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第六章
实数
第1课时
实数的概念及分类
6.2
实数
学习目标
1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；
2.理解实数的概念，会把实数进行分类．
情景引入
1.我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
答案：（1）2.5；（2）-0.6；（3）6.75；（4）1.2；（5）0.81.
2.整数能写成小数的形式吗？
3可以看成是3.0吗？
答案：3=3.0.
探究新知
根据以上问题我们可以得出：
1.任何分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
2.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
即：小数形式的有理数包括有限小数或无限循环小数两类.
3.任何有理数均可写成分数的形式（整数可看作是分母为1的分数），也就是说有理数总可以写成
（m、n是整数，且m≠
0）的形式.如：
，
.
合作探究
活动一：探究无理数.
问题1：
是一个有理数吗?
解：∵
12=1,
22=4
∴
1
<
<
2
∵
1.42=1.96,
1.52=2.25
∴
1.4
<
<
1.5
∵
1.412=1.9881,
1.422=2.0164
∴
1.41
<
<
1.42
∵
1.4142=1.9881,
1.4152=2.002225
∴
1.414
<
<
1.415
……
=1.414213562373…
合作探究
总结1：
（1）我们把这种无限且不循环的小数叫做无理数.开不尽方的数都是无理数.像
这样的数是无理数.注意:带根号的数不一定是无理数.如
=5，是有理数.
合作探究
（2）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.
例如：
0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）
-168.3232232223…（两个3之间依次多1个2）
0.12345678910111213
…（小数部分有相继的正整数组成）
合作探究
问题2：π是无理数吗？含π的一些数是无理数吗？
解析：π=3.14159265...
它们都是无限不循环小数，是无理数.
合作探究
总结2：常见的无理数的三种形式：
（1）含π的一些数；
（2）开不尽方的数；
（3）有规律但不循环的数，如1.010
010
001
000
01…
总结3：无理数也像有理数一样广泛存在着.
无理数也有正负之分，例如：
、-
.
合作探究
活动二：探究实数的分类.
问题1：（1）你还记得有理数的分类吗？分类的基本原则是什么？
分类的原则：不重不漏.
合作探究
问题2：你能对我们学过的数进行合理的分类吗？
（1）实数
正实数
0
负实数
负有理数
负无理数
正无理数
正有理数
合作探究
整数
(2)实数
有理数
正有理数
负有理数
零
无理数
正无理数
负无理数
或有理数
分数
（无限不循环小数）
(有限小数或
无限循环小数)
总结4：有理数和无理数统称为实数.
新知运用
1.在下列实数中：
，3.14，0，
，π，
，0.1010010001…，无理数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
上述实数中是无理数的有：π，
，0.1010010001….故选C.
新知运用
2.设n为正整数，且n＜
＜n＋1，则n的值为( ).
A．5
B．6
C．7
D．8
∵
＜
＜
，∴8＜
＜9.
∵n＜
＜n＋1，∴n＝8.
故选D.
随堂检测
1.把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，
，
，5，
，0，
，－
，
，3.14，0.10100….
(1)有理数集合{ …}；
(2)无理数集合{ …}；
(3)整数集合{ …}；
(4)负实数集合{ …}．
随堂检测
解：(1)有理数集合{－3.6，
，5，0，－
，
，3.14，…}；
(2)无理数集合{
，
，
，0.10100…，…}；
(3)整数集合{
，5，0，－
，…}；
(4)负实数集合{－3.6，
，－
，…}．
随堂检测
（1）实数不是有理数就是无理数.（
）
（2）无理数都是无限不循环小数.（
）
（3）无理数都是无限小数.（
）
（4）带根号的数都是无理数.（
）
（5）无理数一定都带根号.（
）
（6）两个无理数之积不一定是无理数.（
）
√
√
√
√
×
×
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.什么是有理数？
任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
2.什么是无理数？
无限且不循环的小数叫做无理数.
课堂小结
3.实数的概念及分类：有理数和无理数统称为实数.
（1）实数
正实数
0
负实数
负有理数
负无理数
正无理数
正有理数
课堂小结
整数
(2)实数
有理数
正有理数
负有理数
零
无理数
正无理数
负无理数
或有理数
分数
（无限不循环小数）
(有限小数或
无限循环小数)
再见第六章
实数
6.2实数
第1课时
实数的概念及分类
一、教学目标
1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；
2.理解实数的概念，会把实数进行分类．
二、教学重点及难点
重点：理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数.
难点：理解实数的概念，会把实数进行分类．
三、教学用具
多媒体教室
四、相关资料
微课，动画.
五、教学过程
【情景引入】
1.我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
答案：（1）2.5；（2）-0.6；（3）6.75；（4）1.2；（5）0.81.
2.整数能写成小数的形式吗？
3可以看成是3.0吗？
答案：3=3.0.
【探究新知】
根据以上问题我们可以得出：
1.任何分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
2.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
即：小数形式的有理数包括有限小数或无限循环小数两类.
3.任何有理数均可写成分数的形式（整数可看作是分母为1的分数），也就是说有理数总可以写成（m、n是整数，且m≠
0）的形式.如：，.
【合作探究】
活动一：探究无理数.
问题1：是一个有理数吗?
解析：∵1?=1,
2?=4，
∴1
<<
2，
∵1.4?=1.96,
1.5?=2.25，
∴1.4
<<
1.5，
∵1.41?=1.9881,
1.42?=2.0164
∴1.41
<<
1.42，
∵1.414?=1.9881,
1.415?=2.002225
∴1.414
<<
1.415
……=1.414213562373…
总结1：（1）我们把这种无限且不循环的小数叫做无理数.
开不尽方的数都是无理数.像、、这样的数是无理数.
注意:带根号的数不一定是无理数.如=5，是有理数.
（2）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.
例如：
0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）
-168.3232232223…（两个3之间依次多1个2）
0.12345678910111213
…（小数部分有相继的正整数组成）
问题2：π是无理数吗？含π的一些数是无理数吗？
解析：π=3.14159265...
它们都是无限不循环小数，是无理数.
总结2：常见的无理数的三种形式：
（1）含π的一些数；
（2）开不尽方的数；
（3）有规律但不循环的数，如1.010
010
001
000
01…
总结3：无理数也像有理数一样广泛存在着.
无理数也有正负之分，例如：、-.
活动二：探究实数的分类.
问题1：（1）你还记得有理数的分类吗？分类的基本原则是什么？
，
分类的原则：不重不漏.
问题2：你能对我们学过的数进行合理的分类吗？
（1）
（2）
总结4：有理数和无理数统称为实数.
设计意图：设置问题让学生通过自主练习、合作探究等方法自主总结出关于有理数、无理数的定义和实数的概念及分类等知识点，在探究的过程中加深了学生对重要知识点的理解与记忆.
【新知应用】
1.在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…，无理数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，，0.1010010001….故选C.
2.设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为( ).
A．5
B．6
C．7
D．8
解：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵＜＜，∴8＜＜9.∵n＜＜n＋1，∴n＝8.故选D.
设计意图：促进学生在练习的过程中熟练掌握有理数和无理数的概念，加深学生对实数的理解.
【随堂检测】
1.把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，，，5，，0，，－，，3.14，0.10100….
(1)有理数集合{ …}；
(2)无理数集合{ …}；
(3)整数集合{ …}；
(4)负实数集合{ …}．
解：(1)有理数集合{－3.6，，5，0，－，，3.14，…}；
(2)无理数集合{，，，0.10100…，…}；
(3)整数集合{，5，0，－，…}；
(4)负实数集合{－3.6，，－，…}．
2.判断.
（1）实数不是有理数就是无理数.（√）
（2）无理数都是无限不循环小数.（√）
（3）无理数都是无限小数.（√）
（4）带根号的数都是无理数.（×）
（5）无理数一定都带根号.（×）
（6）两个无理数之积不一定是无理数.（√）
设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习的过程中熟练掌握实数的性质及分类.
六、课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.什么是有理数？
任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
2.什么是无理数？
无限且不循环的小数叫做无理数.
3.实数的概念及分类.
有理数和无理数统称为实数.
设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.
七、板书设计
第1课时
实数的概念及分类
1.有理数与无理数
2.实数的概念
3.实数的分类
