圆锥曲线

(共18张PPT)
圆
锥
曲
线
o
x
y
圆锥曲线方程
Point Conic Equation
圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，她兼具曲线美和对称美，被人们称之为世间最美的线条。
宇宙中也存在着圆锥曲线，太阳系中九大行星及其卫星都是椭圆，而彗星运动轨道分椭圆，双曲线形，和抛物线形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔76年我们就可以观测一次。
椭圆
双曲线
综合比较
抛物线
曲线简史
知识推广
椭圆第一定义
椭圆标准方程
椭圆第二定义
双曲线标准方程
双曲线第二定义
双曲线第一定义
圆锥曲线的雏形
远在古希腊，就有很多人热衷于研究几何三大作图
问题，竟相寻求这些问题的解答，而在求解过程中，就
要用到圆锥曲线，如希腊学者蒙爱启玛斯在研究“二倍立
方问题”时，就涉及圆锥曲线。他取三个顶点分别为直角
锐角和钝角的正圆锥，然后各作一个平面分别垂直于三
个圆锥的一条母线，并与圆锥相截：他把所得三条截线
分别称为“ ”，“ ”和
“ ”，实际上就是今天我们所说的抛物线，
椭圆，一支等轴双曲线：这是圆锥曲线最早的名称。
直角圆锥截线
锐角圆锥截线
钝角圆锥截线
圆锥曲线在世界的研究
公元十七世纪初期，由于生产的需求，促使了天文学、
力学和光学的发展，由于生产的需要，促使了天文学，力
学和光学的发展，从而向数学提出了许多迫切需要解决的
课题，有关圆锥曲线的计算就是其中之一。
例如公元1609年，德国天文学家开普勒发现天体运动
的轨迹是椭圆，意大利物理学家 伽利略由抛掷石子推出弹
道是抛物线。法国学者迈多尔日发展了圆锥曲线的性质，
并在光学中加以运用。天体运动，弹道轨迹，光学应用等
实际需要，促使人们加快地研究和建立有关圆锥曲线的理
论，并用于实际。
我国对圆锥曲线的研究也有相当的历史，很多史书均
有这方面的记载。《恒星历指》一书中既有椭圆的名称，《交食历指》一书则记为长圆，《测量全义》中
记载了椭圆产生于圆柱，也记载圆锥曲线源自圆锥。
椭 圆 ellipse
椭圆第一定义： 把平面内与两个定点F1,F2的距离的
和等于常数（大于/F1F2/ ）的点的轨
迹叫做椭圆。
o
F1
F2
A1
A2
B1
B2
M
x
y
椭圆就是集合: P={ M| |MF1|+|MF2|=2a }
椭圆的焦距：|F1F2|=2c
椭圆的长轴: |A1A2|=2a
椭圆的短轴： |B1B2|=2b
x2
a2
+
y2
b2
=
1
( a>b>0 )
c2 = a2 - b2
F1
F2
c
b
a
x
y
o
1.范围
离心率e=
c
a
( 0椭圆的简单几何性质：
2.对称
3.顶点
4.离心率
建立直角坐标系，
用代数方法研究椭圆.
（将几何图形
代数化）
在坐标系中计算得，椭圆的标准方程：
A1
A2
B1
B2
椭圆的标准方程
y
M
x
F2
F1
d
x=
a2
c
x=
a2
-
c
o
焦点，
时，这个动点的轨迹是
的距离
定直线
e=
c
a
定点
平面内动点M到一个
和它到一条
的距离比是常数
(0椭圆，定点是椭圆的
定直线叫做椭圆的
准线.
椭圆就是集合:
P={ M | }
|MF|
d
=
c
a
|MF2|
d
=
=
e
（常数 ）
c
a
准线方程：
x =
a2
c
x =
a2
c
椭圆的第二定义
双曲线 hyperbola
双曲线第一定义：把平面内与两个
定点
F1 , F2
的距离的
差的绝对值等于常数（小于
|F1F2| )
的
点的轨迹叫做
双曲线
|F1F2|=2c
双曲线的焦距：
双曲线就是集合：
|MF1|
|MF2| =
2a }
P={ M|
双曲线的实轴：|A1A2|=2a
双曲线的虚轴：|B1B2|=2b
y
F1
F2
x
o
M
在坐标系中计算，得双曲线标准方程：
x2
a2
_
y2
b2
= 1
( a > 0 , b > 0 )
y
x
o
c2 = a2 + b2
离心率e =
c
a
( e > 1 )
双曲线的几何性质：
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率
5.渐进线
y=
b
a
x
y=
b
a
x
A1
A2
B1
B2
建立直角坐标系，
同样用代数方法研究双曲线（将
何图形代数化）
双曲线的标准方程
c
a
平面内动点到一个 M的距离与它到一条 的
定点
定直线
距离的比是常数e=
( e > 1 )时，这个动点的轨迹是
双曲线，定点是双曲线的
焦点，
定直线叫双曲线的
准线.
F2
M
F1
x=
a2
c
x=
a2
-
c
双曲线就是集合：
|MF2|
d
=
c
a
=
e
（常数 ）
=
|MF|
d
P={ M | }
c
a
双曲线的第二定义
抛物线定义 parabola
把平面内与一个
定点
F和一条定
直线
L的距离相等
的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 .直线叫
做抛物线的 .直线L 叫做抛物线的准线.
F
M
L
o
K
x
y
抛物线的标准方程：
y2=2px
抛物线的准线方程：
x=_
p
2
准线
焦点
椭 圆 双曲线 抛物线 圆
几何条件 |MF1|+|MF2|=2a |MF1|-|MF2| =+2a
|MF|=dmL |MO|=r
标准方程
( a > b > 0 )
( a > b > 0 ) y2=2px
( p > 0 )
顶点坐标 (0, 0) 无
对称轴 X轴，y轴 X轴，y轴
X轴 直径
焦点坐标 （+c, 0) c2=a2+b2
（+c, 0) ( 0, 0)
离心率 0 < e < 1 e > 1 e = 1 e = 0
准线方程 无
渐近线
x2
a2
_
y2
b2
= 1
+
y2
b2
=
1
x2
a2
x2
+ y2 = r2
(+a, 0)
(+a, 0)
( 0, +b)
x=
a2
c
x=
a2
-
c
x=
a2
-
c
x=
a2
c
x=_
p
2
y=+
b
a
x
（+c, 0) c2=a2-b2
轨迹问题
就是满足某种条件的点的集合，也可以看作是
动点按某种规律运动所形成的曲线.
就是求轨迹上动点P(x ,y)的坐标x和y所满足
的等式f(x ,y)=0.
求轨迹方程常用方法：
Ⅰ直接法：将动点运动的规律直接转化为代数语言，
求出动点坐标满足的等量关系.
Ⅱ参数法：在等量关系不易找到时，可以增设一些参
变量过渡，间接得动点坐标的等量关系.
Ⅲ交轨法：当动点的制约条件不止一个时，用交轨法.
注意轨迹的完备性和纯粹性，即“除伪补缺”
轨迹：
轨迹方程：
检验轨迹：
普洛克拉斯轨迹问题
在一条固定直线上标有三个点，其中两个点沿一个
直角的两条边滑动，问第三个点的轨迹是什么？
o
C
A
B
a
b
x
y
利用解析几何，设∠xoy是直角，建立直角坐标系，
设A，B两点分别在Oy，Ox上滑动，第三个点为
C，并设CA=a，CB=b，AB=c，显然，当点C在AB间时，
C=a+b;当点C在AB外时，c=|a–b|.
再设C点坐标为（x,y），AB与xO所成的角为θ，则
｛
x=acosθ，
y=bsinθ，
∴
+
y2
b2
=
1
x2
a2
∴点C的轨迹为以直角边为对称轴，以为a , b半轴的椭圆.
解：
如图
圆锥曲线与直线的关系
利用△判定圆锥曲线与直线的位置关系：
Ⅰ椭圆：△=0是直线与椭圆只有一个交点的充要条件.
Ⅱ双曲线：△=0或直线平行于渐近线时仅有一个交点.
Ⅲ抛物线：△=0或直线与对称轴平行时仅有一个交点.
Ⅴ当△<0时，直线与圆锥曲线无交点，
Ⅳ当△>0时，直线与圆锥曲线有两个交点.
圆锥曲线弦的中点是圆锥曲线常见题型：
常常用到违达定理，一般地，如果K为弦AB的斜率,点p（x0 , y0 )
为弦AB的中点，则：
椭圆
+
y2
b2
=
1
x2
a2
有：
k=
b2x0
a2y0
双曲线
x2
a2
_
y2
b2
= 1
有：
k=
b2x0
a2y0
抛物线
y2=2px
有：
k=
p
yo
经典习题
1.过（0 ，2）的直线Ｌ与抛物线仅有一个交点，则
满足条件的直线L共有 条.
设直线L为y=kx+2,联立方程得：k2x2+4(k-1)x+4=0,k=0时有一公共点
k≠0时，由△=0得一解；当L垂直x轴时，适合题意，共三解
2.直线y=2x+m与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
有两个交点，
则实数
m的取值范围 .
联立方程组得40x2+36mx+9m2-36=0.由△>0,得
-2√10 < m <2√10
3.不论k为何实数，直线y=ax+b与椭圆 总有
x2
9
+
y2
4
=1
公共点，则实数b的取值范围是 .
x
y
o
b
y=ax+b
运用数形结合思想，由题意，点（o,b )在
椭圆 上或内部.
x2
9
+
y2
4
=1
三
（ 答案 ）
（ 答案 ）
（ 答案 ）
[ - 2, 2 ]
提示：
提示：
提示：
谢谢观赏！
欢迎提出宝贵意见