3.9 弧长及扇形的面积 课件（共30张PPT）

数学北师大版
九年级
3.9 弧长及扇形的面积
情景导入
如图，某传送带的一个转动伦的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
n°圆心角所对的弧长
合作探究
∵圆的周长是C=2πR它所对的中心角是360?
那么1°的圆心角所对弧长
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
(
练习.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，☉O的半径为4，∠B=135°，则弧AC的长为_________.
2π
上面图形BAC是扇形吗？
.o
A
B
C
r
B
A
C
.
B
C
A
√
×
×
半径为R的圆的面积S=πR2 ，由于圆所对的中心角是360?，
那么中心角是n?的扇形的面积应是
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
例1 如图，已知圆O的半径12cm,圆心角∠AOB=120o,求AB的长(结果精确到0.1cm2)和扇形OAB的面积(结果精确到0.1cm2).
(
解：AB=
(
为什么这二种解法会产生答案不同，主要是弧长计算时已经是约数了，如果要用第二种解法，弧长要么写成分数，要么多精确一位。
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
O .
B
A
C
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60?, ∠AOB=120?.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - S ΔOAB
┑
D
例2变式.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
O
O
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
1. (2018·广东)如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．(结果保留π)
割补思想
S阴=S?BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)
=π
2.将△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC',使A、B、C'在同一直线上,∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB =4 cm,则图2中阴影部分面积为__________cm2
S阴=S△A′BC′+S扇形A′BA-
S扇形BCC′-S△ABC=S扇形A′BA-
S扇形BCC′=4π
弧长
扇形
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
本课小结
课后作业
1．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，求曲线CDEF的长．
解析：连接OB、OC，
∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.
在等腰△OBC中，
∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.
∴BC的长为 ＝2π(cm)．
故答案为2π.
2.如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm.
︵
︵
2π
3．(淮安中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵OB＝OD，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，AO=DO，OE＝OE(∠1＝∠2)，∴△AOE≌△DOE，∴∠ODE＝∠OAE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；　
解：(1)直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，
3．(淮安中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．
4．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF. (1)求证：OF∥BC； (2)求证：△AFO≌△CEB； (3)若EB＝5cm，CD＝10 cm，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．
(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
又OF⊥AC，∴CB∥OF；　
(2)证明：在△CEB和△AFO中，BE＝OF，
∠B＝∠AOF，∠CEB＝∠AFO＝90°，∴△AFO≌△CEB；　
4．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF. (1)求证：OF∥BC； (2)求证：△AFO≌△CEB； (3)若EB＝5cm，CD＝10 cm，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．
5. (2018·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为(BB′)，则图中阴影部分的面积为 ．
︵
6. (2018·江西)图①是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图②是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120 cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60 m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．(所有的结果保留小数点后一位)(1)若∠OBC＝50°，求AC的长；
(2)当点C从点A向右运动60 cm时，求点O在此过程中运动的路径长．(参考数据：sin50°≈0.77.cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14)
7.如图,在正方形ABCD中,AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG,连接EF, CG.(1)求证:EF // CG;
(2)求点C,点A在旋转过程中形成的
AC,AG与线段CG所围成的阴影部分的面积.
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