2.2 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质（第4课时） 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质（第4课时） 课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-28 20:37:13 | ||
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文档简介
数学北师大版
九年级
二次函数的图象与性质
第4课时 y=ax2+bx+c的二次函数的图象和性质.
复习完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2
填空:x2+8x+( ）=（ ）2
x2-5x+( ）=（ ）2
x2-18x+( ）=（ ）2
x2+ x+( ）=（ ）2
x2+ bx+( ）=（ ）2
6.25
16
x+4
81
x-2.5
x-9
x+
x+
左边配上一次项系数的一半的平方
例1求二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴和顶点坐标.
=2 (x2-4x)+7
=2 (x2-4x+4-4) + 7
=2 (x-2）2-1
解：y=2x2- 8x+ 7
=2 (x2-4x+4) -8+ 7
因此，二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴直线X=2,
顶点坐标为（2，1）.
你能研究二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴和性质吗？
做一做：
1.求二次函数y=3x2- 6x+ 7图象的对称轴和顶点坐标
2.求二次函数y=2x2- 12x-8图象的对称轴和顶点坐标
y=3x2- 6x+ 7=3(x-1)2+4
对称轴x=1
顶点坐标(1,4)
y=2x2- 12x-8=2(x-3)2-26
对称轴x=3
顶点坐标(3,-26)
例2求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：y=ax2+bx+c
因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴
顶点坐标.
如图2- 6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
做一做:
因此左边图象顶点的坐标是(-20,1)
故钢缆的最低点到桥面的距离是1
因为左、右两条抛物线关于y轴
对称.故右边的顶点坐标是(20,1)
两条钢缆最低点之间的距离
是:20+20=40
课堂练习
1. 把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合. 请求出a，b，c的值，并画出函数的图象.
解：将y=2x2+4x+1整理，得y=2（x+1）2-1.
∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得y=2x2+4x+1=2（x+1）2-1，
∴将y=2x2+4x+1=2（x+1）2-1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y=ax2+bx+c.
故y=ax2+bx+c=2（x+1-2）2-1+1=
2（x-1）2=2x2-4x+2.∴a=2，b=-4，c=2.
图象如答图X2-2-5所示.
2.如图X2-2-11，抛物线y=ax2-5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
解：把点C(5，4)代入抛物线
y=ax2-5ax＋4a，
得25a-25a＋4a=4.解得a=1.
∴二次函数的表达式
为y=x2-5x＋4.
∵y=x2-5x＋4=
∴顶点P的坐标为
3. 已知二次函数y=3x2+36x+81.
（1）写出它的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；
（3）求出图象与x轴的交点坐标；
（1）∵y=3x2+36x+81=3（x+6）2-27，
∴顶点坐标为（-6，-27）.
（2）∵抛物线的对称轴为x=-6，且抛物线的开口向上，
∴当x＞-6时，y随x的增大而增大.
（3）当3x2+36x+81=0时，解得x1=-3，x2=-9.
∴该函数图象与x轴的交点为（-9，0），（-3，0）.
（5）∵该函数图象与x轴的交点为（-9，0），（-3，0），且抛物线的开口向上，
∴当-9＜x＜-3时，y＜0.
（4）当x取何值时，y有最值，并求出最值；
（5）当x取何值时，y＜0.
（4）∵抛物线的顶点坐标为（-6，-27），
∴当x=-6时，y有最小值，最小值为-27.
课后作业
【答案】 A
2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
3．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
4．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
C
6．二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
【点拨】结合二次函数的增减性及图象的开口方向、对称轴进行解答即可．
易错总结：容易忽略题目中给出的信息m≤x≤n，且mn＜0，不能得出m＜0≤x≤n，从而不能根据图象进一步分成m＜0≤x≤n＜1或m＜0≤x≤1≤n两种情况讨论．
【答案】 D
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan ∠ABC.
谢谢
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九年级
二次函数的图象与性质
第4课时 y=ax2+bx+c的二次函数的图象和性质.
复习完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2
填空:x2+8x+( ）=（ ）2
x2-5x+( ）=（ ）2
x2-18x+( ）=（ ）2
x2+ x+( ）=（ ）2
x2+ bx+( ）=（ ）2
6.25
16
x+4
81
x-2.5
x-9
x+
x+
左边配上一次项系数的一半的平方
例1求二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴和顶点坐标.
=2 (x2-4x)+7
=2 (x2-4x+4-4) + 7
=2 (x-2）2-1
解：y=2x2- 8x+ 7
=2 (x2-4x+4) -8+ 7
因此，二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴直线X=2,
顶点坐标为（2，1）.
你能研究二次函数y=2x2- 8x+ 7图象的对称轴和性质吗？
做一做：
1.求二次函数y=3x2- 6x+ 7图象的对称轴和顶点坐标
2.求二次函数y=2x2- 12x-8图象的对称轴和顶点坐标
y=3x2- 6x+ 7=3(x-1)2+4
对称轴x=1
顶点坐标(1,4)
y=2x2- 12x-8=2(x-3)2-26
对称轴x=3
顶点坐标(3,-26)
例2求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：y=ax2+bx+c
因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴
顶点坐标.
如图2- 6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
做一做:
因此左边图象顶点的坐标是(-20,1)
故钢缆的最低点到桥面的距离是1
因为左、右两条抛物线关于y轴
对称.故右边的顶点坐标是(20,1)
两条钢缆最低点之间的距离
是:20+20=40
课堂练习
1. 把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合. 请求出a，b，c的值，并画出函数的图象.
解：将y=2x2+4x+1整理，得y=2（x+1）2-1.
∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得y=2x2+4x+1=2（x+1）2-1，
∴将y=2x2+4x+1=2（x+1）2-1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y=ax2+bx+c.
故y=ax2+bx+c=2（x+1-2）2-1+1=
2（x-1）2=2x2-4x+2.∴a=2，b=-4，c=2.
图象如答图X2-2-5所示.
2.如图X2-2-11，抛物线y=ax2-5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
解：把点C(5，4)代入抛物线
y=ax2-5ax＋4a，
得25a-25a＋4a=4.解得a=1.
∴二次函数的表达式
为y=x2-5x＋4.
∵y=x2-5x＋4=
∴顶点P的坐标为
3. 已知二次函数y=3x2+36x+81.
（1）写出它的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；
（3）求出图象与x轴的交点坐标；
（1）∵y=3x2+36x+81=3（x+6）2-27，
∴顶点坐标为（-6，-27）.
（2）∵抛物线的对称轴为x=-6，且抛物线的开口向上，
∴当x＞-6时，y随x的增大而增大.
（3）当3x2+36x+81=0时，解得x1=-3，x2=-9.
∴该函数图象与x轴的交点为（-9，0），（-3，0）.
（5）∵该函数图象与x轴的交点为（-9，0），（-3，0），且抛物线的开口向上，
∴当-9＜x＜-3时，y＜0.
（4）当x取何值时，y有最值，并求出最值；
（5）当x取何值时，y＜0.
（4）∵抛物线的顶点坐标为（-6，-27），
∴当x=-6时，y有最小值，最小值为-27.
课后作业
【答案】 A
2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
3．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
4．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
C
6．二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
【点拨】结合二次函数的增减性及图象的开口方向、对称轴进行解答即可．
易错总结：容易忽略题目中给出的信息m≤x≤n，且mn＜0，不能得出m＜0≤x≤n，从而不能根据图象进一步分成m＜0≤x≤n＜1或m＜0≤x≤1≤n两种情况讨论．
【答案】 D
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan ∠ABC.
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