安徽省安庆市九一六学校2020-2021学年高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版含答案

九一六学校2020-2021学年高二下学期开学考试
数学试卷（理科）
一、选择题
1．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是(　 　)
A．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 B．至少有一个实数x0，使得x>0
C．全等的三角形必相似 D．存在一个负数x，使>2
2．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是(　　)
A．s1>s2 B．s1＝s2 C．s13．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　 　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
4．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的(　 　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
5．如图是把二进制的数11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是(　　)
A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?
6．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b，则满足a<|b2－2a|<的概率为(　　)
A. B. C. D.
7．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(　 )
A．y2＝12x B．y2＝－12x C．y2＝6x D．y2＝－6x
8．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　 　)
A. B．2 C. D.
9．正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为(　 　)
A. B. C. D.
10．已知双曲线P：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线P的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线P交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线P的离心率为(　 　)
A. B. C. D.
11．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，则圆心P的轨迹方程是(　 　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1
12．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P(t,0)使得∠APO＝∠BPO总成立(O为坐标原点)，则t等于(　 　)
A．－2 B．2 C．－ D.
二、填空题
13．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)，且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为 .
14．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(015．在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥平面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为 .
16．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x－2y＝0上，则此椭圆的离心率为 .
三、解答题
17．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速 x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产缺损零件数y(个) 11 9 8 5
(1)作出散点图； (2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？
18．已知p：方程＋＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2－(a－1)t－a<0.
(1)若p为真，求实数t的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．如右图，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
20．如右图所示，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)求证平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D?AE?C的余弦值．
21．如图所示，已知椭圆C：＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点M，N.
(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值；
(2)求线段MN的长的最小值；
(3)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
22．椭圆E1：＋＝1的焦点F1，F2在x轴上，且椭圆E1经过点P(m，－2)(m>0)，过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2＝4x交于A，B两点，当直线l过F2时，△PF1Q的周长为20.
(1)求m的值和E1的方程；
(2)以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点，求出定点坐标，否则说明理由．
1—12:BCDBD,BADCC,BB
13,x=2 or3x-4y+6=0 14, x2＋32y2＝1 15, 1010. 16, 22.
17. [解]　(1)根据题表中的数据画出散点图如下图．

(2)设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，列表如下：
i 1 2 3 4
xi 16 14 12 8
yi 11 9 8 5
x2i
256 196 144 64
xiyi 176 126 96 40
x－＝12.5，y－＝8.25，i＝14x2i＝660，i＝14xiyi＝438，
∴b^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，
a^＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，
∴y^＝0.73x－0.875.
(3)令0.73x－0.875≤10，显然x<14.9≈15.
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
18. 解：(1)∵方程x23－t＋y2t＋1＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴3－t>t＋1>0.解得－1(2)∵p是q的充分不必要条件，∴{t|－1－1时，不等式的解集为{t|－11.②当a＝－1时，不等式的解集为?，不满足题意．③当a<－1时，不等式的解集为{t|a1.
19. 解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，如图．
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，OA→的方向为x轴的正方向，|OA→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．
则BC→＝(1,0，3)，BB1→＝AA1→＝(－1，3，0)，A1C→＝(0，－3，3)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则n?BC→＝0n?BB1→＝0，即x＋3z＝0－x＋3y＝0，
可取n＝(3，1，－1)．
故cos?n，A1C→?＝n?A1C→|n||A1C→|＝－105.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.
20. 解：(1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝DC，又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°，如图所示，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，又由△ABC是正三角形，所以BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D?AC?B的平面角，在△AOB中，BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知OA，OB，OD两两垂直，所以以O为坐标原点，OA→的方向为x轴正方向，OB→的方向为y轴正方向，OD→的方向为z轴正方向，|OA→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，0,0)，D(0,0,1)．由题设知四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得E0，32，12.故AD→＝(－1,0,1)，AC→＝(－2,0,0)，AE→＝(－1，32，12)，
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，
则n?AD→＝0，n?AE→＝0，即－x＋z＝0，－x＋32y＋12z＝0，
可取n＝1，33，1.
设m是平面AEC的法向量，则m?AC→＝0，m?AE→＝0，同理可取m＝(0，－1，3)，则cos?n?m?＝n?m|n||m|＝77所以二面角D?AE?C的余弦值为77.
21. 解：(1)证明：∵A(0,1)，B(0，－1)，令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0，
∴直线AP的斜率k1＝y0－1x0，直线BP的斜率k2＝y0＋1x0，
又点P在椭圆上，∴x204＋y20＝1(x0≠0)，从而有k1?k2＝y0－1x0?y0＋1x0＝y20－1x20＝－14为定值．
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线BP的方程为y－(－1)＝k2(x－0)，
由y－1＝k1x，y＝－2?x＝－3k1，y＝－2，
由y＋1＝k2x，y＝－2?x＝－1k2，y＝－2，
∴直线AP与直线l的交点为M－3k1，－2，直线BP与直线l的交点为N－1k2，－2.又k1?k2＝－14，
∴MN＝－3k1＋1k2＝3k1＋4k1＝3k1＋|4k1|≥23k1?|4k1|＝43当且仅当3k1＝|4k1|，
即k1＝±32时取等号，故线段MN的长的最小值是43.
(3)结论：以MN为直径的圆恒过定点(0，－2＋23)和(0，－2－23)．
证明：设点Q(x，y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则QM→?QN→＝0，故有x＋3k1x＋1k2＋(y＋2)(y＋2)＝0，又k1?k2＝－14，所以以MN为直径的圆的方程为x2＋(y＋2)2－12＋3k1－4k1x＝0，令x＝0，解得y＝－2±23，
∴以MN为直径的圆恒过定点(0，－2＋23)和(0，－2－23)．
22. 解：(1)由△PF1Q的周长为203得4a＝203，
∴a＝53，
即x275＋y26＝1.∵椭圆E1经过点P(m，－2)(m>0)，
∴m＝5.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，再设直线l的方程为x－5＝n(y＋2)，
联立直线与抛物线方程，得y2－4ny－4(2n＋5)＝0，
∴y1＋y2＝4n，y1y2＝－4(2n＋5)，
∴x1＋x2＝4n2＋4n＋10，x1x2＝y21y2216＝(2n＋5)2，代入(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，得4(1－x)n2＋(－4x＋20－4y－8)n＋(x2－10x＋5＋y2)＝0，
因此4(1－x)＝0，－4x＋20－4y－8＝0，x2－10x＋5＋y2＝0，∴x＝1，y＝2，即以线段AB为直径的圆经过E2上一定点(1,2)．