24.4.2切线的性质和判定 课件（共30张PPT）

第2课时
切线的性质和判定
24.4 直线与圆的位置关系
24章 圆
2020-2021学年度沪科版九年级下册
1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点）
3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.（难点）
学习目标
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
新课导入
如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？
A
l
O
切线的性质定理
观察与思考
探究新知
证明：当直线 l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.
这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，
因为点B在⊙O外，所以OB >OA.
这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的，
故OA⊥l.
于是我们可以得到：
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
B
A
O
l
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：
知识要点
如图，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .
60°
练一练
A
B
N
O
M
例1 如图，点 O 是 ∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD ＝ 35°，则 ∠BAC 的度数为 (　　)
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接OD，如图.
∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.
A
例题讲解
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1) 求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，OA，OB为半径，
∴∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
(2) 若AP ＝ ，求⊙O的半径．
∴ AO＝1，
即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ，
O
A
B
P
C
A
B
C
已知⊙O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点 A作⊙O的切线？
作法：1. 连接OA.
2. 过点 A 作直线 BC⊥OA.
则直线 BC 即为所作.
切线的判定定理
O
观察与思考
为什么直线BC即为所作呢？
探究新知
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA为⊙O的半径，
BC ⊥ OA于A，
∴ BC为⊙O的切线.
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
知识要点
利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.
O.
O
O
(1)
(2)
(3)
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
练一练
“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点
时，我们说这条直线是圆的切线.
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距
离等于半径 (即 d = r) 时，直线与
圆相切.
3. 判定定理：经过半径外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
知识要点
例3 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.
证明：∵AB =AC，∠ABC =45°，
∴∠ACB =∠ABC =45°.
∴∠BAC =180°-∠ABC-ACB =90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
例4 已知：直线 AB 经过 ☉O 上的点 C，并且OA=OB，CA = CB. 求证：直线AB是☉O的切线.
O
B
A
C
提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明OC⊥AB即可.
证明：连接OC，如图.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
例5 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，
⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
提示：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC，如图.
∵ ⊙O 与AB 相切于E，∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC.
F
B
O
C
E
A
∴ OE ＝OF.
∴ AC 是⊙O 的切线．
又∵ OE ⊥AB ，OF⊥AC.
∵OE为⊙O 半径，
∴OF为⊙O 半径.
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8， ⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
通过对比，你能得出什么结论？
作垂直
连接
方法归纳
(1) 有交点，连半径，证垂直 (如：例4)；
(2) 无交点，作垂直，证半径 (如：例5).
?证切线时辅助线的添加方法
?有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直 (如：例1).
要点归纳
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
(3) 过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线. （ ）
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（ ）
×
×
√
√
√
课堂练习
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，
∠BCD =120°，过 D 点的切线 PD 与直线AB 交于
点P，则 ∠ADP 的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2. 如图，A 是☉O上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP =
12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
A
P
O
第2题图
相切
C
P
O
第3题图
D
A
B
C
4. 如图，☉O切PB于点B，PB=4，PA=2，则☉O的半径
多少？
O
P
B
A
解：连接OB，如图.则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则
OA=OB=r，OP=OA+PA=r +2.
在Rt△OBP中，
OB2 + PB2=PO2，
即r2 + 42= (2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
O
A
B
C
E
P
5. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证：PE是⊙O的切线.
证明：连接OP，如图.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为
圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M.
求证：CD 与⊙O相切.
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，如图.
∵ ⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD 对角线 AC 上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
7. 已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
(1) 如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添
加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
(2) 如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF
是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：如图，连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.
∴ ∠D + ∠DAC=90 °，
∵ AC = AC ，
∴ ∠D= ∠B.
又∵ ∠CAE= ∠B，
∴ ∠D= ∠CAE，
∴ ∠CAE+ ∠DAC=90°，
即AD⊥EF，
∴ EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
⌒
⌒
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结
谢谢聆听