a表示2y,b表示1
不是
不适用
不适用
不适用
不适用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
随堂练习
·
例1.分解因式：16x2+24x+9
分析:16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2
2
a
b
b2
+
·
+
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
典例解析
例2：把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）(m+n)2－6(m +n)+9.
解：（1）x2+14x+49
=x2+2×7x+72
=(x+7)2
（2）(m +n)2－6(m +n)+9
=(m +n)2－2×(m +n)×3+32
=[(m +n)－3]2
=(m +n－3)2.
例3：把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
（2）－x2－4y2+4xy
=－(x2－4xy+4y2)
=－[x2－2·x·2y+(2y)2]
=－(x－2y)2
先提公因式3a
首项为负时，先提负
例4、把下列多项式因式分解。
（1）x2－12xy+36y2
（2）16a4+24a2b2+9b4
解：（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+(6y)2
=(x－6y)2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2
（3）－2xy－x2－y2
（4）4－12(x－y)+9(x－y)2
解：（3）－2xy－x2－y2
=－(x2+2xy+y2)
=－(x+y)2;
（4）4－12(x－y)+9(x－y)2
=22－2×2×3(x－y)+[3(x－y)]2
=[2－3(x－y)]2
=(2－3x+3y)2
2.下面因式分解对吗？为什么？
1．分解因式：
当堂测试
1
原式=（3a-b)2
原式=（a+7b)2
原式=（x2-9)2=（x+3)2(x-3)2
1、因式分解(x－1)2－9的结果是( )
A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x－4)
C．(x－2)(x+4) D．(x－10)(x+8)
2、分解因式：x3－6x2+9x=_______．
3、分解因式：
中考链接
2
B
X(x-3)2
解：原式=2a[(x2+1)2 –4x2 ]
=2a(x2+1+2x)(x2+1-2x)
=2a(x+1)2 (x-1)2
2a(x2+1)2 –8ax2
1. 计算: 7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=9010000
2. 20102+2010能被2011整除吗
解: ∵20102+2010=2010(2010+1)
=2010 ×2011
∴ 20102+2010能被2011整除
能力挑战
3.用简便方法计算：
=4024000=4.024×106
=100
=2500
注意：1.若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.2.观察每个因式能否继续进行因式分解，要分解到每个因式都不能再分解因式止。
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.这样的多项式有两个特点：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂小结