3.3 垂径定理 课件（共23张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件（共23张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-01 07:27:08 | ||
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文档简介
数学北师大版
九年级
3.3 垂径定理
③AM=BM,
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
条件
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
是轴对称图形，对称轴是CD
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
归纳总结
推导格式：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
∵CD⊥AB，
∴AM ＝ BM，∠AOC ＝ ∠BOC，
∴ ＝ ，
∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
∴ ＝ .
证法二：连接OA，OB， 则OA ＝ OB，
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言叙述定理：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴AM＝BM， ＝ ， ＝ .
知识点一：垂径定理
如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
上图是轴对称图形，对称轴是CD.
AM＝BM
想一想：
求证：平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧.
已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
求证：CD⊥AB， ＝ ， ＝ .
证明：连接OA，OB，则OA＝OB，
∵ AM＝BM ，∴ CD⊥AB ，∠AOC＝∠BOC，
∴ ＝ ，
∵∠AOD ＝ 180°－∠AOC，∠BOD ＝ 180°－∠BOC，
∴ ∠AOD ＝ ∠BOD ∴ ＝ .
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言叙述定理：
垂径定理的逆定理
∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
∴CD⊥AB， ＝ ， ＝ .
已知其中两个条件,就可推出其余三个结论。
如图，在同圆中，如果具备下列条件：
（1）CD是直径；
（2）CD⊥AB；
（3）AM ＝ BM；
（4） ＝ ；
（5） ＝ ，
1.平分弦所对的弧 2.平分弦 (不是直径)3.垂直于弦 4.经过圆心
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.其中
CD＝600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足
为F，EF＝90m.求这段弯路的半径.
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m，
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m），
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
解得：R＝545，
∴这段弯路的半径为545m.
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
┐
练习.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
证明：连接OA、OB、OC、OD，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，
由垂径定理，得：
＝ ， ＝ ,
∴∠AON ＝∠BON，∠CON ＝ ∠DON
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON
即 ∠AOC ＝ ∠BOD
∴ ＝
2.两条弦在圆心的两侧
证明：连接OA、OB、OC、OD，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，
由垂径定理，得：
＝ ， ＝ ,
∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON
∵∠AOM＋∠AOC ＋ ∠CON＝180°
∠BOM ＋ ∠BOD ＋ ∠DON＝180°
∴ ∠AOC＝∠BOD
∴ ＝
圆的两条平行弦所夹的弧相等
1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.
2.垂径定理及推论、圆的对称性.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
课后作业
1.如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米，净高5米,求圆拱形门所在圆的半径是多少米.
2.如图所示，在一直径为8 m的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB,CD.已知C是AB的中点,浮桥CD的长为4 m,设AB,CD交于点P,试求∠APC的度数.
3.如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为0,桥下水面跨度为7.2m,过0作0C⊥AB于点D,交圆弧于点C,CD=2.4 m,现有一-艘宽3 m、船舱顶部为长方体并高出水面AB2m的货船要经过拱桥.问此货船能否顺利地通过这座拱桥?
解:连接0A,ON,设CD交MN于点H,AB=7.2m,CD=2.4m,EF=3m,
且D为AB,EF的中点,0C⊥AB,0C⊥MN,设OA=R,
则OD=0C-DC=R-2.4，
3.6m
在Rt△OAD中,有0A2 =AD2 + 0D2,即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9m.
在Rt△ONH中，
∴FN = DH = OH- 0D=3.6-(3.9-2.4) =2.1m>2m.
∴货船可以顺利通过这座拱桥,但要非常小心。
如图,已知☉O中EF过圆心0,且垂直于弦AD,垂足为点F,B,C两点在直线DE上,且AD平分∠BAC.求证:DE2=BE●CE.
证明:连接AE.∵EF⊥AD,且EF过圆心O
∴EF垂直平分AD.∴AE=DE.∴∠CDA=∠EAD.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵∠ECA=∠CDA+∠CAD, ∠EAB=∠EAD+∠BAD,
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九年级
3.3 垂径定理
③AM=BM,
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
条件
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
是轴对称图形，对称轴是CD
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
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AD =BD.(结论)
归纳总结
推导格式：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
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证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
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O
A
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B
D
∵CD⊥AB，
∴AM ＝ BM，∠AOC ＝ ∠BOC，
∴ ＝ ，
∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
∴ ＝ .
证法二：连接OA，OB， 则OA ＝ OB，
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言叙述定理：
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴AM＝BM， ＝ ， ＝ .
知识点一：垂径定理
如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
上图是轴对称图形，对称轴是CD.
AM＝BM
想一想：
求证：平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧.
已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
求证：CD⊥AB， ＝ ， ＝ .
证明：连接OA，OB，则OA＝OB，
∵ AM＝BM ，∴ CD⊥AB ，∠AOC＝∠BOC，
∴ ＝ ，
∵∠AOD ＝ 180°－∠AOC，∠BOD ＝ 180°－∠BOC，
∴ ∠AOD ＝ ∠BOD ∴ ＝ .
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
几何语言叙述定理：
垂径定理的逆定理
∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
∴CD⊥AB， ＝ ， ＝ .
已知其中两个条件,就可推出其余三个结论。
如图，在同圆中，如果具备下列条件：
（1）CD是直径；
（2）CD⊥AB；
（3）AM ＝ BM；
（4） ＝ ；
（5） ＝ ，
1.平分弦所对的弧 2.平分弦 (不是直径)3.垂直于弦 4.经过圆心
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.其中
CD＝600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足
为F，EF＝90m.求这段弯路的半径.
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m，
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m），
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
解得：R＝545，
∴这段弯路的半径为545m.
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
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A
C
D
B
O
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
┐
练习.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
证明：连接OA、OB、OC、OD，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，
由垂径定理，得：
＝ ， ＝ ,
∴∠AON ＝∠BON，∠CON ＝ ∠DON
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON
即 ∠AOC ＝ ∠BOD
∴ ＝
2.两条弦在圆心的两侧
证明：连接OA、OB、OC、OD，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD，
由垂径定理，得：
＝ ， ＝ ,
∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON
∵∠AOM＋∠AOC ＋ ∠CON＝180°
∠BOM ＋ ∠BOD ＋ ∠DON＝180°
∴ ∠AOC＝∠BOD
∴ ＝
圆的两条平行弦所夹的弧相等
1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.
2.垂径定理及推论、圆的对称性.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
课后作业
1.如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米，净高5米,求圆拱形门所在圆的半径是多少米.
2.如图所示，在一直径为8 m的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB,CD.已知C是AB的中点,浮桥CD的长为4 m,设AB,CD交于点P,试求∠APC的度数.
3.如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为0,桥下水面跨度为7.2m,过0作0C⊥AB于点D,交圆弧于点C,CD=2.4 m,现有一-艘宽3 m、船舱顶部为长方体并高出水面AB2m的货船要经过拱桥.问此货船能否顺利地通过这座拱桥?
解:连接0A,ON,设CD交MN于点H,AB=7.2m,CD=2.4m,EF=3m,
且D为AB,EF的中点,0C⊥AB,0C⊥MN,设OA=R,
则OD=0C-DC=R-2.4，
3.6m
在Rt△OAD中,有0A2 =AD2 + 0D2,即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9m.
在Rt△ONH中，
∴FN = DH = OH- 0D=3.6-(3.9-2.4) =2.1m>2m.
∴货船可以顺利通过这座拱桥,但要非常小心。
如图,已知☉O中EF过圆心0,且垂直于弦AD,垂足为点F,B,C两点在直线DE上,且AD平分∠BAC.求证:DE2=BE●CE.
证明:连接AE.∵EF⊥AD,且EF过圆心O
∴EF垂直平分AD.∴AE=DE.∴∠CDA=∠EAD.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵∠ECA=∠CDA+∠CAD, ∠EAB=∠EAD+∠BAD,
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