3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 课件（共30张PPT）

数学北师大版
九年级
3.4圆周角和圆心角的关系第2课时
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧(等弧)所对的圆周角相等.
3.圆周角定理推论:
相等的圆周角所对的弧相等.
4.在同圆或等圆中,
相等的弦所对的弧不一定相等.（优劣弧的区别）
5.在同圆或等圆中,
●O
B
A
C
D
E
复习巩固
B
C
●O
A
┗
圆周角定理的推论
用于判断某条弦是否是直径
用于构造直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
●O
D
A
B
C
例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD；
理由：如图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC.
又∵AC=AB，∴BD=CD.
例2 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
·
A
B
C
D
O
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
如图A，B，C，D，是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，则∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解析：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90° ∠ABC＝90°
∴ ∠BAD＋ ∠BCD
=360°－90° －90° ＝ 180°
议一议
如图A，B，C，D，是⊙O上的四点，点C的位置发生了变化，则∠BAD与∠BCD的关系还成立吗？为什么？
解析：成立
连结OB，OD
∵ 弧BAD与弧BCD所对的圆心角之和为360°
∴ ∠BAD ＋ ∠BCD ＝ 180°
议一议
四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，
这样的四边形叫做圆内接四边形，
这个圆叫做四边形的外接圆.
读一读
圆内接四边形的性质圆内接四边形对角互补
∠A +∠DCE=180?
∠B +∠D=180?
定理推论：任何一个外角都等于它的内对角。
C
B
A
D
O
E
F
∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°
∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD
对角
外角
内对角
F
E
D
C
B
A
O
2
O
1
例：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF
有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。
此图形是一个考试热门图形。
证明：连接AB，
∠C=∠ABF,
∠ABF+∠D=180? ,
∴∠C+∠D=180? ,
∴CE∥DF
1.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F.若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
练一练
2．如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连结BD.
(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠E，∵∠ADB、∠C都是
所对的圆周角，∴∠ADB＝∠C，
(1)求证：∠ADB＝∠E；
又∠ABC＝∠C，∴∠ADB＝∠E；
(2)求证：AD2＝AC·AE；
2．如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连结BD.
(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？请你利用图②进行探索和证明．
(3)解：点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE.证明：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，又∠DBC所对的是弧DC，∠EAD所对的是弧DB，D是弧BC的中点，∴∠DBC＝∠EAD，∴∠EDB＝∠EAD，又∠DEB＝∠AED，∴△DBE∽△ADE.
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.
课堂小结
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。
A
B
C
O
D
解：连接BC
∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°－15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
方法一：
习题答案
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。
A
B
C
O
D
解：连接OD
∵∠ACD=15°
∴∠AOD=2∠ACD =30°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
方法二：
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数。
A
B
D
O
C
E
F
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
∵∠EDC=∠F+∠A,
∠EBF=∠E+∠A
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∵∠E =40°，∠F =60° ∴∠A=40°
１
２
３
４
.
.
O1
O2
A
B
.
C
P
.
C
P
大小不变的角有：
∠ACB ∠APB
∠BCP ∠CBP
课后作业
1.如图,0A,0B是☉0的半径且0A⊥0B,作0A的垂直平分线交☉0于点C,D,连接CB,AB.求证:∠ABC=2∠CBO.
证明:连接0C,AC.∵CD垂直平分OA,
∴0C=AC,∴0C=AC= OA ,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠AOC= 60°.∴∠ABC= ∠A0C=30°.
2.如图，四边形ABCD内接于☉0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证:∠1 =∠2.
3.如图,已知△ABC内接于☉0,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF// BD.
(1)求证:BE = CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
(1)证明: 易证Rt△ABD≌Rt△ACD,∴∠BAD=∠CAD,
∵AB=AC,∴ BE= CE;
(2)解:四边形BFCD是菱形.
理由:由（1）可知AD是BE的垂直平分线∴BF=CF,BD=CD.
在△BED和△CEF中∠FCE=LDBE,BE=CE,∠BED=∠CEF =90°,
∴CF = BD,∴BF=CF=BD=CD∴四边形BFCD是菱形;
(三线合一)
∴△BED≌△CEF,
3.如图,已知△ABC内接于☉0,且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF// BD.
(1)求证:BE = CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
4.正方形ABCD内接于☉0,如图所示，在劣弧AB_上取一点E,连接DE, BE,过点D作DF//BE交☉0于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2 )DG = BE.
4.正方形ABCD内接于☉0,如图所示，在劣弧AB_上取一点E,连接DE, BE,过点D作DF//BE交☉0于点F,连接BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证:(1)四边形EBFD是矩形;(2 )DG = BE.
5.如图,AB是半圆的直径，∠ABC的平分线交半圆于点D,AD和BC的延长线交于圆外一点E,连接CD.(1)求证:△EDC是等腰三角形;
(2)若AB=5,BC=3，求四边形ABCD的面积.
(1)证明∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB =∠ACB =90°.
∵∠ABC的平分线交半圆于点D,
∴BA=BE,AD=ED,
∴CD为RT?ACE斜边上的中线，
5.如图,AB是半圆的直径，∠ABC的平分线交半圆于点D,AD和BC的延长线交于圆外一点E,连接CD.(1)求证:△EDC是等腰三角形;
(2)若AB=5,BC=3，求四边形ABCD的面积.
6.如图,在Rt△ABC中，∠ABC =90°，点M是AC的中点,以AB为直径作☉0分别交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= （ ） ;②连接OD,OE,当∠A的度数为（ ）时, 四边形ODME是菱形.
60°
2
谢谢
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