24.2 .1 与圆有关的概念及点与圆的位置关系 课件（共36张PPT）

24.2 圆的基本性质
第1课时
与圆相关的概念及点与圆的
位置关系
24章 圆
2020-2021学年度沪科版九年级下册
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）
3.初步了解点与圆的位置关系.
学习目标
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
新课导入
骑车运动
看了此画,你有何想法?
问题1 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的概念
合作探究
探究新知
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
为什么？
·
r
O
P
?圆的旋转定义
在平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OP 的长 r 叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O ” 读作“圆O”.
问题2 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
?确定一个圆的要素
(1) 圆上各点到定点 (圆心O) 的距离都等于 ．
(2) 平面内到定点 (圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有
点都在 ．
由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点 (圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
O
r
r
r
r
r
定长(半径r)
同一个圆上
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
·
例1 已知：如图AB，CD为⊙O 的直径. 求证：AD∥CB.
证明：连接AC，DB.
∵ AB，CD为⊙O的直径，
∴ OA = OB，
OC = OD.
∴ 四边形ADBC为平行四边形，
∴ AD∥CB.
A
B
C
D
O
例题讲解
矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O.
求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴ A、B、C、D在以O为圆心，
以OA为半径的圆上.
练一练
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
.A
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
观察与思考
探究新知
问题2 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d

P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别
为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关
系是点A在 ；点B在 ；点C .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若 OP =
，则点 P 在 （ ）
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
o
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d

P
r
d
R
r
P
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r

点P在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
例2 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB=3，AD=4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A的位置关系如何？
解：∵AB = 3cm＜4cm，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4cm，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞4cm，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一
点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的
取值范围.
解：由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，∴3cm＜r＜5cm.
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为
(2，1)，P 是 x 轴上一点，要使 △PAO 为等腰三角形，满足条件的P 有几个？求出点 P 的坐标.
方法总结：在没有明确腰或底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论.
?弧：
·
C
O
A
B
圆的有关概念
(
探究新知
?弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AB，AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫
做直径．
注意：1. 弦和直径都是线段.
2. 直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
?半圆、优弧及劣弧:
圆的任意一条直径的两个端点分圆
成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
大于半圆的弧（如图中的 ，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧.
?等圆：
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.
·
C
O1
A
?等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
长度相等的弧是等弧吗？
例3 如图.
(1) 请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
(2) 请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF，AB，AC.其中弦 AB 也是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是 .
练一练
有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是 (　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.
C
1. 根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2. 直径是圆中最长的弦.
证明：
·
C
O
A
B
连接OC，
在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC，
而AB=2OA，AO=OC，∴AB>AC.
知识要点
例4 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
解：连接OD，如图.
∵AB是⊙O的直径，
OC，OD是⊙O的半径，
AB＝2DE，∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝18°，
∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.
∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，
∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.
例5 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
连接OA，OD即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
在 Rt△ABO 中，AB2 + BO2 = AO2，
即 (2x)2 + x2 = 102.
A
B
O
C
D
M
N
算一算：设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为
.
x
x
x
x
【变式题】如图，在扇形MON中， ，半径
MO=NO=10，正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，
顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连接OA，如图.
又∵∠DOC=45°，∴CD=OC.
设 OC = x，则 AB=BC=DC=OC=x.
∵OA=OM=10，
∴在Rt△ABO中，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.
即 (2x)2 + x2 = 102.
∴
45°
∵四边形ABCD为正方形，
1.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂练习
2. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径
半径
一
二
四
四
A
B
C
D
O
F
E
3. 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作
⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
上
外
上
4. 如图，MN为⊙O的弦，∠MON=70°，则∠M = .
5. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm，
则这个圆的半径是 .
7cm或3cm
M
O
N
55°
1
·
2cm
3cm
6. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于
或等于3cm的点组成的图形.
O
7. 如图，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、
OB的中点，求证：AD＝BC.
证明：∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∵点C、D分别为OA、OB的中点，
∴OC＝1/2OA，OD＝1/2OB，
∴OC＝OD.
又∵∠O＝∠O，
∴△AOD≌△BOC(SAS).
∴BC＝AD.
8. 如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一
渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行
才能尽快离开危险区？试说明理由．
A
D
P
解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O于点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区．
C
O
圆
定义
旋转定义
集合定义
有关
概念
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
点与圆的位置关系
弦（直径）
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d等圆
等弧
课堂小结