2.3 确定二次函数的表达式（第1课时） 课件（共19张PPT）

数学北师大版
九年级
2.3 确定二次函数的表达式第1课时
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
二次函数解析式的三种表示形式
(1)一般式
(2)顶点式
(3)交点式
y=ax2+bx+c(a≠0)
?
????=????(?????????1)(?????????2)(????≠0)条件：若抛物线????=????????2+????????+????与????轴交于两点（????1,0)(????2,0)
?
????=????(?????h)2+????(????≠0)顶点坐标（h,????)
?
顶点在原点y=ax2 (a≠0)
顶点在y轴上y=ax2+k (a≠0)
顶点在x轴上y=a(x-h)2 (a≠0)
例.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)
和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝－5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
(1)一般式法求二次函数的表达式
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
0
1
0
-3
-8
-15
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：（表达式）
2.代：（坐标代入）
3.解：方程（组）
4.还原：（写表达式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
方法归纳
一般式法求二次函数表达式的方法
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
针对训练
∴
　　例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
{
　　2.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
针对训练
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
{
(2)顶点式求二次函数的表达式
例2.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
3. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例3.二次函数过三点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
(3)交点法求二次函数的表达式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
4.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
y
o
x
解：
设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1）
由条件得：
点M( 0,1 )在抛物线上
所以： a(0+1)(0-1)=1
解得： a= -1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
针对训练
谢谢
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