15.4.2公式法(平方差公式分解因式)

(共24张PPT)
——运用平方差公式分解因式
问题:什么叫多项式的因式分解
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
(4) 4x2- =(2x+ )(2x- )
9y2
1
3y
1
1
3y
把一个多项式化成几个整式的积的形式,
这种变形叫做把这个多项式因式分解
√
×
×
×
问题：你学了什么方法进行分解因式？
提公因式法
= a( x – y )
=3a(a-2b+1)
=(a+b)(3a-5)
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay
(2) 9a2 - 6ab+3a
(3) 3a(a+b)-5(a+b)
(4) -4x2+8ax+2x
=-2x(2x-4a-1)
1). (2+a)(a-2);
2). (-4s+t)(t+4s)
3). (m +2n )(2n - m )
4). (x+2y)(x-2y)
观察以上式子是满足什么乘法公式运算？
看谁做得最快最正确！
计算：
(1)a2-4
(2)t2-16s2
(3)4n4-m4
(4)x2-4y2
平方差公式：
a - b = (a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
(a+b)(a-b) = a - b
平方差公式：
平方差公式因式分解特征：
(1)左边是两部分相减(即两项异号)
(2)左边的两部分都可写成某数(或式)的平方
(3)右边是两数之和与这两数之差的积
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+y2
(4) -x2 - y2
判断
×
×
√
√
(5) a2＋3
(6) a2-3
×
√
9n3
c
8xy
⑷
填空：
⑵
⑹
⑴
⑶
⑸
⑺
⑻
2x
5m
6a
0.7b
(9)4(a+2)2 =
(10)9(a - 1)2=
[ ]2
2(a+2)
[ ]2
3(a-1)
你能将多项式x2-4分解因式吗
5
(11) 25 =( )2
(12) 7 =( )2
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
(1) m - 16 (2) 4x - 9y
m - 16=
a - b = ( a + b)( a - b )
4x - 9y =( ) -( )
m - 4
=( m + 4)( m - 4)
2x
3y
=(2x+3y)(2x-3y)
公式归纳
能运用平方差公式进行因式分解的式子的特点：
⑴ 左边应是一个二项式（如： ）
⑵ 二项式的每项（不含符号）都可以写成平方的形式。
⑶这两项的符号不同（ 如： ）
符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算。
5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。
一般地，如果一个多项可以转化为a2-b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。如(1) 4( a + b) - 25(a - c)
2x3-8x=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
例1.把下列各式分解因式
（1）16a - 1
( 2 ) 4x - m n
( 3 ) — x - — y
9
25
1
16
( 4 ) –9x + 4m2
解：1）16a -1=(4a) - 12
=(4a+1)(4a-1)
解：2） 4x - m n
=(2x) - (mn)
=（2x+mn)(2x-mn)
（5）x2y4-9
=(xy2)2-32
=(xy2+3)(xy2-3)
解:3)原式=
解: 4)原式
=4m2 - 9x 2
=(2m)2 - (3x)2
=(2m+3x)(2m-3x)
⒊利用平方差公式把下列各式分解因式
⑴
①
③
②
④
⑵
①
②
③
④
⑤
⑥
⒉判断
①
（ ）
②
（ ）
×
×
=(x+2)(x-2)
=(3+y)(3-y)
=(1+a)(1-a)
=(2x+y)(2x-y)
=(6+m)(6-m)
=(2x+3y)(2x-3y)
=(5p+7q)(5p-7q)
=(6n+1)(6n-1)
=(0.9a+4b)(0.9a-4b)
=(a+ x)(a- x)
把下列各式因式分解
( x + z ) - ( y + z )
4( a + b) - 25(a - c)
4a - 4a
(x + y + z) - (x – y – z )
1.解：
原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
2.解：
原式=[2(a+b)] -[5(a-c)]
=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
3.解：
原式=4a(a -1)=4a(a+1)(a-1)
4.解：
原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2 x ( 2 y + 2 z)
=4 x ( y + z )
温馨提示：能提公因式的，要先提公因式，再进行下一步的分解。
用平方差公式进行简便计算:
1）38 -37 2) 213 -87
3) 229 -171 4) 91×89
1)、75
2)、37800
3)、23200
4)、8099
分解因式:
=2x(x-2)(x+2)
解：原式=2x(x2-4)
当多项式的各项有公因式时,通常先提出这个公因式,然后进行因式分解
运用公式法分解因式:
(1) -9x2+4y2 (2) 64x2-y2z2
(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 (4) (a+bx)2-1
(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2
创新与应用
已知:x+ y =7, x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
=(2y+3x)(2y-3x)
=(8x+yz)(8x-yz)
=(a2+2ab+2x+2y)(a2+2ab-2x-2y)
=(a+bx+1)(a+bx-1)
=(3x-4y+5z)(-x+2y-3z)
解：x 2- y2-2y+2x
=(x 2- y2) +(2x-2y)
=(x+y)(x-y)+2(x-y)
=(x-y)(x+y+2)
∵x+y=7,x-y=5
∴原式=5×(7+2)=45
小结：
1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式
可运用平方差公式分解因式。
2.公式a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也
可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
进一步分解因式。
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
直到不能再分解为止。
若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
巩固练习：1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. 4X +y B. 4 x- (-y)
C. -4 X -y D. - X + y
-4a +1分解因式的结果应是 （ ）
A. -(4a+1)(4a-1) B. -(2a –1)(2a –1)
C. -(2a+1)(2a+1) D. -(2a+1)(2a-1)
D
D
3.x2-64因式分解为( ).
(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32);
(C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8).

4. 64a8-b2因式分解为( ).
(A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b);
(C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).
D
C
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b 2) x4 –1
解：
2)原式=(x +1)(x+1)(x-1)
1)原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b)
作业:因式分解
(1)x2-25; (2)9x2-y2
(3)25-16x2; (4)9a2-
(5)9(m+n)2-(m-n)2; (6)(a+b)2-1
(7)2x3-8x; (8)(a-1)+b2(1-a)
(10)a5-a