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第六章
实数
第2课时
实数的运算及大小比较
6.2
实数
学习目标
1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；
2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．
情景引入
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
OO′的长是这个圆的周长
，点O′的坐标是
，
这样，无理数
可以用数轴上的点表示出来.
探究新知
重点：
1.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
2.当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.
3.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
合作探究
讨论一：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？请完成下题并总结.
求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，
，
，0
答案：相反数：-2.5，
，
，0.
绝对值：2.5，
，
，0
合作探究
结论：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
合作探究
讨论二：有理数的运算法则和运算律在实数范围内是否适用？
计算下列各式的值：
答案：
；
；
合作探究
结论：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除运算，正数和零可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然使用.
合作探究
讨论三：①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？有理数的运算法则和运算律在实数范围内是否适用？
比较下列各组数里两个数的大小：
（1）
，1.4；
（2）
，
合作探究
分析：像（1），即可以将
，1.4的大小比较转化为
，
的大小比较；也可以先求出
的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小.
答案：（1）
；（2）
.
合作探究
结论：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
新知运用
1.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和
，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和
，∴点B到点A的距离为1＋
.则点C到点A的距离也为1＋
.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋
，∴x＝－2－
.∴点C所表示的实数为－2－
.
新知运用
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是
和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( ).
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：∵
≈1.414，∴
和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.
新知运用
3.求下列各数的相反数和绝对值：
（1）
（2）
（3）
解析：(1)
的相反数是－
，绝对值是
；
(2)
的相反数是
，绝对值是
；
(3)
的相反数是
，绝对值是
.
随堂检测
1.计算下列各式的值：
（1）
（2）
解：（1）原式
（2）因为
所以原式
随堂检测
2.比较大小：
（1）
与
；
（2）
与
(1)∵－
-
＝
<0，∴
<
；
(2)∵(1－
)－(1－
)＝
－
>0，∴1－
>1－
.
随堂检测
3.实数在数轴上的对应点如图所示，化简：
－|b－a|－
.
解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.
所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.数轴上的实数.
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.
课堂小结
2.实数的相反数和绝对值.
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
3.实数的运算法则和运算律.
4.实数的大小比较.
再见第六章
实数
6.2实数
第2课时
实数的运算及大小比较
一、教学目标
1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；
2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．
二、教学重点及难点
重点：了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；
难点：理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．
三、教学用具
多媒体教室
四、相关资料
微课，知识卡片
五、教学过程
【情景引入】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
【探究新知】
首先，我们先来解决刚才的问题：
OO′的长是这个圆的周长，点O′的坐标是，这样，无理数可以用数轴上的点表示出来.
这就是本节课学习的重点：
1.事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
2.当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.
3.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【合作探究】
讨论一：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？请完成下题并总结.
求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－，
，0
答案：相反数：-2.5，，，0.
绝对值：2.5，，，0.
结论：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
讨论二：有理数的运算法则和运算律在实数范围内是否适用？
计算下列各式的值：
；
；
（+2）.
答案：；；2+.
结论：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除运算，正数和零可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然使用.
讨论三：
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
比较下列各组数里两个数的大小：
（1），1.4；（2）－，－.
分析：像（1），即可以将，1.4的大小比较转化为，的大小比较；也可以先求出的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小.
答案：（1）>1.4；
（2）.
结论：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
设计意图：设置问题让学生通过自主练习、合作探究等方法自主总结出关于实数运算和比较大小的技巧与方法，在探究的过程中，学生掌握了难点知识，并且加深了对重要知识点的理解与记忆.
【新知应用】
1.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.∴点C所表示的实数为－2－.
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( ).
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.
3.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)； (2)－； (3)－1＋.
解析：(1)的相反数是－，绝对值是；
(2)－的相反数是－＋，绝对值是－＋；
(3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋.
设计意图：促进学生在练习的过程中熟练掌握实数的运算和两个实数之间比较大小的方法.
【随堂检测】
1.计算下列各式的值：
(1)2－5－(－5)；
(2)|－|＋|1－|＋|2－|.
解：(1)2－5－(－5)
＝2－5－＋5
＝(2－)＋(5－5)
＝；
(2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，
所以|－|＋|1－|＋|2－|
＝(－)－(1－)＋(2－)
＝－－1＋＋2－
＝(－)＋(－)＋(2－1)＝1.
2.比较大小：
(1)与；
(2)1－与1－.
解：(1)∵－＝<0，∴<；
(2)∵(1－)－(1－)＝－>0，∴1－>1－.
3.实数在数轴上的对应点如图所示，化简：－|b－a|－.
解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0.
所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习的过程中熟练掌握实数的运算和大小比较.
六、课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.数轴上的实数.
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.
2.实数的相反数和绝对值.
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
3.实数的运算法则和运算律.
4.实数的大小比较.
设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.
七、板书设计
第2课时
实数的运算及大小比较
1.数轴上的实数.
2.实数的相反值与绝对值.
3.实数的运算法则与运算律.
4.实数的大小比较.
