2012年中考数学高分全攻略专题(12份打包)

专题9——动态几何问题
【备考点睛】
动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中。
动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。
【经典例题】
类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。
例题1 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
解答：
（1）①∵秒，∴厘米，
∵厘米，点为的中点，∴厘米．
又∵厘米，∴厘米，
∴．
又∵，∴，∴．
②∵， ∴，
又∵，，
则，
∴点，点运动的时间秒
，∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
例题2 如图，在梯形中， 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．
解答：
（1） 如图①，过、分别作于，于，
则四边形是矩形
∴在中，
，
在中，由勾股定理得，
∴
（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵∴∴∴
由题意知，当、运动到秒时，
∵∴又
∴∴即解得，
（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴
②当时，如图④，过作于
解法一：由等腰三角形三线合一性质得
在中，又在中，
∴解得
解法二：∵∴
∴即∴
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：（方法同②中解法一）
解得
解法二：
∵∴
∴即∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形
例题3 (湖北武汉) 如图，拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B；
(1) 求此拋物线的解析式；
(2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别
与拋物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H。
问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的
数量关系；若不能，请说明理由。
解答： (1) ∵拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，
∴，∴a= ，b=，
∴拋物线的解析式为y1= x2x。
(2) 作MNAB，垂足为N。由y1= x2x易得M(1，2)，
N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，
MBN=45。根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2。
∴(2)222=PM2= (1x)2…，又MPQ=45=MBP，
∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQMB=y22…。
由、得y2=x2x。∵0x<3，
∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)。
(3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是
mn=2(0m2，且m1)。∵点E、G是抛物线y1= x2x
分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为 E(m，m2m)，G(n，n2n)。同理，点F、H坐标为F(m，m2m)，H(n，n2n)。
∴EF=m2m(m2m)=m22m1，GH=n2n(n2n)=n22n1。
EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m22m1=n22n1，∴(mn2)(mn)=0。
由题意知mn，∴mn=2 (0m2，且m1)。
因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是mn=2 (0m2，且m1)。
例题4 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形 如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
解答：
（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P与点N重合时，
（舍去）．
因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．
所以符合题意．
②当点Q与点M重合时，
．此时，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．
所以所求x的值为．
（2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，由，
解得．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．
②当点P在点N的右侧时，由，
解得．
当x=4时四边形NQMP是平行四边形．
所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．
由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，
即．解得．
由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
类型二、根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题
例题5 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解答：
（1）过点作，垂足为．则，
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，
四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．
，
（2）当时，
当时，
当时，
点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。
例题6（湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为
直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究
是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
解答：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．∴，．此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．∴．即，∴．
（2）∵为锐角，故有两种情况：
①当时，点P与点E重合．
此时，即，∴．
②当时，如图，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．
由（1）知，，
而，
∴． ∴．综上所述，或．
（3）为定值．当＞2时，如图，．
由（1）得，．
∴． ∴．
∴． ∴．
∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．
∴△CRQ∽△CAB．
∴．
【技巧提炼】
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。
具体做法是：
全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系；
应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；
在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。
另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。
【体验中考】
1.（中考预测）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；
（2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；
（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
2．（中考预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线：y=x+b与抛物线交于A、C两点，与y轴交于点Q．
(1) 求Q、C 两点的坐标.
(2) 点G是抛物线上的动点，在抛物线上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出F点坐标，若不存在，说明理由。
（连年出现平行四边形存在性的判断问题，但总是有两个点在坐标轴上，预测会出现没有两个点在同一坐标轴上的问题）
3. （中考预测） 如图，已知直线与直线相交于点C，、分别交轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线、上，顶点都在轴上，且点与点重合．
（1）求的面积；
（2）求矩形的边与的长；
（3）若矩形从点B出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
4. （中考预测） 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
求直线AB的解析式；
当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
5. （中考预测） 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边．
（1）求直线的解析式；
（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；
（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．
6．（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为
半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．
7．（2010 河北） 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
8．（2010云南楚雄）已知：如图，⊙与轴交于C、D两点，圆心的坐标为（1，0），⊙的半径为，过点C作⊙的切线交于点B（－4，0）．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点的坐标；
（3）向左移动⊙（圆心始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：
1. 【答案】（1）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为.
（2）如图②，折叠后点落在
边上的点为,则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为.
（3）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得.
在中，
设，则.
由（2）的结论，得，
解得.
点的坐标为.
2.【答案】
(1) 令，解得，
∴A点坐标为（-1,0），代入直线：y=-x+b得直线的解析式为y=-x-1
∴ Q点坐标为（0,-1）
解方程 得，，从而C点坐标为（2,-3）
(2) 设抛物线上点F的坐标为（）
若以QC为对角线，则G点坐标为（），
∵ 点G在抛物线上，∴，解得
若以FQ为对角线，则G点坐标为（），
∵ 点G在抛物线上，∴，解得
若以CF为对角线，则G点坐标为（），
∵ 点G在抛物线上，∴，解得
∴F点坐标为五个：、、、、
3. 【答案】（1∵A(-4,0) B(8,0) C(5,6)
∴
（2）B(8,0) D(8,8)
（3）当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形
（时，为四边形）．过作于，则
∴即∴
AF=8-t
∴
即
∴
∴
即
②当时，如图2，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形QFGR(t=8时，为△ARG),则AF=8-t , AG=12-t 由Rt△AFQ∽Rt△AGR∽Rt△AMC得
, 即 ，
∴ ,
∴==
③ 当时，如图3，其重叠部分为△AGR，则AG=12-t ,
∴
4. 【答案】
（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　
由题意，得 解得
所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．
（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10
所以AP＝t ，AQ＝10－2t
1) 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以　＝ 　解得　t＝(秒)
2) 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以　＝ 　解得　t＝(秒)
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　
在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8 －t
S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)＝－＋4t＝
解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
5.【答案】（1）直线的解析式为：．
（2）方法一，，，，
， ，
是等边三角形，，
，．
方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，
可求得，
，
，
当点与点重合时，
，
．
，
．
（3）①当时，见图2．
设交于点，
重叠部分为直角梯形，
作于．
，，
，
，
，
，
，
，
．
随的增大而增大，
当时，．
②当时，见图3．
设交于点，
交于点，交于点，
重叠部分为五边形．
方法一，作于，，
，
，
．
方法二，由题意可得，，，，
再计算
，
．
，当时，有最大值，．
③当时，，即与重合，
设交于点，交于点，重叠部
分为等腰梯形，见图4．
，
综上所述：当时，；
当时，；
当时，．
，
的最大值是．
6．【答案】⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°
∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;
∴OH＝，∴P﹙，﹚
⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，
∵OB＝，∠BOC＝30°
∴BC＝
∴PC
由，得 ﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．
当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，
PC
由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．
综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．
7．【答案】（1）y = 2t；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴．
∵AB = ，∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 ．PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，
过点P作PH⊥AD于点H，则HP = ，AH = 1．
在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图．
此时△EPQ与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．
（3）能．4≤t≤5．
8．【答案】（1）连接，∵是⊙A的切线，∴．
∴．
∵，∴，∴．
∴△∽△，∴．
即，∴．∴点坐标是（0，2）．
设直线的解析式为，∵该直线经过点B（－4，0）与点（0，2），
∴ 解得
∴该直线解析式为．
（2）连接，过点作．
由切线长定理知
．
在中，∵，
∴．
在中，由勾股定理得
．
∴ ．
又∵．
∴∽，∴，
∴．
则是点的纵坐标，
∴，解得．
∴点的坐标．
(3)如图示，
当在点的右侧时
∵、在⊙上，∴．
若△是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．
过点作，在中由三角函数可知
．
又∵∽ ，
∴ ，
∴．
∴，
∴点 坐标是．
当在点的左侧时：同理可求点 坐标是．
A
Q
C
D
B
P
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
P
M
Q
A
B
O
y
x
P
M
Q
A
B
O
y
x
N
O
E
F
G
H
x
y
Q
A
B
C
D
l
M
P
E
A
B
C
D
Q
P
E
l
M
A
B
C
D
M
Q
R
F
P
x
y
B
O
A
x
y
B
O
A
x
y
B
O
A
A
D
B
E
O
C
F
x
y
（G）
（图1）
（图2）
x
y
B
O
A
D
C
图①
x
y
B
O
B′
D
C
图②
x
y
B
O
B′
D
C
图③
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
（图3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图1）
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图2）
R
M
（）
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
图1
图2
图3
A
D
C
B
P
M
Q
E
A
D
C
B
P
M
Q
E
F
H
G
PAGE
1专题6——综合型问题
【备考点睛】
综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法 、知识以解决问题，涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆；涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等；要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力．
学生做好以下两项工作，解决综合型问题的水平将有较大提高：①全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能，熟练掌握重点、热点知识及重要的数学思想、方法，注重归纳整理形成整体，防止知识出现断链。②适度进行综合性训练并善于总结解题体会，对知识形成发散、迁移及应用能力，提高解题技能，体会数学思想与方法的运用，形成解题策略，如运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题，借助几何直观去分析、推理等．
【经典例题】
类型一、以几何图形为背景的综合题
例题1 （2010四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。
（1）求∠CPQ的度数。
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。
解答：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90°
∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD＝= ∴∠CBD=60°
∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°
（2）如题图（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ
∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP
∵CP=x ∴RP=x ,PB=2-x.
∴在△RPB中，有2（2-x）= x ∴x=
（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图），﹤x﹤2
在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）
∴RP=CP=x ∴ER=RF-PF=3x-4
在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=x-4
∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8
又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=
∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF ∴当﹤x﹤2时，
函数的解析式为y=-（-12x+8）
=-+12x-8 （﹤x﹤2）
∵y=-+12x-8 =-(x-2)+4
∴当﹤x﹤2时，y随x的增大而增大
∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4
例题2 （2010 山东东营） 如图，在锐角三角形ABC中，，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.
当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE = x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
解答：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），
过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,
∴，
而AN=AM－MN=AM－DE，∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC
与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,分
即，而AN=AM－MN=AM－EP,
∴，解得.
所以, 即.
由题意，x>4.8，x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当时，因为，所以当时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
例题3 （2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　 　°，猜想∠QFC= °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．
解答： （1） 30°
　　 = 60
不妨设BP＞, 如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF
∴=60°
　　　　 (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G
　　　 ∵△ABE是等边三角形 　　∴BE=AB=，由（1）得30°
在Rt△BGF中， ∴BF=
∴EF=2 　　　 ∵△ABP≌△AEQ
∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF
　　　过点Q作QH⊥BC，垂足为H
在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：
例题4 （2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△的边上（点除外）存在点，使得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图(2)，现有，其两边分别与， 交于点，，连接．将绕着 点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上．试判断在这一过程中，△的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
解答：（1）过点作于点．（如图①）
∵，，
∴．
∵，， ∴．
在Rt中，．
（ⅰ）当时，,,；
过点作于点．（如图①）
在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ．
（ⅱ）当时，（如图②）
，．
∵，，∴．
∴．
即．
故当时，，当时，．
（2）或或或．
（3）的周长不发生变化．
延长至点，使，连结．（如图③）
∵，
∴≌．
∴，．
∴．
∴．
又∵．
∴≌．∴．
∴．
∴的周长不变，其周长为4．
类型二、以函数图像为背景的综合题
例题5 （2010甘肃兰州） 如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1 图2
解答： （1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4.
（2）① 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8.
由已知条件易得，当时，OA=AP=，
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴ 当时，点P不在直线ME上.
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t)
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S= (CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3
当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1,3）
当t=2时，此时N点的坐标（2,4）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.
例题6 （2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
解答：
（1）设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），
∴
.∴.
∴抛物线为.
(2) 答：与⊙相交.
证明：当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交.
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.分
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）.
例题7 （2010 四川成都）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
解答：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将 代入，得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，解得
∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，∴
当时，得，即，解得，∴，。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。
（Ⅱ）设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解。
由，得，即，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
例题8 （2010湖南常德）如图, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
解答：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
　　　　　　　解得：　
　　　　故所求二次函数的解析式为．
（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴
∵EF//AC, ∴,
∴△BEF～△BAC,
∴得
故E点的坐标为(,0).
　　　（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有　解得：
故直线的解析式为．
若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：
　　　　　　　＝
＝
即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有:
　　　
　 ＝
　 ＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）
【技巧提炼】
解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。
1、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想
纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想
直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
3、 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想
分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
4、 综合多个知识点，运用等价转换思想
任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。
【体验中考】
1．（2010 福建德化）已知：如图，点是正方形的对角线上的一个动点(、除外)，作于点，作于点，设正方形的边长为，矩形的周长为，在下列图象中，大致表示与之间的函数关系的是（ ）.
2．（2010 四川南充）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）．
（A）
（B）若MN与⊙O相切，则
（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
（D）l1和l2的距离为2
3．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（ ）
A．　　　B．　　C．4　　　D．6
4．（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNKM运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（ ）。
5．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
6．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
7．（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．
8．（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
9．（2010江苏扬州）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）
(2) 在二次函数的图象上存在点P，使
设则，
又,
∴
∵二次函数的最小值为-4，∴.
当时，.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）
（3）如图1，当直线经过A点时，可得
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为
6．【答案】
（1）点C的坐标是（4，0）；
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：
解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2．
（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．
③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（-t），解得t=．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）．
7．【答案】（1）D点的坐标是.
（2）连结OD,如图（1），
由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF
∴，即：
∴y与x的解析式为：
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
当EF=AF时，如图（2）.
∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴（也可用）
②当EF=AE时，如图（3），
此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或
8．【答案】（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．
∴，．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．
∴．
即，∴．
（2）∵为锐角，故有两种情况：
①当时，点P与点E重合．
此时，即，∴．
②当时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．
由（1）知，，
而，
∴． ∴．
综上所述，或．
（3）为定值．
当＞2时，如备用图2，
．
由（1）得，．
∴． ∴．
∴． ∴．
∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．
∴△CRQ∽△CAB．
∴．
9．【答案】（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=
（2）①当0＜x≤时
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
当＜x≤5时
易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）
∴y=·x·（5—x）=≤
②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.
y=≤,即当x=时，y最大值为
当＜x≤5时，
∵
∴当时，y的最大值为
∵＜
∴当时，y的最大值为
（3）假设存在
当0＜x≤5时，AF=6—x
∴0＜6—x＜3
∴3＜x＜6
∴3＜x≤5
作FG⊥AB与点G
由△AFG∽△ACD可得
∴，即FG=
∴x·=
∴=3，即2x2-12x+5=0
解之得x1=，x2=
∵3＜x1≤5
∴x1=符合题意
∵x2=＜3
∴x2不合题意，应舍去
∴存在这样的直线EF，此时，x=
B
A
D
E
F
G
C
M
N
B
A
D
E
F
G
C
M
B
A
D
E
F
G
C
N
P
Q
(0< x≤4.8)
图1
A
C
B
E
Q
F
P
图2
A
B
E
Q
P
F
C
图1
A
C
B
E
Q
F
P
x
y
0
A
x
y
0
D
x
y
0
B
y
x
0
C
P
D
A
B
C
C
E
F
l1
l2
A
B
M
N
O
1
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q
A
B
C
D
l
M
P
E
Q
A
B
C
D
l
M
P
E
F
A
B
C
D
（备用图1）
Q
P
E
l
M
A
B
C
D
（备用图2）
M
Q
R
F
P
PAGE
1专题4——信息型问题
【备考点睛】
图表信息类试题是题设条件或结论中包含有图表的试题，这类试题的解题条件主要靠图表给出。它主要表现在数轴、直角坐标系、点的坐标、一次函数、二次函数、反比例函数的图像、实用统计图及部分几何图形等，所提供的形状特征、位置特征、变化趋势等数学基础知识，很好地考查了观察问题、分析问题、解决问题的能力。跨学科型是综合利用各个学科的特点，和数学有关知识有机结合在一起。这类试题是近几年考试的常见试题，信息型试题也是考试的热点问题。
【经典例题】
例题1．（2010浙江宁波）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米. 小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为 ▲ 分钟，小聪返回学校的速度为 ▲ 千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米
解答： (1)15，　
(2)由图象可知，是的正比例函数
设所求函数的解析式为
代入(45，4)得: ，
解得:
∴s与t的函数关系式为 ()
(3) 由图象可知，小聪在的时段内，是的
一次函数，设函数解析式为，
代入(30，4)，(45，0)得:
解得:
∴
令，解得
当时， ，
答: 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.
例题2．（2010湖北咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为、（km），、与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
解答：（1）120，；
（2）由点（3，90）求得，．
当＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）
求得，．
当时，，解得，．
此时．所以点P的坐标为（1，30）
该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，
此时两船离B港的距离为30 km．
求点P的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为（km/h），乙的速度为（km/h）．
则甲追上乙所用的时间为（h）．此时乙船行驶的路程为（km）．
所以点P的坐标为（1，30）．
（3）①当≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，．
依题意，≤10． 解得，≥．不合题意．
②当0.5＜≤1时，依题意，≤10．
解得，≥．所以≤≤1．
③当＞1时，依题意，≤10．
解得，≤．所以1＜≤．
综上所述，当≤≤时，甲、乙两船可以相互望见．
例题3．（2010广西河池）李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图9所示.根据图象，解答下列问题：
（1）求李明上坡时所走的路程（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式和下坡时所走的路程（米）与时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟？
解答：（1）设
∵ 图象经过点 ∴ 900
解方程，得 ∴
设
∵图象经过点,
∴
解这个方程组，得
∴
（2）李明返回时所用时间为
（分钟）
答: 李明返回时所用时间为11分钟.
例题4．（2010山东临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，、两地相距10千米，甲班从地出发匀速步行到地，乙班从地出发匀速步行到地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离地的距离分别为千米、千米，、与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出、与的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离地多少千米？
（3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时
解答：（1）y1=4x（0≤x≤2.5）,y2=-5x+10（0≤x≤2）
（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,
解这个方程，得x=（小时）。
当x=时，y2=--5×+10=（千米）.
（3）根据题意，得y2 -y1=4.
即-5x+10-4x=4.
解这个方程，得x=（小时）。
答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是小时。
【技巧提炼】
在解决信息问题时要注意以下几点：①细读图表：首先要注重整体阅读：先对材料及图表资料等有一个整体的了解，把握大体方向,搜索有效信息；其次重视数据变化：数据的变化往往说明了某些特征，这个特征正是解题的突破口；最后关注图表细节：图表细节起提示作用，如图表下的“注”“数字单位”等。②审清要求：扣住问题的角度，抓住题目在字数句数限制、比较对象、变化情况上的要求。③准确表达：正确分析图表中所列对象的相互联系，探索规律，归纳结论。在表述时要对具体的数据分析比较，全面客观地反映图表包含的信息，特别要注意题目中的特殊限制。
在处理跨学科问题时，需要注意以下几点：①抓住该学科知识点，搞清题意；②找出与数学学科的内在联系；③进行合情推理、演算、得出结论。
【体验中考】
1. （2011预测）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．
（2）求甲船在逆流中行驶的路程．
（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式．
（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．
【参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度＋水流速度，
船逆流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度．】
2． A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．
3．小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．
(1)　小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？
(2)　下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：
①　小刚到家的时间是下午几时？
②　小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．
4. 某果品基地用汽车装运A、B、C三种不同品牌的水果到外地销售，按规定每辆汽车只能装同种水果，且必须装满，其中A、B、C三种水果的重量及利润按下表提供信息：
水果品牌 A B C
每辆汽车载重量（吨） 2．2 2．1 2
每吨水果可获利润（百元） 6 8 5
（1）若用7辆汽车装运A、C两种水果共15吨到甲地销售，如何安排汽车装运A、C两种水果？
（2）计划用20辆汽车装运A、B、C三种不同水果共42吨到乙地销售（每种水果不少于2车），请你设计一种装运方案，可使果品基地获得最大利润，并求出最大利润.
5．某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.
　　（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；
（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.
图a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图b
6．某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
(1) 请在下图中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象
(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
7．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
8．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．
（1）求a的值．
（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．
（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？
9．我国青海省玉树地区发生强烈地震以后，国家立即启动救灾预案，积极展开向灾区运送救灾物资和对伤员的救治工作．已知西宁机场和玉树机场相距800千米，甲、乙两机沿同一航线各自从西宁、玉树出发，相向而行．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两机离玉树机场的距离S（百千米）和所用去的时间t（小时）之间的函数关系的图象（注：为了方便计算，将平面直角坐标系中距离S的单位定为（百千米））．观察图象回答下列问题：
（1）乙机在甲机出发后几小时，才从玉树机场出发？甲、乙两机的飞行速度每小时各为多少千米？
（2）求甲、乙两机各自的S与t的函数关系式；
（3）甲、乙两机相遇时，乙机飞行了几小时？离西宁机场多少千米？
10. 为响应环保组织提出的“低碳生活”的号召，李明决定不开汽车而改骑自行车上班．有一天，李明骑自行车从家里到工厂上班，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间，车修好后继续骑行，直至到达工厂（假设在骑自行车过程中匀速行驶）．李明离家的距离y（米）与离家时间x（分钟）的关系表示如下图：
（1）李明从家出发到出现故障时的速度为 米／分钟；
（2）李明修车用时 分钟；
（3）求线段BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
11.张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升；
（2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式；
（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．
12.一方有难，八方支援。2010年4月14日青海玉树发生地震，全国各地积极运送物质支援灾区。现有甲、乙两车要从M地沿同一公路运输救援物资往玉树灾区的N地，乙车比甲车先行1小时，设甲车和乙车之间的路程为y（km）,甲车行驶时间为t(h),y(km)与t(h)之间函数关系的图象如图所示，结合图象解答下列问题（假设甲，乙两车的速度始终保持不变）：
（1）乙车的速度是 km／h;
(2)求甲车的速度和a的值。
13.因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式予以支援.下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：
（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？
（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？
（3）求直线AD的函数解析式．
答案：
1. 【详解】：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h．
（2）甲船在逆流中行驶的路程为(km)．
（3）方法一：
设甲船顺流的速度为km/h，
由图象得．
解得a9．
当0≤x≤2时，．
当2≤x≤2.5时，设．
把，代入，得．
∴．
当2.5≤x≤3.5时，设．
把，代入，得．
∴．
方法二：
设甲船顺流的速度为km/h，
由图象得．
解得a9．
当0≤x≤2时，．
令，则．
当2≤x≤2.5时，．
即．
令，则．
当2.5≤x≤3.5时，．
．
（4）水流速度为(km/h)．
设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．
根据题意，得．
解得．
．
即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5 km．
2.【详解】：（1）①当0≤≤6时，
；
②当6＜≤14时，
设，
∵图象过（6，600），（14，0）两点，
∴ 解得
∴．
∴
（2）当时，，
（千米/小时）．
3.【详解】：(1)　小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=(米)，
所以小刚上学的步行速度是120×=80(米/分)．
小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)．
少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．
(2)　①　(分钟)，
所以小刚到家的时间是下午5：00．
②　小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）．
线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 ，
即线段CD所在直线的函数解析式是．
(线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：
点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）
设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得
解得　
所以线段CD所在直线的函数解析式是)
4.【详解】：（1）设安排x辆汽车装运A种水果，则安排（7-x）辆汽车装运C种水果.
根据题意得，2.2x +2（7-x）=15
解得，x=5，∴7-x=2
答：安排5辆汽车装运A种水果，安排2辆汽车装运C种水果。
（2）设安排m辆汽车装运A种水果，安排n辆汽车装运B种水果，则安排（20-m-n）辆装运C种水果。根据题意得，2.2m+2.1n+2（20-m-n）= 42
∴n =20-2m
又∵∴ ∴ （m是整数）
设此次装运所获的利润为w，则w=6×2.2m +8×2.1n +5×2×（20-m-n）=－10.4m＋336…
∵-10.4＜0， ∴W随m的增大而减小，
∴当m=2时，W=315.2（百元）=31520（元）
即，各用2辆车装运A、C种水果，用16辆车装运B种水果使果品基地获得最大利润，最大利润为31520元.
5．【详解】：（1）
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）
（3）
(4)　相等的关系
6．【详解】：（1）图象如图；
（2）4次；
（3）如图，设直线的解析式为，
∵图象过，，
．①
设直线的解析式为，∵图象过，，
．②
解由①，②组成的方程组得
最后一次相遇时距离地的路程为100km，货车从地出发8小时．
7．【详解】：（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，
将（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，
所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，当x＝0时，
y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：
，解得：，所以快车的速度为80千米/时，
所以．
（3）如图所示．
8．【详解】：（1）由图象知，，所以；
（2）设BC的解析式为，则把（40，320）和（104，0）代入，得，解得，因此，当时，，即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人；
（3）设同时开放个窗口，则由题知，解得，因为为整数，所以，即至少需要同时开放6个售票窗口。
9．【详解】：（１）由图像可知乙机在甲机出发后1小时才从玉树机场出发；
甲机的速度＝＝160千米每小时，乙机的速度＝＝200千米每小时；
（2）设甲机的函数关系式为S甲=k1t+b1，
因图像过点A（0，8）和点B（5，0）
将两点坐标代入可得
解得，
得甲机的函数关系为S甲=t+8；
设乙机的函数关系式为S乙=k2t+b2，
因图像过点C（1，0）和点D（5，8）
将两点坐标代入可得
解得
得乙机的函数关系式为S乙=2t－2；
（3）由解得
所以两机相遇时，乙飞机飞行了小时；
乙飞机离西宁机场为8－=千米。
10.【详解】：（1）200
（2）5
（3）设线段BC解析式为：y=kx+b,
依题意得：
解得：k=200,b=﹣1000
所以解析式为y=200x﹣1000
11.【详解】：（1）3，31．
（2）设与的函数关系式是，
根据题意，得：
解得：
因此，加油前油箱剩油量与行驶时间的函数关系式是：．
（3）由图可知汽车每小时用油（升），
所以汽车要准备油(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用．
12.【详解】：
13.【详解】：（1）甲水库每天的放水量为(3000－1000)÷5＝400（万米3/天）
（2）甲水库输出的水第10天时开始注入乙水库
设直线AB的解析式为：y＝kx＋b
∵B(0,800)，C(5,550)
∴k＝－50 b＝800
∴直线AB的解析式为：yAB＝－50x＋800
当x＝10时，y＝300
∴此时乙水库的蓄水量为300（万米3）
（3）∵甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计
∴乙水库的进水时间为5天
∵乙水库15天后的蓄水量为：300＋(3000－1000) －50×5＝2050(万米3) A(0,300)，D(15,2050)
设直线AB的解析式为： y＝k1x＋b1
∴k1＝350 b1＝－3200
∴直线AD的解析式为：yAD＝350x－3200
O
y/km
90
30
a
0.5
3
P
甲
乙
x/h
x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
t(分)
O
s(米)
A
B
C
D
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
-21
50
100
150
200
O
-50
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
t（时）
y（百千米）
A
B
C
D
(5,8)
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
50
100
150
200
O
F
G
C
E
D专题11——阅读理解问题
【备考点睛】
阅读理解类问题是近几年中考出现的新题型。通过阅读，学习新的知识，感悟数学思想和方法，形成科学的思维方式与思维策略。它能较好地体现知识的形成过程，解决数学问题的猜想与探索过程，要求正确掌握命题，对其本质作描述性的回答或进行判断概括及迁移发展。
试题结构分为两部分：首先提供一定的阅读材料,材料既可选用与教材知识相关的内容，也可广泛选用课外知识，或介绍一个概念,或给出一种解法，或研究一个问题等,然后在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决实际问题．
初中数学阅读理解题大致可分四类：纯文型（全部用文字展示条件和问题）、图文型（用文字和图形结合展示条件和问题）、表文型（用文字和表格结合展示条件和问题）、改错型（条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正）。
中考数学的阅读理解题能较好地考查学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力，决策判断能力，因而一直是近年来乃至今后全国各地中考命题的热点。
【经典例题】
类型一 方法型阅读
例题1．（2010广东东莞）阅读下列材料：
1×2＝（1×2×3－0×1×2），
2×3＝（2×3×4－1×2×3），
3×4＝（3×4×5－2×3×4），
由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下各题：
⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；
⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）＝ ；
⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝ ．
解答：⑴1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11
＝×（1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3…＋10×11×12－9×10×11）
＝×10×11×12
＝440
⑵1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×（n＋1）
＝×[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋…
＋]
＝
⑶1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9
＝×[1×2×3×4－0×1×2×3×4＋2×3×4×5－1×2×3×4＋…＋7×8×9×10－6×7×8×9]
＝×7×8×9×10
＝1260
类型二 信息型阅读
例题2．（2010四川内江）阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）.
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为　　　　；
（2）另取两点B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为　　　　　，　　　　　;
拓展延伸：
（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.
解答：设A、P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且为正整数).
（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，
∴x＝＝1，y＝＝1，
∴A（1，1）.
（2）∵点P3与P2关于点B成中心对称，且B(－1.6，2.1),
∴＝－1.6，＝2.1，
解得x3＝－5.2，y3＝1.2，
∴P3(－5.2，1.2).
∵点P4与P3关于点C成中心对称，且C(－1，0),
∴＝－1，＝0，
解得x4＝3.2，y4＝－1.2，
∴P4(3.2，－1.2) .
同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3).
（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3) …
∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，
∵2012÷6＝335，
∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012 (2，3);
在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为
（－3－1,0），（2,0），（3－1,0），（5,0）.
例题3．（2010江苏 镇江）深化理解
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为
即：当n为非负整数时，如果
如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①= （为圆周率）；
②如果的取值范围为 ；
（2）①当；
②举例说明不恒成立；
（3）求满足的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y为整数的个数记为的个数记为b. 求证：
解答：（1）①3；（1分）②；
（2）①证明：
[法一]设为非负整数；
为非负整数，
[法二]设为其小数部分.
②举反例：
不一定成立.
（3）[法一]作的图象，如图
[法二]
（4）为整数，
当的增大而增大，
， ①
② （8分）
则 ③
比较①，②，③得：
类型三、模仿型阅读
例题4．（2010内蒙赤峰）关于三角函数有如下的公式：
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
解答：过点D作DE⊥于E,依题意,在Rt△ADE中,∠ADE=∠α=60.,
AE=ED·tan60=BC·tan60=42.
在Rt△ACB中,∠ACB=∠β=75..AB=BC·tan75
∵tan75=tan(45+30)===2+
∴AB=42×(2+)=84+42
CD=BE=AB－AE=84+42－42=84(米)
答:建筑物CD的高为84米.
【技巧提炼】
解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答。无论哪种类型，其解题步骤一般都可分为以下几步：
1、快速阅读，把握大意。 在阅读时不仅要特别留心短文中的事件情景、具体数据、关键语句等细节，还要注意问题的提出方式。据此估计是我们平常练习时的哪种类型，会涉及到哪些知识，一般是如何解决的，在头脑中建立初步印象。
2、仔细阅读，提炼信息。 在阅读过程中不仅要注意各个关键数据，还要注意各数据的内在联系、标明单位，特别是一些特殊条件（如附加公式），以简明的方式列出各量的关系，提炼信息，读“薄”题目，同时还要能回到原题中去。
3、总结信息，建立数模。 根据前面提炼的信息分析，通过文中关键词、句的提示作用，选用恰当的数学模型，例如由“大于、超过、不足……”等联想到建立不等式，由“恰好……，等于……”联想到建立方程，由“求哪种方案更经济……”联想到运用分类讨论方法解决问题，由“求出……和……的函数关系式或求最大值（最小值）”联想到建立函数关系，将题中的各种已知量用数学符号准确地反映出其内在联系。
4、解决数模，回顾检查。 在建立好数学模型后，不要急于解决问题，而应回过头来重新审题，一是看看哪些数据、关系还没有用上，用得是否准确，要充分挖掘题中的条件并发挥它们的作用；二是关键词句的理解是否准确、到位；三是判断所列关系式是否符合生活经验；四是在解题过程中要善于反思，发现问题及时纠正。
【体验中考】
1．（2010广东广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
2．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
A．向上平移１个单位 　B．向下平移１个单位
C．向左平移１个单位 D．向右平移１个单位
3．（2010山东临沂） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文.例如，明文对应密文.当接收方收到密文时，则解密得到的明文为 .
4．（2010 广东珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数
（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,
(1011)2换算成十进制数应为：
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.
5．（2010 山东荷泽）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（）进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1,例如把（3，－2）放入其中，就会得到32＋（－2）－1＝6．现将实数对（－2，－3）放入其中，得到实数是 ．
6．（2010贵州铜仁）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy－1，则(2@3)@4＝__ __．
7．（2010广东湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣ ，所以cos210°=cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣ ，因为cos45°= ，cos225°＝﹣ ，所以cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣ ，猜想：一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值等于 .
8．（2010湖南娄底）阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2= －，x1x2=
根据上述材料填空：
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则 +=_________.
9．（2010湖北黄石）若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 .
10．（2010四川凉山）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为。
一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：。
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 。
LINK Word.Document.8 E:\\2010中考分类\\中考分类汇编\\51.阅读理解型问题.doc OLE_LINK10 \a \r \* MERGEFORMAT 一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：。
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？
11．（2010 嵊州市）如图13－1至图13－4，⊙均作无滑动滚动，⊙、⊙均表示⊙与线段AB、BC或弧AB相切于端点时刻的位置，⊙的周长为，请阅读下列材料：
①如图13－1，⊙从⊙的位置出发，沿AB滚动到⊙的位置，当AB＝时，⊙恰好自转1周。
②如图13－2，∠ABC相邻的补角是n°, ⊙在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙的位置转到⊙的位置，⊙绕点B旋转的角∠= n°, ⊙在点B处自转周。
解答以下问题：
⑴在阅读材料的①中，若AB＝2，则⊙自转 周；若AB＝，则⊙自转 周。在阅读材料的②中，若∠ABC＝120°，则⊙在点B处自转 周；
若∠ABC＝60°，则⊙在点B处自转 周。
⑵如图13－3，△ABC的周长为，⊙从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙自转多少周？
⑶如图13－4，半径为2的⊙从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙自转多少周？
12．（2010江苏常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为轴，直线OE为轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点P用一有序实数对（）来表示，我们称这个有序实数对（）为点P的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：
（ⅰ）轴上点M的坐标为（），其中为M点在轴上表示的实数；
（ⅱ）轴上点N的坐标为（），其中为N点在）轴上表示的实数；
（ⅲ）不在、轴上的点Q的坐标为（），其中为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数，为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数。
则：（1）分别写出点A、B、C的坐标
（2）标出点M（2，3）的位置；
（3）若点为射线OD上任一点，求与所满足的关系式。
13．（2010 江苏镇江）描述证明
海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；
（2）请你证明海宝发现的这个有趣现象.
14．（2010广东佛山）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC。
若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD～△ABC（不包括全等）？
请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD～△ABC(不包括全等)的点D的个数。
15．（2010辽宁沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题。
★阅读材料：
（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。例如，如图1，把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成50米、100米、150米三条等高线。
（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）
步骤一：根据两点A、B所在的等高线地形图，分别读出点A、B的高度；A、B两点的铅直距离=点A、B的高度差；
步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为1：n，则A、B两点的水平距离=dn；
步骤三：AB的坡度=；
请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。
某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3（示意图），小明每天从家A经过B沿着公路AB、BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P．该山城等高线地形图的比例尺为1:50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米。
（1）分别求出AB、BP、CP的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；
（2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米／秒；当坡度在到之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1米／秒）
解：（1）AB的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），AB的坡度=；BP的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），BP的坡度=；CP的水平距离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米），CP的坡度= ① 。
（2）因为，所以小明在路段AB、BP上步行的平均速度均为1.3米／秒。因为 ② ，所以小丁在路段CP上步行的平均速度约为 ③ 米／秒，斜坡AB的距离=（米），斜坡BP的距离=（米），斜坡CP的距离=（米），所以小明从家到学校的时间（秒）。小丁从家到学校的时间约为 ④ 秒。因此， ⑤ 先到学校。
16．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG,PC．若，探究PG与PC的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
答案：
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】6，4，1，7
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.
4.【答案】9
5.【答案】0
6.【答案】19
7.【答案】：﹣
8.【答案】－2
9.【答案】24
10.【答案】
11.【答案】（1）
（2）⊙共自转了()周
（3）⊙一共自转了7圈
12.【答案】
13.【答案】（1）（1分）（2分）
（2）证明：（3分）
14.【答案】（1）（i）如图，若点D在线段AB上，
由于∠ACB＞∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,
使得△ACD∽△ABC。
(ii)如图①，若点D在线段AB的延长线上，
则∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，与条件矛盾，
因此，这样的点D不存在。
（iii）如图②，若点D在线段AB的反向延长线上，
由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD，
不可能有△ACD∽△ABC.
因此，这样的点D不存在。
综上所述，这样的点D有一个。
15.【答案】①，②，③1，④2121， ⑤小明
16.【答案】（1）线段PG与PC的位置关系是；．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH和CG．
是线段的中点，
．
由题意可知．
．
，
．
，．
四边形是菱形，
，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
．
（3）．
x
y
O
C
P2
B
P1专题2—— 探索型问题
【备考点睛】
探索型问题是指那些条件不完备、结论不明确、或答案不唯一、给学生留有较大探索余地的试题。从最近几年来中考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是中考命题“孜孜以求的目标”。
探索型问题一般有两类：
（1）探索条件的开放题；（2）探索结论的开放题。
探索型问题的特点：
（1）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；
（2）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论；
【经典例题】
类型一 条件开放型问题
例题1．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
解答：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.
例题2．如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
解答：分析：考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明.
（1） AEH与DFH．（或AEH与BEG， 或BEG与CFG ，或DFH与CFG）
（2）OE=OF．
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∥CD， ，
，　　△△，　　　
．
例题3．（2010 甘肃）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解答：（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.
即抛物线的解析式为．
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得
解得.
∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．
∴ 顶点D的坐标为.
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.
理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .
∴ ， 故△BCD为直角三角形.
（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，
得符合条件的点为O（0，0）．
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，
可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为．
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，
可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：
O（0，0），，P2（9，0）.
类型二 结论开放型问题
例题4．（2010四川眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，试探索
、满足什么关系时，△ACE与△FBE
是全等三角形，并说明理由．
解答：（1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕
点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB
∴∠CAC =∠BAB
∴∠ACC =∠ABB
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
（2）解：当时，△ACE≌△FBE．
在△ACC中，∵AC=AC ，
∴
在Rt△ABC中，
∠ACC+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
例题5．（2010安徽蚌埠）已知⊙过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。
⑴ 求的值；
⑵ 如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。
解答：⑴
（2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.
解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变
过点作于，并延长交于，连接，
交于。
因为为等腰三角形， ，
所以平分
所以弧BN=弧CN，所以，
所以
所以=
即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。
例题6．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？
解答： 从函数图象中“读图找点”，由点的坐标找数量，利用列算式或方程求解，也可以“见形想式”，通过建立函数关系式，利用函数求解。
【解答】（1）解法一：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟 设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分
依题意得：15x+45x=3600． 解得：x=60．
所以两人相遇处离体育馆的距离为60×15=900米．
所以点B的坐标为（15，900）．
设直线AB的函数关系式为S=kt+b（k≠0）．
由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）得：解之，得
∴直线AB的函数关系式为：．
解法二：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟． 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x米．
依题意得：，解得x=900，
所以点B的坐标为（15，900），以下同解法一．
（2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：
小明取票花费的时间为：15+5=20分钟．
∵20<25 ∴小明能在比赛开始前到达体育馆．
解法二：在中，令S=0，得． 解得：t=20．
即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间也为20分钟．
∵20<25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．
【点评】在数与代数的的问题中常通过建立方程、函数等不同数学模型解决问题，解题策略不同，要注意优化解题方案和过程。
类型三、综合探索型问题
例题7．（2010山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
解答：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.
（2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.
例题8．（2010 浙江衢州）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解答：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　．
设点B的横坐标是x(x>0)，则，
解得　，(舍去)．
∴　点B的横坐标是．
①　当，，时，得　　
．
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，
．
由此，可求得点C的坐标为(，)，
点A的坐标为(，)，
∵　A，B两点关于原点对称，
∴　点B的坐标为(，)．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．
∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，
点A的坐标为(，)，点B的坐标为( ( http: / / www. / )，)．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
②　存在．m的值是1或-1．(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
【技巧提炼】
因探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，因而解题的策略是将其转化为封闭性问题．
探索条件的开放题的解题策略是：分析时，把问题的结论作为条件（假设问题的结论成立），借此探索相关的关系；解答时，把探索的关系作为条件，证明此时结论成立。务必要注意这类问题的书写形式。不能把结论当着条件来使用，只能以探索的条件作为条件说明此时结论的正确性。
探索结论的开放题的解题策略是：直接从已知条件入手，通过推理或猜想得出结论。在探索过程中可从特殊情景入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，再就一般情形去认证结论。这里的关键是抓住命题的条件及特点归纳总结出一般结论。特别要注意题目的具体要求，有些问题只要求探索到满足条件的某种情况，只要给出答案就可以，有些问题要探索出满足条件的所有可能情况，这时就必须考虑全面。也有些问题要求给出全部的答案，但不要求每种情况都给出严谨的证明或完整的探讨过程，解答时务必要看清题目具体的要求，正确的解答。
【体验中考】
1．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ．
2．（2010湖北随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
3．（2010辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
4．（2010山东临沂）如图1，已知矩形，点是边的中点，且.
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)保持图1中的固定不变，绕点旋转所在的直线到图2中的位置（当垂线段、在直线的同侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2 中的固定不变，继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置（当垂线段、在直线的异侧）.试探究线段、、长度之间有什么关系？并给予证明.
5．（2010江苏宿迁）已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线
的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积
等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
6．（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。求证：；
⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。
7．（2010福建泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是 ;
（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；
②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？
（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.
8．（2010福建南平）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.
9．（2010江苏无锡）
（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
10．是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
（1）求证：；
（2）探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；
答案：
1．【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x，答案不唯一
2．【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.
3．【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为．
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得
所求抛物线关系式为：．
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA
（ 0＜＜4）
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．
4．【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形。
如图（1）在矩形ABED中，
因为点C是边DE的中点，且AB=2AD,
所以AD=DC=CE=EB,
∠D=∠E=90°.
∴Rt△ADC≌Rt△BEC.
∴AC=BC, ∠1=∠2=45°.
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形。
（2）DE=AD+BE.
如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中，
∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°.
∴∠CAD=∠2.
又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB.
∴DC=BE,CE=AD.
∴DC+CE= BE+AD,
即DE=AD+BE.
（3）DE=BE-AD.
如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2.
又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE.
∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.
5．【答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形
(3) 存在，
由题意得：
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：
=
∴
当y=1时，即，
∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1)
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点
Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=．
6．【答案】⑴ 在图4中，由于，将绕点旋转，得，
、。连接
在中有
又垂直平分
代换得
在图5中，由，将绕点旋转，得
连接
在中有
又可证≌，得V
代换得
(3)将绕点瞬时针旋转，得，且
因为的周长等于正方形周长的一半，所以
化简得从而可得≌，
推出
此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：
，再由勾股定理的逆定理知：
线段、、可构成直角三角形。
7．【答案】（1）平行四边形
（2）①∵点在的图象上，
∴
∴
过作，则
在中，
α=30°
∴
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称
∴OB=OD=
∵四边形为矩形，且
∴
∴；
②能使四边形为矩形的点B共有2个；
（3）四边形不能是菱形.
法一：∵点、的坐标分别为、
∴四边形的对角线在轴上.
又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.
∴对角线与不可能垂直.
∴四边形不能是菱形
法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上.
所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形.
8．【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴ ∠ACB=∠APE
在ΔABC中，AB=BC
∴∠ACB=∠BAC
∴ ∠EPA=∠EAP
答：□ APCD是矩形
∵四边形APCD是平行四边形
∴ AC=2EA, PD=2EP
∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP
∴ EA=EP
则 AC=PD
∴□APCD是矩形
答： EM=EN
∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α
由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB
∴∠FPB=∠ABC=α
∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α
∴ ∠EAM=∠EPN
∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN
∴ ∠AEP=∠MEN
∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP
∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN
9．【答案】（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°．
∵AE=MC，∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM
∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（3）
10．【答案】分析：观察图形，先猜想四边形是平行四边形，已知BC∥EG，从边的路径考虑，既可以再证BC=EG，也可以再证BE∥CG。
（1）证明：
∵和都是等边三角形，
∴．
又∵，
，
∴，
∴．
（2）方法一：由（1）得，
∴．
又∵，∴，
∴．
又∵，∴四边形是平行四边形．
方法二：证出，
得．
由（1）得．得．
∴四边形是平行四边形．
点评：在平行四边形的性质与判定中，在策略上要注意从边、角、对角线中寻找恰当的突破口。矩形、菱形、正方形从平行四边形特殊而来，在判定方法的选择上要注意路径，既可以直接从四边形证得为矩形（菱形），也可以先证明它是平行四边形，再证其为矩形（菱形）。
E
A D
B C
N
M
F
E
A D
B C
N
M
y
H
A
D
O
O
C
P
F
y
G
D
E
x
B
S（米）
t（分）
B
O
O
3 600
15
A
A
D
B
C
F
（
E
）
图（1）
A
D
B
C
F
E
图（2）
P
Q
A
B
C
图（3）
图（2）
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
C
E
A
D
B
F
图（3）
P
Q
N
O
y
x
C
B
A
1
1
-1
-1
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
图1
A
B
D
C
E
P
图2
A
B
D
C
E
P
M
N
F
图1
图2
A
G
C
D
B
F
E
图（a）
O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
－8
(－6，－4)
x
y
E
F
Q1
Q3
Q2
N
F
M
E
B
D
A
C
N
F
M
E
B
D
A
C
G专题10——几何计算问题
【备考点睛】
几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：
一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；
二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；
三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。
【经典例题】
类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算
例题1 如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到， 与AB相交于点D。求BD的长。
解答：分析：注意到若作于点G，如图（1`）则
可得中，DG=BG，同时在，
而CB=1，从而可构造关于BD的方程，求得其值。
解：如图（2），作于点G，设BD=，
中，
在中，，
。
即解得。
的长为。
例题2 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若于点F，且AF平分求的值。
解答：首先，在中，
剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数式。
为此，去研究相应的条件：
①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；
②由知 且AF平分得是等腰三角形，
设AF交BD于点G，则
③由BG//EC，知∽,
如此一来，
当然就有。
例题3 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中，，斜边把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图（2）， 这时AB与相交于点，与AB相交于点F。
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转30°得到，这时点B在的内部，外部，还是边上？证明你的判断。
解答：分析：对于（1），如图（3），设CB与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值；
对于（2），可先推出，并导出的长；
对于（3），设直线CB交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。
解：（1）设CB与相交于点G，如图（3），则：
。
（2）连结，
又
。
在 （3）
。
（3）点B在内部，理由如下：
设BC（或延长线）交于点，
在，
又，即点B在内部。
例题4 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）
A、
B、
C、
D、
解答： 分析：将原问题抽象为图（2），在菱形ABCD中，，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。
为此，作交CD的延长线于点H，则有
其中
解：应选A。
类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算
例题5 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，
则EQ：EF的值是（ ）
A、 B、
C、 D、
（1）
解答：分析：容易看出∽得
即。
而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置，
由有，
解：选C。
说明：在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。
例题6 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。
解答：分析：可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，
这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。
解：如图，∽∽
则
。
说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。
例题7 某装修公司要在如图所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）
A、 100盏
B、 101盏
C、 102盏
D、 103盏
解答：分析：研究，由计算出AB的长来，
如图在中，（正五边形的外角）=72°，
作交AC于点D，则AD=BD=BC，
又∽，得：，
即，也既
解得。。
灯的盏数应为
解：选A。
说明：在本题，关键是根据特定条件，构造出∽。
例题8 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，于点E，连结ED，交OC于点F，作于点G。
（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由；
（2）若想在CB上确定一点H，使，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法（不必说明理由）
解答：分析：显然，图中有一些相似三角形，比如：
∽∽（Ⅰ组）；∽（Ⅱ组）
∽（Ⅲ组）；∽（Ⅳ组）等。
通过分析可知，应用到第Ⅰ组，因为其中含有线段CG和CB（即与 ）
而其中的CF又包含在第Ⅲ组的三角形中，这样就有：
解：（1）有结论在和中，由OE//CD，易知∽，
即
也即。
在和中，
∽，
得
（2）应这样确定点H，连结DG，交CO于点M，作于H，则应用。
说明：在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。
例题9 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，点E，F分别在线段AD，DC上，（点E与点A，D不重合）且设。
（1）求的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
解答：分析：这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。
解：（1）在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，，
∽。
的函数表达式是
；
（2）。
时，有最大值，最大值为。
说明：象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。
【技巧提炼】
几何计算的两种主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算
（1）凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。
（2）在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去。
2、善于用两个三角形相似关系完成几何计算
当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。
（1）要善于选用相似三角形，充分发挥相似三角形在几何计算中的重要作用。
（2）要善于构造相似三角形，要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识。
只要充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能，几何计算问题就不是难题，从而能轻松解决更多的综合型问题！
【体验中考】
1．（2010广西南宁）如图，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形
的是（ ）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
3．（2010浙江杭州）如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（ ）
A. 48 B. 24
C. 12 D. 6
4．（2010江苏无锡）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
5．（2010云南昆明）如图，在△ABC中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（　 ）
A． B．
C． D．
6．（2010湖南益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝　　　．
7．（2010 浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π) ．
8．（2010辽宁丹东）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
9．（2010河南）如图．矩形ABCD中,AB=1，AD=.以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为 .
10．（2010 浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于 ．
11．（2010福建泉州）如图，两同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，两圆的半径分别为和，则弦长= ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 .(结果保留根号)
12．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 ．
13．（2010 福建南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中 度．
14．（2010 广西钦州）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ _°．
15．（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__________条.
16．（2010山西）在D是AB的中点，CD=4cm，则AB= cm。
17．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=，则AB= ．
18．（2010 广西玉林）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝，AC＝10，则此时两直角顶点C、间的距离是 。
19．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。
20．（2010浙江杭州）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，
点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长.
21. 如图，是边长为4的等边三角形，D为BC边上一个动点，作DE//CA，交AB于点E，于点F，当BD的长取什么值时，可使？
22．（2010辽宁丹东）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
23．（2010浙江杭州）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为, 体积为V, 表面积等于S.
(1) 当a = 2, h = 3时，分别求V和S；
(2) 当V = 12，S = 32时，求的值.
24. 如图，已知中，，点E，F在AB上，设的面积为。
求证：
25. （2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．
（1）求证：；（2）若，，求的长．
26. （2009济宁）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.
（1）当为何值时，⊙与相切；
（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.
27．（2010四川内江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.
（1）求证：AD平分∠BAC .
（2）若AC＝3，AE＝4.
①求AD的值；
②求图中阴影部分的面积.
28.（2009广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是__ ，b＝_ _，c＝_ _；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q
为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；
若不存在，说明理由．
29．（2010 福建南安）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．
（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=时，求⊙O中劣弧 的长．
30．（2010河南）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
31．（2010青海） 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F.
（1）求证：△AOE≌△BOF
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
答案：
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】4
7．【答案】（8+4）π
8．【答案】
9．【答案】
10．【答案】
11．【答案】
12．【答案】2
13．【答案】120
14．【答案】65
15．【答案】8
16．【答案】8
17．【答案】12
18．【答案】5
19．【答案】4或或
20．【答案】
(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ DBA = CAE,
又∵ , ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴D =90°,
由（1）得 E =D = 90°,
∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 ,
∴ BC =a .
21. 【答案】分析：本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如图，假若，则必有从而有∽。由此求出BD的长，再逆过来予以判定。
解：如图，若则
进而又有
∽。
设则，
又。
，解得
成立。
说明：在本题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。
22．【答案】（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
∴S阴影==．
法二：连结AD．
∵AC⊥BD，AC是直径，
∴AC垂直平分BD．
∴AB=AD，BF=FD，．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=AB=2，sin60°=，
AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB2=BF2+OF2．即．
∴OB=4．
∴S阴影=S圆=．
法三：连结BC．
∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°．
∵AB=4，
∴．
∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，
∴∠BOD=120°．
∴S阴影=π·OA2=×42·π=．
以下同法一．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．
∴．
23．【答案】
(1) 当a = 2, h = 3时，
V = a2h= 12 ;
S = 2a2+ 4ah =32.
(2) ∵a2h= 12, 2a(a + 2h) =32，
∴ , (a + 2h) =,
∴===.
24. 【答案】注意到，就容易发现有∽。
证明：在和中，
，
∽，得，即。
。
说明：利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。
25.【答案】（1）证明：
是直径
是的切线，切点为
（2）
26.【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，
则.
∴∽.∴.
∵,,
∴.∴.
(2)证明：∵，，∴∥.
当时，.
∴.∴.
∴.
∵∽,∴.∴，
∴.∴.
∴当时，四边形为平行四边形.
27．【答案】（1）证明：连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠3；
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC.
∵AC⊥BC ，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC.
（2）①连结ED.
∵AE为直径，∴∠ADE＝∠C＝90°,
又由（1）知∠1＝∠2，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝,
∵AC＝3，AE＝4，
∴AD2＝AE·AC＝3×4＝12,
∴AD＝＝2.
②在Rt△ADE中，cos∠1＝＝ EQ \f(2,4)＝ EQ \f(,2),
∴∠1＝30°，
∴∠AOD＝120°，DE＝2.
∴S△AOD＝S△ADE＝×AD·DE＝，
S扇形AOD＝＝π.
∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝π－.
28.【答案】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．
29．【答案】（1）证明：∵为⊙O的直径，
∴．
∵，
∴，
∴∠ACB=∠DEB．.
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB ．
（2）连结，则，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120° ．
，
∴∠AFO=90°．
在Rt△AFO中，，∴
∴AC弧的长为
30．【答案】⑴同意，连接EF，则∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF．
∴ Rt△EGF≌Rt△EDF．
∴ GF＝DF．
⑵ 由⑴知，GF＝DF．设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y.
∵DC＝2DF，∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x．
∴BF＝BG＋GF＝3x．
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋x2＝(3x)2．
∴y＝2x，∴．
⑶由⑴知，GF=DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y．
∵DC＝n·DF，∴DC＝AB＝BG＝nx．
∴CF＝(n－1)x，BF＝BG＋GF＝(n＋1)x．
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2．
∴y＝2x．∴（或）
评析：本题立意新颖，是整个试卷的亮点．“操作发现——问题解决——类比探究”本题所呈现的是完整的探究性学习过程，解答本题，学生需要经历观察、猜想、判断、证明、推广等数学活动．本题的意义不仅在于考查学生对矩形、三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习过程和学习方式，考查学生的数学思维活动过程．充分体现了新课标理念，对课堂教学具有很好的导向作用．
31．【答案】分析根据ASA证明全等，全等则面积相等，从而求得重叠部分的面积．
（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°
∵∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90°
∴∠AOE=∠BOF
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF
(2)答：两个正方形重叠部分面积等于
因为△AOE≌△BOF
所以：S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=
点评：（1）考查三角形全等的判定（2）考查三角形全等的性质，此题属容易题，只要细心观察，很容易得分。
A
B
E
D
C
F
G
A
C
B
F
O
G
A
B
C
D
F
P
E
Q
A
B
C
D
F
P
E
Q
G
2
3
5
G
J
A
F
I
H
N
E
D
M
C
B
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
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E
G
F
A
B
C
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E
G
F
H
M
A
E
D
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C
B
A
E
F
B
D
C
A
C
B
F
E
C
B
A
O
F
D
E
A
E
D
B
C
F
G
A
E
F
B
D
C
60°
F
E
F
F
A
B
C
D
E
O
1
2
3
C
B
A
O
F
D
E专题7——探究规律问题
【备考点睛】
近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。
【经典例题】
类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式
例题1 如图，在中，，把边长分别为,……，的个正方形依次放入中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：
1 2 3
（2）第个正方形的边长 ；
解答：如图，设，则，——相当于搞清楚第一项；
由∽,得，而，
解得即；
完全类似地可得。
——搞清楚了递推关系。
把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。
（1）依次应填；； （2）
例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：
＝1－； ＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：＋＋＋…＋ .
解答：
（1）
（2）证明：－＝－＝＝.
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝.
例题3 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：
所以 第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个.
例题4 探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。
（1）观察图形，填写下表：
钉子数 值
2
2+3
2+3+（ ）
（ ）
（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。
（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。
解答：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；时比时多出3个种数；时比时多出4个种数;……时比时多出个种数;-----(第二层归纳). 有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.
(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;
(2) 的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;
(3).
归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.
类型二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式
例题5 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线之间把绳子再剪次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是（ ）
A、 B、 C、 D、
解答：我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：
即。
本题要求的是“剪次”，实际上是序号所对应的图，其中绳子的段数应为。
答：应选A。
说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪刀则是第个图，二者不应弄混。
当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数”与绳子段数之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系式,最后的结果是一样的.
例题6 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）。
解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数（自变量）每增大1，对应的函数值就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。
设，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：
答：
说明：就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。
例题7 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则第个图形中，其有 个六边形。
解答：图形序号与图形中正六边形的个数满足（1，1），（2，4），（3，7），每增大1，就增大3，可知是的一次函数，用待定系数法（略）求得
类型三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式
例题8．（2010 贵州贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．
（1）写出点M5的坐标；
（2）求的周长；
（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）
的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．根据图中点
的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分）
解答：（1）M5（―4，―4）
（2）由规律可知，,，
∴的周长是
（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：点的“绝对坐标”为（）。
当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,……，
即：点的“绝对坐标”为。
当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。
解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）
②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）
③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）
例题9． 如图，已知的面积。
（1）在图（1）中，若则；
（2）在图（2）中，若，则
（3）在图（3）中，若则；
按此规律，若，则 。
（1） （2） （3）
解答：其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算的面积即可，实际上
表示边上的高）边AB上的高）
同理，，均等于，得
。
例题10．（2010广东中山）阅读下列材料：
，
，
，
由以上三个等式相加，可得
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）= ；
（3）= ．
解答：（1）
=++…+
=
=440．
（2）
（3）
=++
…+
=
=1260
【技巧提炼】
规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件, 解答这类问题的关键是认真审题,掌握规律,合理推测,认真验证,从而得出问题的正确结论.
研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：
1、以归纳概括为指导的思考方法；
这类问题思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
2、以函数思想为指导的方法；
这类问题的思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。
3、以直接计算为指导的方法。
这类问题的思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。
【体验中考】
1．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225
2．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）
A、 B、 C、 D、
仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；
（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为
3．（2010安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）
（A）495 B）497 C）501 D）503
4．（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子
A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D． n2枚
5．（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2010江苏淮安）观察下列各式：
……
计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=
A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102
7．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
8. 观察下列等式：，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 。
9．（2010 江苏连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．
10. 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,共需要摆 根火柴棒.
11．（2010 四川成都）已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．
12． 如图，是用火棍摆成边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形，当边长为根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则= 。（用含的代数式表示，为正整数）。
13． 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去……
（1）请你在图中画出第一次分割的示意图；
（2）若原正六边形的面积为，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
(3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积与分割次数有何关系 ( 用含和的代数式表示,不需要写出推理过程).
14. 如图，已知，，…，则点和点的坐标分别为 ； 。
15. 下面是某种细胞分裂示意图， 这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此项规律可得：
（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后分裂成 个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3个小时后可分裂成 个细胞；
（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后要分裂成 个细胞；
16. 数字解密：第一个数是，第二个数是，第三个 是，第四个数是,……按此规律观察并猜想第六个数是 。
17．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．
（1）如图1，当时，求正三角形的边长；
（2）如图2，当时，求正三角形的边长；
（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．
18．（2010 广东汕头）阅读下列材料：
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ _________；
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________．
19．（2010浙江宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 ▲
长方体 8 6 12
正八面体 ▲ 8 12
正十二面体 20 12 30
根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
答案：
1．【答案】D
2．【答案】B
仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；
（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中，
依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】C
8. 【答案】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：
个位数字 2的乘方
2 …归纳概括为（为自然数，下同）
4 …归纳概括为
6 归纳概括为
8 归纳概括为
而，个位数字应为6。 个位数应为6。
9．【答案】
10. 【答案】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:
所以 应填165 .
11．【答案】
12．【答案】这只要直接计算第个图形（如上图所示）有多少火柴棒即可，竖着摆放的火柴棍有列，有行，共有根，而横着摆放的和竖着摆放的一样多。因此
13．【答案】显然,这是一个探究递推关系的题目,首先应当完成第一次分割操作:如图(1`);其次,由操作和观察容易知道,设原正六边形的面积,则图(1`)中小正六边形(阴影所示)的面积等于所在菱形面积的,从而等于整个大正六边形面积的,即有关系.完全相同的道理,……由此，问题（2）、（3）得解。
（1）见图
（2）依次应填，，；
（3）（实际上是）。
14. 【答案】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。
第一步，可以看出除了点外，其他各点均在象限内。
按象限分类：
所在象限 点
一 归纳概括为（为自然数）
二 归纳概括为
三 归纳概括为
四 归纳概括为
由，可知在第二象限，在第三象限。
第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：
（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的；
（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：
点 … 归纳概括为
坐标的绝对值 1 2 3 … …
由知其坐标的绝对值应为；由，知其坐标的绝对值应为；将第一步和第二步结合，可得和的坐标。
的坐标为，的 坐标为。
15.【答案】 如果假设,由1个细胞开始,经过次分裂后细胞数记为,且记,依题意有,,,……次分裂后细胞数为，所以本题的结果为：（1） （2）； （3）
本题当中，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2倍。就是一种“递推”关系，可由求得，可由，等等。
不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。
16.【答案】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数前一个数+（前一个数），如第二个数第一个数（第一个数），而第一个数是3，所以第二个数是，……如此等等。找到这个递推关系，很容易有第五个数，第六个数。
说明：在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。
17．【答案】
（1）设与交于点D，连结，
则，
在中，，
即，
解得．
（2）设与交于点E，连结，
则，
在中，
即，
解得．
（3）设与交于点F，连结，
则，
在中，
即，
解得．
18．【答案】（1）∵1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
…
10×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）．
（3）1260．
19．【答案】
(1) 6， 6 ,
(2)20
(3)这个多面体的面数为，棱数为条，
根据可得 ，
∴.　
A
B
C
A
B
C
A
A
B
C
A
A
B
C
B
C
A
A
第2个“口”
第1个“口”
第3个“口”
第n个“口”
………………
？
C
A
F
D
E
B
G
AD
BAD
CFEBAD
A1
A2
A3
B1
B2
B3
4
-3
-2
-4
2
四面体 长方体 正八面体 正十二面体
PAGE
11数学专题3——研究型问题
【备考点睛】
研究型问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：
1、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；
2、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。
3、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
【经典例题】
类型一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题
例题 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。
（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。
解答：
分析：对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。
详解：（1）① 40。 ② 。
（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。
说明：在本题，关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。
类型二、设置“发现新规律”的研究性问题
例题 提出问题：如图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。
当时（如图（2）
的高相等。
，，的高相等。。
。
。
（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；
（3）当时， 探求与和之间的关系为： ；
（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当时，与和之间的关系式为： 。
（1） （2）
解答：
分析：对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论进行更为一般化的推广和归纳。
详解：（2），的高相等，。
又的高相等，。
。
。
（3）。
（4）。
，的高相等。 。
又的高相等。。
。
。
问题解决：。
说明：在本题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。
类型三、设置“特殊化”情景的研究性问题
例题 抛物线，其顶点（可以位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：
（1）若其顶点为（1，1），则 ， ，
若其顶点为（，则 ， ，
（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？
（3）抛物线上任意一点，都可以是抛物线的顶点吗？若可以，请指明应满足的关系，若不可以，请说明理由。
解答：
分析：根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。
详解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。
（2）若（在直线上，则 HYPERLINK "http://" 。
为任意实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。
（3）可以。令，得为任意实数）。
当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。
说明：由本题可以看出，特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。
【技巧提炼】
研究性问题的思考要点：
1.把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括能力的基本表现形式。
2.把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性，借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。因此，要深刻体会归纳与类比的思考要点，熟练而灵活地运用。
3. 充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求，把握特殊条件的特殊结论和相应的关系。特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，因此，“特殊化”方向的研究，可帮助我们获得更深入的知识。
【体验中考】
1.在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形式以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度过，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为（，），其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角。
（1）填空：
① 如图（1），将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到， 这个旋转相似变换记为A（ ， ）；
② 如图 （2），是边长为1的等边三角形，将它作旋转相似变换A（），得到，则线段长为 ；
（2）如图（3），分别以锐角三角形的三边AB，BC，CA为边向外作正方形，点分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用，之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。
（1） （2） （3）
2. 实验与探究：（1）在图（1），（2），（3）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），
写出图（1），（2），（3）中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；
（1） （2）
（3） （4）
（2）在图（4）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标；（C点的坐标用含的代数式表示）；
归纳与发现：（3）通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现；无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，如图（4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）。
运用与推广：（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，，（其中。问当为何值时，该抛物线上存在点，使得为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点的坐标。
3. 如图（1），点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。
（1） （2） （3） （4）
（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上黄金分割点（如图（2），则直线CD是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB的黄金分割点），作直线，交AC于点F，连结（如图（3），则直线也是黄金分割线，请你说明理由。
（4）如图（4），点E是平行四边形的边AB的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点。
4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
当这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 当这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：，均为锐角三角形，，，。
求证：。（请你将下列证明过程补允完整）。
证明：分别过点作于D，于，则，，，，。
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确的结论，请你写出这个结论。
5．（2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.
6．（2010山东青岛）问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个
正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
，整理得：，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：
结论2：
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： .
验证3：
结论3：
7．（2010山东威海）（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；
(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，
求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，
当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，
x=_________，y=___________．（不必证明）
●运用 在图2中，一次函数与反比例函数
的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
9．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。
用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=____________θ5=___________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
10.（2010 湖北孝感）
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识拓展]
利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：
= 。
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，
答案：
1. 【详解】：
分析：关键就是要把（，）的特征——即位似与旋转的规定——搞清搞准。以下问题都是这些特征的具体化和运用。
（1）① 2，60°；② 2；
（2）经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。
经过旋转相似变换），得到，此时，线段变为线段。
， 。
说明：从本题可以看出，所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括能力的基本表现形式。
2. 【详解】：
分析： 问题（1），（2），（3）逐步“由特殊到一般”，发现点C的坐标和另外三点的坐标间的关系，思考的核心是体察并归纳出各种情况下的坐标关系的共性，从而上升成“一般规律”；问题（4）则是这个“一般规律”的综合性应用。
（1），。
（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为。分别过作于E，于点F。如图，在平行四边形中，，又，
。
，又。
。
设。由得。
由，得。
。
（3）。
或。
（4）①若为平行四边形的对角线，由（3）可得。要使在抛物线上，则有，即（舍去），。此时（。
②若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。
③若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时。
综上所述，当时，抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形。
符合条件的点有（；；。
说明：在本题中，由（1）的具体启发完成（2）中的求解是关键；在问题（4）中，全面而恰当的分类使解答简捷而有序。
3.【详解】：
分析：对于（1）和（2）要通过“黄金分割线”的定义来检验，要点是由“黄金分割点”类比到“黄金分割线”后对其意义的确切把握。对于（3）和（4），实际是做“等积变换”，这在“几何图形的等积分割”部分已有介绍。
（1）直线是的黄金分割线。理由如下：设的边AB上的高为。
。
。又点D为边AB的黄金分割点。
。。 直线是的黄金分割线。
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，
，三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。
（3） 的公共边CE上的高也相等，。
。
又，。因此，直线也是的黄金分割线。
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图（1`），取的中点G，再过点G作一条直线分别交于点，则直线就是平行四边形的黄金分割线。
画法二：如答图（2`），在上取一点，连结，再过点F作交AB于点M，连结，则直线就是平行四边形的黄金分割线。
（1`） （2`）
【说明】本题体现的就是通过类比将“黄金分割”由线段扩充到三角形和平行四边形。
4. 【详解】：
（1）又，
，
又，。
。
（2）若，均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，
且，，，则。
说明：本题告诉我们，一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，因此，“特殊化”方向的研究，可帮助我们获得更深入的知识。
归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，也是研究性问题展开的有效方式。因此，我们要深刻体会归纳与类比的思考要点，并能熟练而灵活地运用。
5 【详解】： ⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴　　　
⑵解法一：∵
　　　∴∽
∴
∵
∴ HYPERLINK "http://www./" （或）
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） 　
解法二：在方形环中，
又∵
∴∥
∴
在与中，
即 （或）　
①当时，
②当时，
则 （或）
6 【详解】：3个；
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
．
整理得：，
可以找到两组适合方程的正整数解为和．
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：
，
整理得：，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为.
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
7．【详解】：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．
∵ AD∥BC，AD＝BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ AB∥CD．
∴ ME= NF．
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴ S△ABM＝ S△ABN．
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
则∠DHA=∠EKB=90°．
∵ AD∥BE，
∴ ∠DAH=∠EBK．
∵ AD＝BE，
∴ △DAH≌△EBK．
∴ DH=EK．
∵ CD∥AB∥EF，
∴S△ABM＝，S△ABG＝，
∴ S△ABM＝ S△ABG.
﹙2﹚答：存在．
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.
∴ 该抛物线的表达式为，即．
∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.
∴ 直线AD的表达式为．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，
则PF=，EF＝．
∴ EP＝EF－PF＝=．
∴ ．
解得，．
当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．
∴ E点坐标为（2，3）．
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则．
∴．解得，．
当时，E点的纵坐标为；
当时，E点的纵坐标为．
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．
8. 【详解】： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；
(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为
，， ，则∥∥．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
=．
∴O=．
即D点的横坐标是
同理可得D点的纵坐标是．
∴AB中点D的坐标为(，)．
归纳：，．
运用 ①由题意得
解得或．
∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．
②以AB为对角线时，
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM=OP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为(2，-2) ．
同理可得分别以OA，OB为对角线时，
点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．
∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．
9. 【详解】：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．
10. 【详解】： [定理表述]
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
[尝试证明]
≌
又
整理，得
[知识拓展]
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
E
A
C
D
E
B
B
C
G
F
D
E
A
H
I
（）
D（4，0）
B（1，2）
C
（）
D（）
B（）
C
EMBED Equation.3
D（）
B（）
C
EMBED Equation.3
D（）
B（）
C
A
C
A
C
B
D
A
C
B
D
E
F
A
C
B
D
F
E
A
C
B
D
O
A
B
D
C
M
N
图 ①
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
A
图 ③
C
D
B
O
x
y
A
备用图
C
D
B
O
x
y
图1
O
x
y
D
B
A
C
O
x
y
D
B
图2
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
图3
D（）
B（）
C
EMBED Equation.3
E
F
A
C
B
D
F
E
M
G
N
A
C
B
D
F
E
M
N
A
B
D
C
M
N
图 ①
E
F
H
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
K
A
图 ③-1
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
A
图③－3
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
A
图③－2
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
A′
D′
B′
O
x
y
D
B
A
x
y
y=
y=x-2
A
B
O
O
P专题1——填空选择题
【备考点睛】
选择题：基本结构包括两个部分,一部分叫做题干，由完整的或不完整的陈述句或问句所构成；另一部分叫做选择支，其中只有一个选项是正确的。选择题不仅占有很大篇幅，分值较高，且难度较大，有的题知识内容错综复杂，有的题信息设置巧妙隐蔽，有的题表面看是选择题，实际上是一道复杂的计算题，这造成很多学生失分严重。
填空题：是标准化题型，只要结果，不要过程。这种题小巧灵活，着重考查观察、判断、推理和运算能力。近几年的中考数学填空题加大了能力考查的力度，因此要掌握填空题的基本题型和解题的基本思想方法。
近几年普遍出现了填空、选择压轴题，其难度不亚于真正意义上的压轴题，因此要重视。尤其是填空或选择的最后一两道试题，如果做得很简单，往往是没有考虑全面，或者是没看清题目。
【经典例题】
例题1 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则能表示这个一次函数图象的方程是( )
A、2x－y+3=0 B、x―y―3=0 C、2y－x+3=0 D、x+y－3=0
解答：本题采用直接法。
由图象可以点B的横坐标为1，代入y=2x，得：y=2。所以点B坐标为（1，2）。设一次函数的解析式为y=kx+b，因为点A坐标为（0，3）、点B坐标为（1，2），所以，解得：。因此，这个一次函数关系式为，即x﹢y﹣3=0。选D。
直接法介绍：从题目的条件出发，根据所学过的定义、公理、公式、法则等，进行合理的推理及运算，求出正确的结果，然后把此结果和四个备选答案进行比较，然后作出判断，这种方法是学生们最熟悉的，也是最大量运用的方法。
例题2 在函数中，自变量的取值范围是 ．
解答：本题采用直接法。
由于二次根式的被开方数必须是非负数，则x+2≥0即x≥－2；分式的分母不能为0，x在分母上，因此x≠0；所以x≥－2且x≠0， 答案：且
点评：初中阶段涉及分式有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．
例题3 在下列四边形中，是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、等腰梯形 D、一般平行四边形
解答： 本题采用排除法.由于此题要作出双重判断，因此可以先判断出轴对称图形，再排除其中不是中心对称图形，显然，一般的平行四边形不是轴对称图形，故应排除D，而在A、B、C中，A、B是中心对称图形，故也应排除A、B，那么剩下的C符合轴对称图形，而不是中心对称图形，故应选择C。
排除法介绍：就是经过推理判断，将四个备选答案中的三个迷惑答案一一排除，剩下一个答案是正确的答案，排除法也叫筛选法。
例题4 若a>b,且c为实数，则下列各式中正确的是（ ）
A、ac>bc B、acbc2 D、ac2≥bc2
解答： 本题采用排除法. 由于C为实数，所以C可能大于0、小于0、也可能等于0。当C=0时，显然A、B、C均不成立，故应排除A、B、C。对于D来说，当C>0，C<0，C=0时，ac2≥bc2都成立，故应选D。
例题5 如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为，则点A的坐标为( )
（A） （B）
（C） （D）
解答：本题采用特殊值法。 此题将图形与坐标、旋转有机结合起来，将图形的旋转变化（动态）与准确定位（静态）有机结合起来，考查学生在图形变换过程中的观察、探究、判断能力以及数形结合思想方法的运用能力，体现了重要的思想方法重点考查的思路．认真阅读领会题意后，抓住运动的本质特点，可将本题简化为线段A'C绕着端点C逆旋转180°后，求点A的坐标；或者已知线段一个端点和中点坐标，求另一端点的坐标；或者将图形（坐标系）整体向上（向下）平移一个单位．这道题作为选择题的把关题，其难度提升在于坐标点的符号化，以此来甄别初中生符号感的水平．但解决这类含有字母的选择题时，使用特殊值法非常奏效．即将对应点的坐标特殊化，进行验证．
特殊值法介绍： 当某些题目比较抽象，作出判断比较困难时，可以在符合题目条件允许范围内，用某些特殊值代替题目中的字母，然后作出判断，解这种选择题的方法称为特殊值法。
例题6 若二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p、q为奇数，那么它的根一定为（ ）
A、奇数 B、偶数 C、分数 D、无理数
解答：本题采用特殊值法。此题关于x的方程的系数为字母p、q，虽然知道p、q为奇数，但仍比较抽象，然后再去解这个一元二次方程，它的根的情况便一目了解了。不妨设p=3,q=1则原方程变为x2+6x+2=0， 解得x=-1±， 显然这是一个无理数，故应择D。
例题7 若最简根式和是同类根式，则a、b的值为（ ）
A、a=1 b=1 B、a=1 b=-1 C、a=-1 b=-1 D、a=-1 b=1
解答：本题采用验证法。 由同在根式定义可知根指数相同，被开方数也相同，这样便可列出一个二元一次方程组，再解这个二元一次方程组，用求出的解去检验给出的a、b的值，显然比较麻烦，如采用将给出a、b的值分别代入最简根式中，再做出判断便容易多了。当把a=1、b=1代入根式后分别得出和，显然它们为同类根式，故应选A。
验证法介绍：当某些问题（如方程、函数等）解起来比较麻烦的，可以换一角度作出判断，即把给出的根，给出的点或给出的值代入方程或函数式中去进行验证，从而使问题简化，这类处理问题的方法称为验证法。
例题8 方程的解集是（ ）
A、>1 B、≥1 C、<1 D、≤1
解答: 本题采用观察法。
此方程为无理方程，如果按照一般无理方程的解法，两边平方后，左边得(-1)2 ，右边得(1-)2，发现它们是恒等式，无法求得的解。我们观察此方程：左边为 ，右边为1-，换一个角度看问题，左边是（-1）2的算术平方根，右边得1-，结果得到的应该是非负值，即1-≥0，所以≤1，故应选D。
观察法介绍：有些问题一时难以作出判断，我们可以借助图象进行观察或对代数式进行分析、观察，从而作出判断，这种方法称为观察法。
【技巧提炼】
解填空题的策略：填空题不要求写出解题的具体步骤，只要能求出答案就可以，但比较解答题来说一旦做错就不能得分，因此要想方设法求得正确答案，特别要注意检验。不能只是求得答案不化简，或求得中间答案就匆匆忙忙写上去。
解填空题的基本程序：
解选择题的策略：解选择题不要求写出写出具体过程，只要指出哪个选项是正确的即可，因此接选择题要采取灵活多样的解题方法。
常见的解法有：直接法、排除法、特殊值法、验证法、数形结合法等。由于题目千变万化，可能还有其它的方法，有时某些方法会交叉使用。因此在解选择题时，首先观察题目的特点，然后再去灵活考虑用什么方法去解较为简捷，探讨解题规律，这样才能达到解题的目的。
【体验中考】
一、填空题
1． －4的绝对值是 ，81的平方根是 ．
2．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．
3．如图所示，在长方形ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，BF∥DE．若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为 ．
4． 分解因式：a3－25a＝ ;计算：（）－1＋（π－）0－＝ .
5 .A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 种
6．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm，求CD的长 ．（ ）
7． 圆锥的底面直径为12cm，母线长为30cm，则圆锥的侧面积为 cm2(结果用π表示)．
8．不等式组的解集是 ．
9． 如图，AB∥CD,FG平分∠EFD，∠1＝70°，则∠2是 度.
10． 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为_______ ．
11、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是_______ ．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形．
13．分式方程的解为 ．
14．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S△ABC等于 ．
15． 如图，点、、、是⊙上四点，， 平分，是上一点，∥交于点，且，则点到弦的距离为 .
16． 将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第个图形有 个小圆点．
17．直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，则S△ABC ．
18． xay与－3x2yb－3是同类项，则a＋b＝ .
19 ．如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______________________．
20． 如图.从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为 。
21. 已知，求的值 。
22．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是____．
23．写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式：_________________．
24. 将直角梯形ABCD平移得梯形EFGH，若HG＝10，MC＝2，MG＝4，图中阴影部分的面积__________________．
25．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________．
26．现有点数为2，3，4，5的四张扑克牌，背面朝上洗匀，然后从中任意抽取两张，这两张牌上的数字之和为偶数的概率为______________．
27．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为________．
28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是___________________．
二、选择题
1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）.
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24
2．若函数y=（m+2）|m|-3是反比例函数，则m的值是（ ）.
A．2 B．-2 C．±2 D．±4
3. 下列说法正确的是（ ）.
A．是单项式 B、没有系数
C、是一次一项式 D、３不是单项式
4．下列关系中说法不正确的是（ ）.
A．在y=-1中，y+1与x成反比例 B．在xy=-2中，y与成正比例
C．在y=中，y与x成反比例 D．在xy=-3中，y与x成反比例
5．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.
．平行四边形 ．正方形 ．等腰梯形 ．等边三角形
6． 2009年某市生产总值为万元，用科学记数法表示为（保留3个有效数字）（ ）.
．万元 ．万元
．万元 ．万元
7. 在函数y=-的图象上有三点（-1，y1），（-，y2），（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）.
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
8． 某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ）.
9．已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
10．下列运算正确的是（ ）.
A．3a－(2a－b)=a－b B．
C． 　 D．
11．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）.
12. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2和3，圆心距O1O2＝4,则这两圆的位置关系是（ ）.
A．相交 B.相离 C．内切 D.外切
13.如图，是根据某班38名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班38名同学一周体育锻炼的时间说法正确的是（ ）.
A．极差是4 B.中位数为7 C.众数是8 D.锻炼时间超过7小时的有20人
14. 下列等式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
15. 如果=0，则等于（ ）.
A．±2 B．－2 C．2 D．3
16．我省2009年全年生产总值比2008年增长10.7%，达到约19367亿元．19367亿元用科学记数法表示为（ ）.
A．元 B．元
C．元 D．元
17. 已知，（ ）.
A． B、 C、 D、
18．在某次体育测试中，九年级三班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，1.85，1.96，2.10，2.31．则这组数据的众数和极差分别是（ ）.
A．1.85和0.21 B． 2.11和0.46
C．1.85和0.60 D． 2.31和0.6
19．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（ ）.
A． 3个 B． 2个
C． 1个 D． 0个
20. 方程的根是（ ）.
A． B．
C． D．
21． 实数a，b满足ab=1，记M=+，N=+，则M、N的大小关系为（ ）.
A．M>N B．M=N C．M22．在方程组中若未知数x、y满足x+y≥0，则m的取值范围在数轴上表示应是（ ）.
23．如图，如果AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，那么下列结论中正确的个数是（ ）.
（1）∠1＝∠B；（2）∠A＝∠3；（3）AC∥DE；（4）∠2与∠B互余；
（5）∠2＝∠A；（6）A、C两点之间的距离就是线段AC的长；
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
24. a、b是不相等的任意正数，又，，则x、y这两个数一定是（ ）
A． 都不大于2 B． 都不小于2 C． 至少有一个大于2 D． 至少有一个小于2
25. 已知点N(3a-2,4-a)到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，则a的值为（ ）.
A．a=0 B． a=-1 C．a=0或a= D． a=
26．等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为（ ）.
A、 13 B、 17 C、 13或17 D、 不能确定
27.已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）.
x －2 －1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 －1 －2
A、x<0 B、x>0 C、x<1 D、x>1
28．如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌，可能的情形有（ ）.
A．1种 B．2种 C．4种 D．3种
29．方程的正整数解的个数是（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：
一、填空题
1．详解：本题属于基础题，主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．
负数的绝对值是它的相反数，即－4的相反数是4；正数的平方根有两个，而且是互为相反数，即81的平方根是±9。
2．详解： 75° 该题入口宽，解法灵活，涉及的基本图形可归结为四边形内角和 ( 四边形的内角和.gsp )问题．如图，在演变过程中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°保持不变．若引入有向角（方向的该变量，逆时针为正，顺时针为负），则可将问题推广到任意星型角的求和问题，即沿着星型角的边运动，方向的该变量的代数和等于自转的角度．
三角板是学生最为熟悉的工具，用一副三角板（角的特征和边的关系），或者相同的三角板进行组合图形，或者作图形变换，可以演变出非常丰富精彩的数学问题，基于它的低起点、高落点、可操作等特点，三角板问题已为中考数学的热点问题，近几年的中考数学试题中就频繁出现．平时多摆弄三角板，通过拼、凑、叠、平移和旋转等变换，多猜想、多探讨、多思考、多研究．
3．详解： AB=7cm，且AE：EB=5：2
∴EB=2 cm
又BF∥DE．
∴四边形EBFD是平行四边形
则阴影部分的面积为EB×AD=24 （cm2）
4．详解：分解因式a3－25a ，一提公因式得a（a2－25a），二套平方差公式得a(a＋5)(a－5)；一个数的负一次方等它的倒数，则（）－1=3，任何除0以外的实数的0次方都是1 ，则（π－）0=1，算术平方根是指一个正数的正的平方根，则==4，原式=3+1-4=0
本题是对基本运算能力的考查，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运算的基础，因式分解的步骤，一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式），三分组（对于不能直接提公因式和套公式的题目，我们可将多项式先分成几组后后，分组因式分解）．后半部分主要考查实数的混合运算，要正确、灵活地应用零指数、负整数指数等等．
5详解：能使四边形ABCD是平行四边形的选法有
①AB∥CD、②AB=CD：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
①AB∥CD、④BC∥AD：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②AB=CD、 ③BC=AD：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③BC=AD、 ④BC∥AD：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6．详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC．
∴S□ABCD=BC·AE=CD·AF，
即8×3=CD×4，
∴CD=6cm．
7．详解：圆锥的底面周长C= πd=12π，圆锥的侧面积S=cl=×12π×30=180π，本题是一个简单的考查圆锥的侧面积，属于基础题．
8．详解：解不等式①，得：x＜3；解不等式②，得：x≥1，所以不等式组的解集为1≤x＜3．
解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
9．详解： 由AB∥CD得∠EFD=∠1=70°，由FG平分∠EFD得，∠2是35度．
主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），属简单题
10．详解：若4为腰长，由于4+4＜9 ，则三角形不存在；若9为腰长，则这个三角形的周长为9+9+4=22
看起来这题是有两种情况，两个答案，但是实际上，另外一种情况是不成立的．
11、详解：画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，
由 A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道
AC=3, BC=3 ,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18， 因此AB=
12．详解：多边形的外角和是360°，因为内角和是外角和的2倍，所以内角和为720°，由(n－2)×180°=720°，得n=6
主要考查多边形外角和与内角和公式，熟记公式，可提高解题速度
13．详解：先确定最简公分母 x2―1，去分母得x―1―6（x+1）=3，化分式方程为整式方程求解得x=―2
本题属于基础题，主要考查分式方程的解法，容易出错的地方有两处，一是1―x忘记乘以－1；二是去括号时－6与+1相乘时，忘记变符号，信度相当好
14．详解：本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：
（1） 若高CD在△ABC的内部，如图
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3
在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1
∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=
（2） 若高CD在△ABC的外部，如图
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3
在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1
则S△ABC=AB×CD=（3-1）×=
∴S△ABC=或
中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。
15．详解：由，得∠ABD=30°，又由平分，得∠DBC=30°．过点E做EF⊥BD，垂足为F．BF=5×cos30°=，则BP等于5．则点P到弦AB的距离为BP·sin30°,等于． 当然此题也可以过点P做BC的垂线，利用角平分线的性质来解．
本题巧妙将圆周角 特殊角的三角函数 全等三角形等知识综合在一起，需要考生对以上知识点融会贯通，巧妙运用．是一道难度较大的综合题．
16．详解：先观察每个图形的最外侧都有4个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，则有第1个图形中有个4+1×2=6小圆点，第2个图形中有4+2×3=10个小圆点，第3个图形中有4+3×4=16个小圆点，第4个图形中有4+4×5=24个小圆点，依次规律，第6个图形有4+6×7=46个小圆点，第个图形有4+n（n+1）个小圆点．
规律探索问题在中考试卷中频频出现,成为中考试卷中的一个亮点.解决这类问题,往往需要我们展开观察、试验、类比、归纳、猜想等一系列的探索活动.
17．详解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以S△AOC=S△BOC。
设点A坐标为（x1，y1），则x1y1=-6，且由题意AC=│x1│，OC=│y1│。
故S△AOC=AC·OC=│x1y1│=×6=3，从而S△ABC=2S△AOC=6。
知识点：从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=│k│。
18．详解：由xay与－3x2yb－3是同类项，得a=2,b－3=1则b=4,所以a＋b=6
本题主要考查了同类项的概念，注意同类项只与字母和字母的指数有关，与系数的大小无关．
19 ．详解： 解答本题需要连结AE，判定扇形角的度数．该题将圆与矩形结合在一起，涉及到矩形、扇形、45°角直角三角形的性质及其面积计算，考察了学生的观察、分析、转化能力和对立统一、数形结合等思想方法的运用．此题出错的因素有两点，一是不会添加辅助线；二是结论合成化简（没必要）出错．
20．详解 ：由题意得∠A=30°，∠B=60°，AD==150,BD==50,则AB=AD+BD=150+50= 200
知识点： 解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，面对这些边角关系要注意横向和纵向联系，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力．
21. 详解：设=k，则x=2k、y=3k、z=4k
所以 。
知识点:化多个字母为一个字母，这样分子与分母就归为一个字母，从而可以约分和化简，这是我们常用的消元归一的数学思想。
22．详解： 本题考查数感、数学估算能力、数形结合思想．
23．详解：答案不唯一，如y＝x等．
此题涉及到函数知识的考查，同时又是结论开放性试题，给学生足够的自由选择的空间，使得不同程度的学生都可以在这道题上得以发挥．该题出现学生书写含有字母系数或常数项的现象，只要给出字母的控制条件，使得解析式符合题目要求就应该给分．
24. 详解：通过观察图形我们可以看到阴影部分是一个不规则图形，且边长不知。因此必须将此阴影部分面积转化为其它图形的面积来求。我们注意到梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，因此有
S阴影＝S四边形ABCD－S四边形EDMF=S四边形EFGH-S四边形EDMF=S四边形DMGH。
因为梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，因此有
S阴影＝S四边形ABCD－S四边形EDMF=S四边形EFGH-S四边形EDMF=S四边形DMGH
=（8+10）×4＝36。
25．详解： 29° 本题考查直线与圆相切的性质、直角三角形锐角互余、圆周角与圆心角的关系等知识点，常规题型，难度适中，若“点D是上异于点C、A的一点”改为“点D是圆周上异于点C、A的一点”，会出现两种情况．多解问题多考查学生思维的缜密性，学生漏解的根本原因多是对问题考虑不周，这需要引导学生加深对数学知识本质的理解，增加多解问题的知识积累．
26．详解： 概率与统计在人们生活中的重要作用决定了它成为《数学课程标准》中不可缺少的组成部分．本题从以下两方面体现了课标的要求：一是按照概率这个数学分支发展起源的特点，本题背景“抽取扑克牌”具有明显的游戏色彩，符合概率的定义；二是解答本题需要用到列表或画树状图的基本方法．背景为考生所熟悉，问题设置难易适中．本题易错点是确定是否重复抽取．
27．详解：7 “视图”是以在“视”的基础上的“对应”为特征，建立起三维的几何体与二维的平面图形之间的对应关系；本题给出三视图中的主、左两视图，逆向考查其直观图的特征，适当地加大了对学生空间观念的考查力度，解题时需要在大脑中模拟主视、左视二种可视活动，同时也考察了学生的观察能力、归纳概括能力和逆向思维能力，题目立足课本，背景公平自然，也促进我们的数学课堂要关注具体的数学活动过程，给学生积累思维的基础．
28．详解： 2≤AD＜3
虽然本题题干只涉及到30°角的直角三角形和相等线段，问题呈现简单明了，但却蕴涵丰富，体现了在知识的交汇点、以能力立意的命题理念，考查学生在几何图形的运动变化中，探索发现确定特殊位置的能力，渗透了动与静既对立又统一的辩证思想，使学生活跃思维、升华认知．解决本题的关键是确定2≤AD．
二、选择题
1.详解：A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，
a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，
所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．
B． a2-b2=c2 即a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形．
C．a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2，所以a2 +c2= b2，这个三角形是直角三角形．
D． a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。
2.详解:A. 反比例函数（k≠0）的另一种表达式是（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m+2≠0且|m|-3＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现|m|-3＝1的错误。
解得m＝2。
3.详解：单项式是指数或字母的积，是系数和字母的积; 的系数为1；
和3都是常数，是单项式，但不是一次。
4．详解：C。 两个量的积是一个定值，这样的两个量叫成反比例的量。两个量是否成反比例，关键是看这两个量的积是否是一个定值．从题中可以看出A中的y+1与x之积为-1，C中的y与x2的积为，但y与x的积不是定值，所以C是错误的。
5．详解： ，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形的是 ；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．
本题将两个简易的知识点，轴对称图形和中心对称图形组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉及的轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合；中心对称图形是指这个图形绕着对称中心旋转180°后仍然能和这个图形重合的图形．
6．详解： ， 13465000可表示为1.3465×10000000，100000＝107，因此13465000＝1.3465×107．再保留3个有效数字为1.35×107
科学记数法是每年中考试卷中的必考问题，把一个数写成a×10的形式（其中1≤＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法），其方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．另外有效数字指从该数左边第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的数．
7.详解： C， 由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为（-1，y1），（-，y2），在第二象限，且-＞－1，故y2＞y1＞0；又（，y3）在第四象限，则y3＜0，所以y2＞y1＞0＞y3.所以选C。
对于函数值与自变量值的对应关系，前提是在每个象限内，本题给出的三个点不在同一象限内，所以不能简单地用“y随x的增大而增大”，这是容易疏忽的地方。另外，本题也可由已知各点的自变量的值，求出相应的函数值来比较大小。
8．详解：若设原计划每天挖x米，则开工后每天挖（x+1）米，那么原计划用的时间为 ，开工后用的时间为，因为提前3天完成任务，所以得
考查了列分式方程解应用题中的工程问题，解答本题的关键是弄清工作效率、工作时间、工作总量三者之间的关系．
9．详解： A. 当k＜0,-k＞0，此时双曲线位于第一、三象限，直线过二、四象限，与y轴的交点在y轴的负半轴上, 所以C不可能。当k＞0，-k＜0, 此时双曲线位于第二、四象限，直线过一、三象限，与y轴的交点在y轴的正半轴上, 所以B、D都不可能。所以可能的只有A。
10．详解：D A项中去括号时，要按照去括号法则，将括号前的－1与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，－1与－b相乘时，应该是＋b而不是－b；B项中多项式除以单项式，先把这个多项式的每 一项除以这个单项式，再把所得的商相加，应等于a2b－2a；C项是平方差公式的a2－4b2 ；D项是积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，答案正确．
涉及到此类题目，关键是理解并掌握法则及公式，需要考生具备一定的思维能力．本题难度中等，只要细心，很容易拿分．
11．详解：Ｄ A项中圆柱的主视图与俯视图都是矩形；B项中正方体的主视图与俯视图都是正方形；C项中球的主视图与俯视图都是圆；D项中圆锥的主视图是三角形而俯视图是圆．
本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及三种视图之间关系的理解，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．
12.详解：Ａ 因为3﹣2<4<3+2，所以这两圆的位置关系是相交
考查两圆的位置关系，即圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．主要是熟记此表格，属基础题．
两圆的位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
d与R、r的关系 d>R+r d=R+r R－r13.详解：Ｄ A项中极差是9﹣6=3；B项中中位数为第19和第20个数的平均数，即 ；C项中参加体育锻炼的时间7小时的人最多，所以众数是7；D项中锻炼时间超过7小时的有13+7=20人
本题考查条形图，解题关键是统计图中获取所需数据
14.详解： D
A ． 分子与分母分别乘以的是x和y，不正确；
B． 分子乘以了y,分母加了x,不正确；
C． 分子与分母都加上了a,不正确；
D. 的变形相当于分子与分母同时乘以了(a+1)，因为，所以a+1不等于0，所以D的变形是正确的。所以选D。
知识点：分式的分子与分母同乘以或除以同一个不为0 的数或式子，分式的值不变。
15.详解： C 由题意得：，解得x=2。
∴当x=2 时，分式的值为零。所以选C。
知识点: 要使分式的值为零，必须使分子为零，且分母的值不为零。
16．详解：B
该知识点自05年实行课改以来，除09年以外，每年都要考查，这里结合经济发展实际，旨在使学生的解题过程成为一个知识信息生成的过程，具有教育性和现实意义．该知识点需要注意单位和小数的科学计数法表示．
知识点: 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数．
17.详解： C 特殊值法，本题可以选取a=3，b=4代入就可以求出，所以选C。要注意的是，所选的特殊情况是否符合题目的大前提。
18．详解： C 通过体育测试这样一个每位学生都熟知的学生生活的情景进行设置，极具公平性．直接考查众数、极差等统计知识，具有一定的概括性，体现了统计来源于生活、应用于生活的思想．
知识点: 探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度．
19．详解： A 涉及三角形中位线的图形是一个重要的基本图形，其蕴涵的数学知识点较多，综合性较强，但难度又不大，因此常被命题人眷顾，此题涵盖了中位线性质、三角形相似、比例线段等知识，是一道非常好的题目．
20. 详解： D 本题是最基本的一元二次方程的求解，旨在考查解一元二次方程的基本方法和基本解题过程．
21．详解： B 运用求差比较法进行比较
M-N=+-(+)=＝，
所以M=N。
22．详解： D 把方程组中的两个方程相加得3x+3y=3-m
因为未知数x、y满足x+y≥0，所以3-m≥0
解得m≤3
知识点：正确理解题目的意义建立不等式，把应用问题转化为解不等式的问题.
23．详解：B
（1）因为∠1+∠3=90 ，∠B+∠3=90 ，所以∠1＝∠B；正确。
（2）∠1+∠3=90 ，∠A+∠1=90 ，所以∠A＝∠3；正确。
（3）因为∠1＝∠2，所以AC∥DE；内错角相等，两直线平行，正确。
（4）因为∠2+∠3=90 ，∠B+∠3=90 ，所以∠2＝∠B；∠2与∠B互余是错的。
（5）∠2与∠B互余；∠2＝∠A；是错的。
（6）两点之间的距离是连接两点的线段的长度，所以A、C两点之间的距离就是线段AC的长。正确。
所以正确的有（1）∠1＝∠B；（2）∠A＝∠3；（3）AC∥DE；（6）A、C两点之间的距离就是线段AC的长；共4个。选B。
详解：C 不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝ ，从而排除A、B，
再取a＝3，b＝4，得， ，从而排除D，故选C.
用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案．
25. 详解： C 点N(3a-2,4-a)到x轴的距离等于，点N(3a-2,4-a)到y轴的距离，
根据题意得=2，解得a=0或a=。
26．详解：B 当相等的两条边是3 ，第三条边是7时，3＋3＜7，这样的三条线段不能构成三角形；当相等的两条边是7，第三条边是3 时，7＋3＞7，7＋7＞3，满足三角形三边关系，那么这个三角形的周长是7＋3+7=17。
27. 详解：D。 根据表格中的数据可知当x=1时，y=kx+b=0，而当x>1时，y=kx+b<0，所以答案选择D。
28．详解：A 设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正十二边形的角。
因为正三角形的每个内角60°，正十二边形每个内角150°
所以因此用正三角形和正十二边形镶嵌,只能有1种情况.
知识点：在用同一种正多边形进行平面镶嵌时，若其内角度数能整除360 则可以镶嵌，反之则不能镶嵌；用两种正多边形能否铺满平面，要看能否找到所取每个正多边形的几个内角的和恰好为一个周角.
29．详解：C 方程可变形为，y可取3、6
方程的正整数解是两个
知识点：一般的二元一次方程有无数个解，但他的特定解可能只有几个。
A'
y
C
A
B
O
B'
x
1
A
B
C
D
E
0
1
2
1
2
3
4
5
A
B
C
D
O
主视图
左视图
A
D
C
B
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D2
D1
A
B1
C
D
B2专题12——方案设计问题
【备考点睛】
方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点.
方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。
【经典例题】
类型一 利用不等式进行设计
例题1 （2010 福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案 并直接写出其中获利最大的购货方案.
甲 乙
进价(元/件) 15 35
售价(元/件) 20 45
解答：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.
根据题意，得 解得：
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160-a)件.
根据题意，得
解不等式组，得 65＜a＜68 .
∵a为非负整数，∴a取66，67.
∴ 160-a相应取94，93.
答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.
例题2 整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？
解答：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．
则根据题意列方程组得：
解之得：
5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元）
答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元
（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：
解之得：
则x可取：58，59，60，此时100-x的值分别是：42，41，40
有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；
第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；
第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；
类型二 利用二次函数进行设计
例题3 （2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
解答：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，
w外 = x2＋（150）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
例题4 （2010湖北恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
解答：（1）由题意得与之间的函数关系式为
＝
=（≤≤110，且为整数）
（2）由题意得：-10×2000-340=22500
解方程得：=50 =150（不合题意，舍去）
李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。
（2）设最大利润为，由题意得
=-10 ×2000-340
当时，
100天＜110天
存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．
类型三 利用几何知识进行设计
例题5．（2010湖北恩施自治州）(1)计算:如图①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）.
（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.
（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）
解答：(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，
∴OO=OO=OO=a
又∵OA= OA
∴OA⊥OO
∴OA=
=
（2） =
=，
方案二装运钢管最多。即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.
根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，
设钢管的放置层数为n,可得
解得
∵ 为正整数 ∴=35
钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）
类型四 利用一次函数进行设计
例题6．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
解答：（1）设按优惠方法①购买需用元，按优惠方法②购买需用元
．
（2）设，即，
．当整数时，选择优惠方法②．
设，∴当时，选择优惠方法①，②均可．
∴当整数时，选择优惠方法①．
（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而，
购买方案一：用优惠方法①购买，需元；
购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，
需要=80元，同时获赠4支水性笔；
用优惠方法②购买8支水性笔，需要元．
共需80+36=116元．显然116<120．
最佳购买方案是：
用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．
例题7．（2010黑龙江绥化）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品.若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元.
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件 B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
解答：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元
则
∴解方程组得
∴购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
∴
解得20≤y≤25
∵y为正整数 ∴共有6种进货方案
（3）设总利润为W元
W ＝20x＋30y＝20(200－2 y)＋30y
＝－10 y ＋4000 (20≤y≤25)
∵－10＜0∴W随y的增大而减小
∴当y＝20时，W有最大值
W最大＝－10×20＋4000＝3800(元)
∴ 当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元
类型之五 利用概率大小进行设计
例题8． 在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）．
（1）小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是 （填字母代号）；
（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图（只须画出一种）；
（3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器．若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少？（请画树状图或列表计算）
解答：（1）根据轴对称图形的定义可知，图形B，C是轴对称图形；（2）因为B，C是轴对称图形，所以可将B，C进行组合，注意使它们具有相同的对称轴即可；（3）先通过画树状图或列表列举出所有等可能的结果，再逐一判断每个结果是否可拼成轴对称图案，在此基础上，求出相应概率．
详解：（1）B，C；（2）如：
（3）画树状图：
或列表：
A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
…
一共有9种等可能的结果，而其中能恰好拼成轴对称图形的结果有五种，分别是(A,A) 、(B,B)、(C,C)、(B,C)、(C,B)，∴P（两件文具可以拼成一个轴对称图案）＝．
【技巧提炼】
方案设计问题就其解决的方法和所具备的数学知识而言，主要涉及到几何、函数、方程、不等式以及概率等。其主要特征大多是要求在众多的可行性方案中确定最佳的方案，尤其是利润最大、成本最低最为突出。
解决方案设计问题的一般步骤：
阅读，了解问题的背景和要求；
观察，结合生活经验寻找问题的等量与不等量关系；
建模，应用数学知识将问题转化为数学问题；
解模，求解相关的数学问题；
作答，根据实际意义，对所获得的结论进行归纳、探索和比较，确定符合题目要求的最佳方案。
【体验中考】
1．（2010黑龙江绥化）现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
2. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）.
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3．（2010广西河池）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
4．（2010四川眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？
（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？
5．（2010 重庆江津）　端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种．
(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法求选购方案)；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的概率是多少？
(3) 现某中学准备购买两个品种的粽子共32盒(价格如下表所示)，发给学校的“留守儿童”，让他们过一个愉快的端午节，其中指定购买了甲厂家的高档粽子，再从乙厂家购买一个品种。若恰好用了1200元，请问购买了甲厂家的高档粽子多少盒？
6．（2010四川广安）某学校花台上有一块形如右图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖 测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由
7．（2010鄂尔多斯）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。
（1）改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造。改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学样的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所。
8．（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元
（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于lOO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案
9．（2010四川广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为l0亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60％，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表
小麦 玉米 黄豆
亩产量(千克) 400 600 220
销售单价(元／千克) 2 1 2．5
(1) 设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
(2) 在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案
(3) 在(2)中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高 最高价是多少
10．（2010四川攀枝花）我市某西瓜产地组织40辆汽车装运完A、B、C三种西瓜共200吨到外地销售，按计划，40辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种西瓜，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
西 瓜 种 类 A B C
每辆汽车运载量（吨） 4 5 6
每吨西瓜获利（百元） 16 10 12
(1)设装运A种西瓜的车数为x,装运B种西瓜的车数为y,求y与x的函数关系式。
（2）如果装运每种西瓜的车辆数都不少于10辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案。
（3）若要使此次销售获利达到预期利润25万元，应采取哪样的车辆安排方案？。
11. （莆田市）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案： ( http: / / www. )
方案（1）：如图（1）所示，两个出入口E、F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（2）：如图（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法. ( http: / / www. )
12. 近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？
13.为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元．
（1）改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的类学校不超过5所，则类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县、两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
14.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
15.（南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
16. 图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
具体要求如下：
17.迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
答案：
1．【答案】B
2.【答案】A
3．【答案】（1）解法一: 设饮用水有x件，则蔬菜有件. 依题意，得
解这个方程，得 ，
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．
解法二：设饮用水有x件，蔬菜有件. 依题意，得
解这个方程组，得
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．
（注：用算术方法解答正确同样本小题给满分．）
（2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆.依题意，得
解这个不等式组，得 为整数，∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆．
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360＝2960元；②3×400+5×360＝3000元；③4×400+4×360＝3040元．
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答: 运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元.
4．【答案】（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗尾，由题意得：
解这个方程，得：
∴
答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾．
（2）由题意得：
解这个不等式，得：
即购买甲种鱼苗应不少于2000尾．
（3）设购买鱼苗的总费用为y，则
由题意，有
解得：
在中
∵，∴y随x的增大而减少
∴当时，．
即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．
5．【答案】 (1) 树状图如下： 列表如下：
共有6种选购方案：(高，精)，（高，简），（中，精），（中，简），（低，精），（低，简）．
　　(2) 因为先选中高档粽子有2种方案，即(高，精)（高，简），所以高档粽子被选中的概率是
(3) 由(2)可知，当选用方案(高，精)时，设购买高档粽子、精装粽子分别为，盒，根据题意，得
解得经检验不符合题意，舍去；
当选用方案（高，简）时，设购买高档粽子、简装粽子分别为，盒，根据题意，得
解得﹛
答：该中学购买了14盒高档粽子．
6．【答案】测量方案不唯一，如：⑴用量角器分别量出∠A、∠B的大小⑵用尺子量出AB的长，根据这三个数据加工的地砖能符合要求，理由是用“边角边公理”得不予考虑这两个三角形全等。
7．【答案】（1）设改造一的A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，则
解之得
答：设改造一的A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元。
（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8-a）所，则
解得
所以1≤a≤3即a=1，2，3
答：有三种方案。方案一：A类学校1所，B类学校7所
方案二：A类学校2所，B类学校2所
方案三：A类学校3所，B类学校5所
8．【答案】（1）解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x－8)元．根据题意得：
3 x +2(x－8)＝124
解得：x＝28．
∴ x－8＝20．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）解：设昀买书包y个，则购买词典(40－y)本．根据题意得：
解得：10≤y≤12.5．
因为y取整数，所以y的值为10或11或12．
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．
9．【答案】(1) 种小麦需 10×60％=6亩，种种玉米、黄豆共4亩，黄豆种植面积为（4－x）亩，=；
(2)x取正整数，所以x可取0、1、2、3、4共有5种方案；
(3) y随x的增大而增大，所以当x=4时，y最大，最大为7200元。
10．【答案】（1）由题意，装运A种西瓜的车数为x,装运B种西瓜的车数为y, 则装运C种西瓜的车数为(40-x-y). 则有：4x+5y+6(40-x-y) =200
整理得：y=40-2x
由（1）知，装运A、B、C三种西瓜的车数
种类方案 A B C
方案一（辆） 10 20 10
方案二（辆） 11 18 11
方案三（辆） 12 16 12
方案四（辆） 13 14 13
方案五（辆） 14 12 14
方案六（辆） 15 10 15
分别为x、40-2x、x
由题意得， ，解得10≤x≤15
∵x为整数，∴x的值是10、11、12、13、14、15
∴安排方案有6种：
（3）设利润为W（百元），则
W=4x×16+5(40-2x)×10+6x×12=2000+36x
由已知得：2000+36x≥2500 ，∴x≥13
则ｘ＝14或15，故选方案五或方案六。
11. 方案（1）
画法1：（1）过F作FH∥AD交AD于点H；（2）在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法2：（1）过F作FH∥AB交AD于点H；（2）过E作EG∥AD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形
画法3：（1）在AD上取一点H，使DH=CF；（2）在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形
方案（2）画法：（1）过M点作MP∥AB交AD于点P，
（2）在AB上取一点Q，连接PQ，
（3）过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM、PN、MN则四边形QMNP就是所要画的四边形
12.（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y 天．
根据题意得
解这个方程组得x=30,y=120 .
经检验x=30,y=120是方程组的解．
（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元，
根据题意，得
解这个方程组得m=135,n=60 .
13. 解：（1）设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元．依题意得：
解之得
答：改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．
（2）设该县有、两类学校分别为所和所．则
∵类学校不超过5所
∴
∴
即：类学校至少有15所．
（3）设今年改造类学校所，则改造类学校为所，依题意得：
解之得
∵取整数
∴
即：共有4种方案．
14.方法一解：（1）
（2）证明：大正方形的面积表示为
大正方形的面积也可表示为
，
，
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：（1）
（2）证明：大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：
，
，
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15. 解：（1）理由如下：∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm．
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，
∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
， ① ． ②
由①②，可得，．故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．
16. 解：如图（a）、图（b）、图（c）．
17. 解：设搭配A种造型x个，则B种造型为个，
依题意，得：解得：，∴
∵x是整数，x可取31、32、33，
∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．
（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）
方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；
方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；
方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．
开始
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(A,A) (A,B) (A,C) (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (C,C)
小红
小明
A
C
B
方案一
A
B
C
D
方案二
A
B
C
D
·
O1
·
O2
（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形
图（a）
（2）画一个面积为10的等腰直角三角形
图（b）
（3）画一个一边长为，面积为6的等腰三角形
图（c）
a
b
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a
a
b
c
图（a）
图（b）
图（c）专题5——应用型问题
【备考点睛】
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用性问题成为中考必考、频考考点之一。因应用性问题的非数学背景是多种多样的，解决这类问题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化相应的数学问题，因此应用性问题成为每位学生的一道难题。
根据应用的数学模型不同，应用性问题可分为方程的应用问题、不等式的应用问题、函数的应用问题、三角函数的应用问题、几何知识的应用问题……，解决这类问题的能力要求较高：能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：①由现实情意（非数学），抽象概括出数学问题，②进而解决数学问题，使原问题获解。其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。
【经典例题】
类型一、化归到方程模型解决问题
例题1 （2010浙江绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
解答：（1）∵ 30 000÷5 000＝6, ∴ 能租出24间.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则
（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，
2 x 2－11x＋5＝0， ∴ x＝5或0.5，
∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
例题2 （2010江苏盐城）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
解答：解法一：求两个班人均捐款各多少元？
设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得
·90%=
解得x=36 经检验x=36是原方程的根
∴x+4=40
答：1班人均捐36元，2班人均捐40元
解法二：求两个班人数各多少人？
设1班有x人，则根据题意得
+4=
解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根
∴90x % =45
答：1班有50人，2班有45人
例题3（2010山东烟台）去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井大的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？
解答：：设原计划每天打x口井，
由题意可列方程30/x-30/(x+3)=5,
去分母得，30（x+3）-30x=5x(x+3),
整理得，x2+3x-18=0
解得x1=3，x2=-6（不合题意舍去）
经检验，x2=3是方程的根，
答：原计划每天打3口井
例题4 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．
解答：从对话内容中找出量与量之间的相等关系（即：同样的钱加的油量不同），是列方程解应用题的关键.
解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题意，得
整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0
解这个方程，得x1=4.8，x2=-3分
经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．分
答：今年5月份的汽油价格为4.8元／升．
列分式方程解应用题应注意两点，一是要验根；二是要看结果是否符合题意.
例题5 某高速公路收费站，有辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？
解答：分析：第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值”，当然考虑去构造方程。
第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。
解：设每分钟新来的汽车辆，每个窗口每分钟收费通过辆汽车，则
设需开放个窗口，使在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，则
， 解得。
因为窗口个数为正整数，所以需开窗口5个。
例题6 有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人．一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校．
　　（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
　　（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
解答：（1）∵　＋7＝19＞15，
∴　王老师应选择绕道而行去学校．
（2）设维持秩序时间为t
则－（t＋）＝6，
解之得t＝3（分）．
　　答：维持好秩序的时间是3分钟．
类型二、化归到不等式模型解决问题
例题7（2010山东青岛）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
解答：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
,
解得：.
∴（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得：
，
解这个不等式组，得．
∵y取正整数，
∴y = 2.
∴4－y = 4－2 = 2.
∴320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
例题8（2010四川眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？
（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？
解答：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗尾，由题意得：
解这个方程，得：
∴
答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾．
（2）由题意得：
解这个不等式，得：
即购买甲种鱼苗应不少于2000尾．
（3）设购买鱼苗的总费用为y，则
由题意，有
解得：
在中
∵，∴y随x的增大而减少
∴当时，．
即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．
例题9（2010江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？
解答：设调进绿豆x吨，根据题意，得
解得 600≤x≤800.
答：调进绿豆的吨数应不少于600吨，并且不超过800吨．
类型三、化归到函数模型解决问题
例题10（2010 浙江台州市）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．
解答：（1）①当0≤≤6时，
；
②当6＜≤14时，
设，
∵图象过（6，600），（14，0）两点，
∴ 解得
∴．
∴
（2）当时，，
（千米/小时）．
例题11．（2010 广东珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.
(1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台.
①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；
②求出y与x的函数关系式；
(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
解答：（1）①丙种柴油发电机的数量为10-x-y
② ∵4x+3y+2(10-x-y)=32
∴y=12-2x
(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台
W=130x+120(12-2x)+100(x-2)
=-10x+1240
依题意解不等式组 得：3≤x≤5.5
∵x为正整数 ∴x=3,4,5
∵W随x的增大而减少 ∴当x=5时 ，W最少为-10×5+1240=1190（元）
例题12． 王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60的正方形板子，另一块是上底为30，下底为120高为60的直角梯形板子（如图（1），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形所围成的区域（如图（2），由于受材料纹理的限制，要求裁处的矩形要以点B为一个顶点。
（1）利用图（2）求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（2）若想裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
解答：在搞清背景图形各有关数量的情况下，对于问题（1），需对三类矩形的面积做比较（如图2`），而其中的矩形的面积显然是的函数，因此，本题的核心是建立出这个函数并求其最大值。
对于（2），从变动的矩形中确定出正方形，自然也要借助上述函数。
解：（1）在图（2）中，易知∽，且 ，
。
①当点B所对的顶点到BC的距离为60时（即该顶点在线段AE上，），这些矩形中面积最大的就是矩形，其面积等于（）
②当点B所对的顶点到BC的距离等于或小于40时，且该顶点在FC上，
显然，在这些矩形中，面积最大的就是矩形，
③当点B所对的顶点Q在线段EF上时，
矩形为，。
∽，
，即
。 （2`）
。
可知当时，的面积最大为。此时的点Q即为点F。
综上可知： 当时，也即矩形为时，面积最大为。
（2）面积最大的正方形应当在（1）中③的矩形中，这时应有
，解得（舍去），。
面积最大的正方形的边长为。
在本题，及时地认识到并正确地建立出矩形的面积关于的函数，是获解的关键。
例题13 小杰到学校食堂买饭，看到A，B两个窗口前排队的人一相样多（设为人，），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所需
的时间是多少（用含的代数式表示）？
此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面
重新排队，且到达B窗口的所花的时间比继续在A窗口排队到达
A窗口所花的时间少，求的取值范围（ 不考虑其它因素）。
解答：首先认识到：小杰无论是在A窗口还是在B窗口排队，
他到达窗口所需的时间都决定于已排队的人数，因此，
本题实际上是个“函数”问题；其次， 这两个函数都好求出，
即表示成的代数式；最后，借助于两个函数（即两个代数式）
的关系，求出自变量的取值范围。
解：（1）；
（2）若此时转到B窗口，则到窗口时共用时间：；
令，解得。的取值范围为。
当时，小杰到B窗口比在A窗口用的时间少。
本题中两个代数式的建立，是“函数思想”的一种体现。
例题14．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
解答：⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，；
⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；
⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．
例题15． 一园林设计师要使用长度为4的材料建造如图（1）所示的花圃。该花辅是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图（2）所示。它是以 点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大。
（1）求使图（1）花圃面积为最大时的值及此时花圃面积，其中分别为大圆和小圆的半径。
（2）若，求使图（2）面积为最大时值。
解答：在图（2）中，扇环图形的周长是确定的，所以其圆心角和扇形的面积S都随值的确定而确定，因此，他们都是的函数！认清楚了这一点，剩下的问题都可依几何计算和函数的性质来解决了。
（1） （2）
解：（1）若使形如图（1）花圃面积为最大，则必定要求图（2）扇环面积最大。
设图（2）扇环的圆心角为，面积为S，根据题意得：
。 。
HYPERLINK "http://"
HYPERLINK "http://" 。
式中在时为最大，最大值为。
花圃面积最大时的值为，最大面积为。
（2）当时，S取值最大。
。
HYPERLINK "http://" （度）。
在本题，能否认识到S是的函数，是解法能否启动的关键！我们年，用函数解决实际问题，
例题16．（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.
（1）直接写出与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，
这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
解答：（1）
（2）依题意得：
解得：25≤x≤40
（3）∵
∴
而25<35<40, ∴当x=35时，
即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
类型三、化归到几何模型解决问题
例题17．（2010 内蒙古包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
解答：（1）①∵秒，
∴厘米，
∵厘米，点为的中点，
∴厘米．
又∵厘米，
∴厘米，
∴．
又∵，
∴，
∴．
②∵， ∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
例题18．马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
解答：
（1）由三角形的中位线性质可知，狮子能将公鸡送到吊环上；
（2）由相似三角形性质，通过对应边成比例，问题得解.
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
如图1，当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，
∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米）
∴QH＝2.4＞2（米）．
（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），
狮子刚好能将公鸡送到吊环上
如图2，△PAB∽△PQH，
∴QH＝3AH＝3.6（米）
构造三角形，利用三角形的性质解决应用形问题，是中考的命题热点之一.
【技巧提炼】
“由非数学到数学”，就是将实际问题归属到对应的数学模型，是化归思想的典型表现，绝大多数情况下，或化归到函数模型，或化归到方程（不等式）模型，或化归到基本图形（特别是直角三角形）模型，或者以上的综合，因此，可以这样说：解应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力。
解决应用性问题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括、利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其一般思路可表示如下：
解决应用性问题的一般程序：
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系。应用题文字表达是必不可少的，疏通文字、阅读理解题意是入门的第一关。
（2）建：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。解应用题的根本是“建模”，熟悉基本数学模型，正确简便地建立数学模型是关键的一关。
（3）解：求解数学模型，得到数学结论。解数学模型应注意两点：第一，充分注意到这个数学问题中元素的实际意义。第二，注意巧思妙作，简化过程。不要将实际问题的数学模型解决与繁琐的过程划上等号。
（4）答：将数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。
解决应用性问题的关键是正确理解题意，排除一切非数学因素的干扰，努力读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系，然后捕捉每一个有效的信息，将生活中的语言转换成数学语言，实际问题转化为数学问题，并构造出相应数学模型，从而求得问题的正确答案.
【体验中考】
1．（2010辽宁丹东）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m
C． m D．4m
2．（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（ ）
A、15米 B、20米 C、25米 D、30米
3．（2010 甘肃）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
4．（2010 江苏连云港）某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ）
A．当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B．当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算
C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
D．甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少
5．（2010年贵州毕节）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3 000万元，预计2010年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（ ）
(A) m·sin米 (B) m·tan米
(C) m·cos米 (D) 米
7．（2010 山东荷泽）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该
A．不大于m3 B．小于m3
C．不小于m3 D．小于m3
8.（2010 广西钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点20 m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为（保留3个有效数字）．
（A）42.8 m （B）42.80 m （C）42.9 m （D）42.90 m
9．（2010浙江绍兴）水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .
10．（2010甘肃兰州） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
11．（2010浙江宁波） 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是 米(精确到0.1米) .
12．（2010 浙江省温州）某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共l5支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 支．
13．（2010 内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
14．（2010江苏无锡）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：
销售甲、乙两种产品的利润（万元）与销售量（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品吨和乙种产品吨，共用去A原料200吨．
（1）写出与满足的关系式；
（2）为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B原料多少吨？
15．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
16．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）师徒二人分别组装28辆摩托车，徒弟单独工作一周（7天）不能完成，而师傅单独工作不到一周就已完成，已知师傅平均每天比徒弟多组装2辆，求：
（1）徒弟平均每天组装多少辆摩托车（答案取整数）？
（2）若徒弟先工作2天，师傅才开始工作，师傅工作几天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同？
17．（2010山东日照）列方程解应用题：2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心。“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
18．（2010浙江嘉兴）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
19．（10湖南益阳）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面千米处的温度为℃.
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米
20．（2010 重庆）今年我国多个省市遭受严重干旱. 受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：
周数 1 2 3 4
价格y（元/千克） 2 2.2 2.4 2.6
进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且与周数的变化情况满足二次函数 .
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；
（2）若4月份此种蔬菜的进价（元/千克）与周数所满足的函数关系为，5月份的进价（元/千克）与周数所满足的函数关系为．试问 4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜. 从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨. 若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出的整数值.
（参考数据：，，，，）
答案：
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】A.
6．【答案】B
7．【答案】C
8.【答案】C
9．【答案】
10．【答案】
11．【答案】11.2
12．【答案】8
13．【答案】或
14．【答案】（1）3x+y=200．
（2）销售每吨甲种产品的利润为3万元，销售每吨乙种产品的利润为2万元，
由题意，得3x+2y≥220， 200-y+2y≥220，∴y≥20
∴B原料的用量为3x+5y=200-y+5y=200+4y≥280
答：至少要用B原料280吨．
15．【答案】（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点A的坐标为（12，）．
设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：
=12k ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x；
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12
及y= x+ x；
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
16．【答案】（1）设徒弟每天组装x辆摩托车，则师傅每天组装（x+2）辆.依题意得：
7x<28
7(x+2)>28
解得2∵x取正整数 ∴x=3
（2）设师傅工作m天，师徒两人所组装的摩托车辆数相同.
依题意得：3（m+2）=5m
解得：m=3
答：徒弟每天组装3辆摩托车；若徒弟先工作2天，师傅工作3天，师徒两人做组装的摩托车辆数相同.
17．【答案】设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得：
整理，得：4.5x=900，
解之，得：x=200，
把x代入原方程，成立，
∴x=200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
18．【答案】（1）将代入，得，解得．
函数解析式为：．当时，，解得．
所以，，．
（2）令，得．
结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要小时．
19．【答案】⑴　　　（）　　
　　　　⑵　　米＝千米　　　　　
　　　　　　　(℃)　　
　　　　⑶　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
20．【答案】（1）4月份y与x满足的函数关系式为．
把，和，分别代入，得
解得
∴5月份y与x满足的函数关系式为．
（2）设4月份第周销售一千克此种蔬菜的利润为元，5月份第周销售此种蔬菜一千克的利润为元．
．
∵，∴随的增大而减小．
∴当时，．
．
∵对称轴为，且，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，．
所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．
（3）由题意知：．
整理，得 ． 解得 ．
∵，，而1529更接近1521，∴取．
∴（舍去）或．
答：的整数值为8．
x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
A
E
D
F
G
C
B
A
E
D
F
G
C
B
Q
P
M
R
N
A
B
…
…
…
A
Q
C
D
B
P
图1
图2
B
A
E
D
C
30°
A
B
C
m
V（m3）
P（kPa）
60
1.6
0
（1.6，60）
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1专题8——新概念型问题
【备考点睛】
新概念型是近几年中考的热点问题，试题的特点在学生已学数学知识的基础上，对旧知识进行重新包装，给出一个“新概念”，然后要求学生学习和运用这个“新概念”来解决相应的数学问题，这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用．面对一个新概念，阅读时至关重要的是用自己的语言来理解它，并把它与熟悉的相关数学知识相挂靠，把一个全新的问题化为熟悉的问题去处理．这类试题能很好地考查学生的数学阅读理解能力、数学抽象概括能力和对“新概念”的实际应用能力。
【经典例题】
例题1。 定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．
（1）如图2， 与的角平分线相交于点．求证：点是四边形的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准内点．（ ）
②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若是任意凸四边形的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．( )
解答：解析：在理解新新概念——准内点的同时，结合已学角的平分线的性质与判定——角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。当两组对边不平行时，如图1中的点P是直线AD与BC的夹角平分线、直线AB与DC的夹角平分线的交点，当两组对边平行时利用全等三角形等方法构造。
详解：（1）如图2，过点作
，
∵平分， ∴．
　　同理 ．
∴是四边形的准内点．
（2）
　　
平行四边形对角线AC、BD的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.
（3）真；真；假．
例题2。 （2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.
解答：⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴　　　　　　
⑵解法一：∵
　　　∴∽
∴
∵
∴ HYPERLINK "http://www./" （或）
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） 　　
解法二：在方形环中，
又∵
∴∥
∴
在与中，
HYPERLINK "http://www./"
即 （或）　　
①当时，
②当时，
则 （或） 　　　　
例题3。 阅读材料：
如图1-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图1-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解答：解析：（1）材料中给出了一个基本图形和计算三角形面积的新方法，在解决问题中一定要运用新方法，切不可只用教材中的计算方法，否则问题就很难求解。（2）理解材料是解决问题的关键，在运用公式时注意结合图形理解水平宽与铅垂高的含义，能指出△CAB的铅垂高为CD与水平宽为OA，△PAB的水平宽仍为OA，铅垂高为点P的纵坐标与点B的纵坐标的差。
详解：(1)设抛物线的解析式为：，把A（3,0）代入解析式求得
所以 HYPERLINK "http:///"
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为
把，代入中
解得：
所以
(2)因为C点坐标为(１,4)
所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2
所以CD＝4-2＝2
(平方单位)
(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则 HYPERLINK "http:///" 由S△PAB=S△CAB得：
化简得：解得，
将代入中，
解得P点坐标为。
点评：在坐标系中求几何量，注意点的横、纵坐标与线段长度的关联。
例题4。 （2010 浙江台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
　　若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗 在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
解答：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．
{1，2}+{3，1}={4，3}．
（2）①画图分
最后的位置仍是B．
② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
∴OC=AB==，OA=BC==，
∴四边形OABC是平行四边形．
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．
例题5。古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
解答：解析：首先要通过图形理解“三角形数”和“正方形数”的概念，进而可以根据两个概念进行排除，像A中的13就不是“正方形数”，B、D中的9、16、18、31都不是“三角形数”，只有C符合条件。
答案：C
点评：对于找规律的题目主要是找出按照什么规律变化的．考查学生的观察、分析、比较、概括的能力和发散思维的能力.
例题6。（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,
叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形
周长为16, 求此三角形面积.
解答：(1) ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2) 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时,，得b =4，此时,坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b =－4，此时,坐标三角形面积为.
综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．
例题7。对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则
解答：因为，所以p=2,2q=－4,
所以p=2,q=－2.所以(1+p,2+q)=
【技巧提炼】
解决新概念型问题的关键是把握“新概念”的实质，正确理解“新概念”的内涵。首先仔细阅读对于“新概念”的定义；然后运用“新概念”的知识解决新问题．因此，要掌握好初中数学的基础知识，更要注重提高阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳等多方面的素质，其实，解决问题的思想方法还是通常学到的方法，所以，只要认真思考，还是可以解决的。
【体验中考】
1．（2010安徽蚌埠）若表示不超过的最大整数（如等），则
_________________。
2．（2010广西南宁）古希腊数学家把数叫做三角数，它有一定的规律性．若把一个三角形数记为，第二个三角形数记为，第个三角形数记为，计算， ，由此推算， ， ．
3．（2010湖南常德）如图，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数.
则（1）= ；
（2）此数表中的四个数满足= .
4．（2010 重庆江津）我们定义，例如＝２×５－３×４＝10－12＝－２．若、均为整数，且满足１＜＜３，则的值是_________．
5．（2010四川达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n），规定以下两种变换：
①，如；② ，如.
按照以上变换有：，那么等于
A.（3，2） B.（3，-2）
C.（-3，2） D.（-3，-2）
6．（2010浙江宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它 奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作
(A)欧几里得 (B)杨辉 (C)笛卡尔 (D)刘徽
7．（2010安徽蚌埠）记=，令，称为，，……，这列数的“理想数”。已知，，……，的“理想数”为2004，那么8，，，……，的“理想数”为
A．200４ B．2006 C．2008 D．2010
8．（2010鄂尔多斯）定义新运算： a b=，则函数y=3 x的图象大致是
9．（2010浙江杭州）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
10．（2010 山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分
(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行
11．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行. 解答下面的问题：
（1）求过点且与已知直线平行的直线的函数表达式,并画出直线 的图象；
（2）设直线分别与轴、轴交于点、，如果直线：与直线平行且交轴于点，求出△的面积关于的函数表达式.
12．（2010 江苏连云港） 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD CD，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。
14．（2010安徽蚌埠）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、 、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。
⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑵ 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
…
共n个正方形
⑶ 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
图三
⑷ 作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值。
答案：
1.【答案】2000
2.【答案】100，5050
3.【答案】（1）0 （2）0
4.【答案】
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11．【答案】（1）设直线l的函数表达式为y＝k x＋b.
∵ 直线l与直线y＝—2x—1平行，∴ k＝—2.
∵ 直线l过点（1，4），∴ —2＋b ＝4，∴ b ＝6.
∴ 直线l的函数表达式为y＝—2x＋6.
直线的图象如图.
(2) ∵直线分别与轴、轴交于点、，∴点、的坐标分别为（0，6）、（3，0）.
∵∥,∴直线为y＝—2x+t.
∴C点的坐标为.
∵ t＞0,∴ .
∴C点在x轴的正半轴上.
当C点在B点的左侧时，;
当C点在B点的右侧时， .
∴△的面积关于的函数表达式为
12.【答案】
13．【答案】正确。证明如下：
方法一：设AC，BD交于O，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAC，AB=AD，∴AO⊥BD，
S△ABD=BD·AO，S△BCD=BD·CO，
所以S四边形ABCD= S△ABD+ S△BCD=BD·AO+BD·CO
=BD（AO+CO）=BD·AC；
方法二：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的中垂线上。
又∵CB=CD，∴点C与在线段BD的中垂线上，
∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC；下同方法一。
14.【答案】⑴
⑵
⑶ =34
⑷ =2（）+4（）
图2
F
E
D
C
B
A
P
G
H
J
I
图1
B
J
I
H
G
D
C
A
P
图4
图3
图3（1）
图4
图3（2）
y
O
图2
Q（5, 5）
P（2, 3）
y
O
图1
1
1
x
x
y
O
1
1
x
A
B
C
4=1+3 9=3+6 16=6+10
…
A
y
O
B
x
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
2
4
6
2
4
6
－2
－2
AD
BAD
EBAD
CFEBAD
DQFEBAD
图1
AD
BAD
CFEBAD
DQFEBAD
图2
A
B
C
D
O
图一
图二
共
m
个正方形相连
2
4
6
2
4
6
－2
－2
PAGE
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