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6.1
平方根、立方根
第6章
实数
平方根
问题1
1.我们以前学过哪些运算？哪些互为逆运算？
我们已经学过加法，减法，乘法，除法和乘方运算，其中加法和减法，乘法和除法互为逆运算.
2.计算
(-4)2
=
(0.1)2
=
2
=
2
=
16
0.01
一、复习旧知，导入新课
x
1
(单位：m)
问题2
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1
m2，如图所示，问这种地砖一块的边长是多少？
设一块正方形地砖的边长为x
m，根据题意，有x2=
这是已知一个数的平方，求这个数的问题.
一、复习旧知，导入新课
平方根的概念
如果一个数的平方等于
a，那么这个数叫做
a
的平方根，也叫做二次方根.
即当
x2
=
a
时，
称
x
是
a
的平方根.
二、共同探究，学习新知
随堂练习1
1.检验下列各题中，前面的数是不是后面的数的平方根.
(1)
±12
,
144
(2)
±
0.2
,
0.04
(3)
±102
,
104
(4)
14
,
256
2.选择题
(1)
0.01的平方根是（
）
A.
0.1
B.
±
0.1
C.
0.0001
D.
0.0001
(2)因为
(0.3)2
=0.09,
所以（
）
A.0.09是0.3的平方根
B.0.09的平方根是0.3
C.0.3是0.09的平方根
D.0.3不是0.09的平方根
（是）
（是）
（不是）
B
C
（是）
二、共同探究，学习新知
思考
正数、0、负数的平方根各有什么性质呢？
平方根的性质
1.
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
2.
0的平方根是0.
3.
负数没有平方根.
1.
的平方根是什么？
2.
0.04的平方根是什么？
3.
0的平方根是什么？
4.
-9的平方根是什么？
（0.2，-0.2）
（
0
）
（没有）
（
，
）
二、共同探究，学习新知
例1
判断下列各数是否有平方根，为什么？
25;
；
0.0169;
-64
解：因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以
,25,0.0169都有平方根；-64没有平方根.
二、共同探究，学习新知
随堂练习2
1.下列说法中不正确的个数有（
）
0.25的平方根是0.5
-0.5的平方根是-0.25
只有正数才有平方根
0的平方根是0
1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、共同探究，学习新知
平方根的表示方法
正数a的平方根：记作
（a≥0）
读作：正负根号a
即如果
x2=a
,
那么
x=
根号
被开方数
二、共同探究，学习新知
其中:
a
的正的平方根用“
”表示，这个根也叫做a的算术平方根.
即a的算术平方根记作
.
(
≥0)
0的算术平方根也是0，即
=0
a的负的平方根用“
”表示，合起来，a的平方根就用“
”表示.
例如：
4的平方根表示为：
，
,4的算术平方根表示为
，
5的平方根表示为：
，5的算术平方根表示为
.
的平方根表示为：
，
，
的算术平方根表示为
,
二、共同探究，学习新知
1.填空题
(1).因为(±7)2=49,所以49的平方根是(
),49的算术平方根是(
)；
(2)因为(±0.3)2=0.09，所以0.09的平方根是(
),0.09的算术平方根是(
)；
(3)若
是
x
的一个平方根，则x的另一个平方根是
(
)；
(4)
0
的算术平方根是（
）.
2.
判断题
5是25的算术平方根.
(
)
36的算术平方根是6.
(
)
0.01是0.1的算术平方根.
(
)
-5是25的算术平方根.
(
)
随堂练习3
?
?
?
?
0
7
二、共同探究，学习新知
±7
±0.3
0.3
思考？
平方根与算术平方根有什么联系和区别？
二、共同探究，学习新知
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根.算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根的被开方数都具有非负性.
(3)0的平方根和算术平方根都是0.
区别
(1)定义不同：
(2)个数不同：一个正数a有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
二、共同探究，学习新知
(4)平方根：
(a≥0)，算术平方根：
(a
≥
0且
≥
0
)
(3)表示方法不同：正数a的算术平方根表示为
，而正数a的平方根表示
为
.
开方运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
1
4
9
平方
开平方
结论：开平方与平方互为逆运算.
开方与乘方互为逆运算.
二、共同探究，学习新知
例2
求下列各数的平方根和算术平方根.
(1)
81
(2)
1
(3
)
64
(4)
(-3)2
(5)
二、共同探究，学习新知
学习小结
1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？
2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？
3.如何求一个数的平方根？
4.平方根有什么性质？
5.平方根与算术平方根有什么异同？
三、课堂小结
再
见《平方根》
(
教材分析
)
本节课是义务教育沪科版数学七年级下册第六章第一节《平方根》的内容，在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用.本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系.本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据.因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用.
(
教
学目标
)
1.了解平方根的概念，会用根号表示平方根；
2.了解开方与乘方互逆运算，会求非负数的平方根；
3.通过平方根的运算，让学生体会无理数是因实际生活的需要而产生的，理解数的扩充；
4.让学生在自主参与、合作交流的活动中体验成功的喜悦，树立自信，激发学习，发展学生的符号语言.
(
教学重难点
)
【教学重点】
平方根的概念理解及表示方法.
【教学难点】
平方根的概念理解及表示方法.
(
课前准备
)
教师准备：多媒体、课件.
学生准备：练习本.
(
教学过程
)
一、复习旧知，导入新课
问题一
回顾：我们已经学过那些运算？其中那些运算互为逆运算?
计算
(-4)2=
0.12=
（上面的运算都属于平方运算，是已知底数和指数，求幂的运算，是否存在一种已知指数和幂，求底数的运算呢？）
问题二
装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1m2，如图所示，问这种地砖一块的边长是多少？
学生思考，解决问题.
若设一块正方形地砖的边长是x
m，则每块正方形地砖的面积是x2
m2，根据题意，得
，求底数.实际上，就是已知一个数的平方，求这个数的问题.这就是我们这节课将要学习的问题：平方根.）
板书课题.
二、共同探究，学习新知
（一）平方根的概念
课件出示平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a
的平方根，也叫做二次方根.
即如果x2
=
a，那么x叫做a的平方根.
教师举例
如102
=
100，那么10
是100的平方根.
回到导入中的计算，根据算式说出谁是谁的平方根.
课件出示随堂练习一
（二）平方根的性质
思考：正数、0、负数的平方根各有什么性质？
合作交流：
1.
的平方根是什么？
2.0.04的平方根是什么？
3.0的平方根是什么？
4.-9的平方根是什么？
（对于这四个问题可引导学生哪些数的平方等于和0.04？哪些数的平方等于0？有没有哪个数的平方等于-
9？）
学生思考，交流和讨论，尝试回答问题：由于()2=，所以的平方根是，(±0.2)2
=0.04，所以0.04的平方根是±0.2，02=0，所以0的平方根是0，由于没有任何数的平方等于-9，所以-9没有平方根.
师生共析，归纳得到：平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
（2）0的平方根是0.
负数没有平方根.
教学例一
判断下列各数是否有平方根，为什么？
25；
；
0.0169；
-64
课件出示随堂练习二
（三）平方根的表示方法和算术平方根
课件出示：一个整数a的平方根记作：±.读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数，因为只有正数和0有平方根，所以a是非负数，即a≥0.
其中a的正的平方根用表示，这个根也叫做a的算术平方根.即a的算术平方根记作.
0的平方根是0，0的算术平方根也是0，即=0.所以≥0.
a的负的平方根用-表示，合起来，a的平方根就用±表示.
教师进一步举例如4的平方根表示为：±，±=±2，4的算术平方根表示为，=2.
5的平方根表示为：±，5的算术平方根表示为.
（在举例时注意开方开得尽与开方开不尽的数的平方根的表示方法的区别）
课件出示随堂练习三
思考：通过上述练习，总结平方根和算术平方根的联系和区别.
学生思考，交流和讨论，尝试回答问题.
教师总结（课件出示）
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根.算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根的被开方数都具有非负性.
(3)0的平方根和算术平方根都是0.
区别：
定义不同.
个数不同：一个正数a有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法不同：正数a的算术平方根表示为，而正数a的平方根表示为±.
平方根：±(a≥0)，算术平方根：
(a≥0且≥0
)
.
（四）开方运算
（教师导入：在前面的学习中，我们一直在求一个数的平方根.我们把求一个数平方根的运算叫做开平方.)
学生活动：观察上面两种运算，你发现平方与开平方有什么关系？
师生总结：平方与开平方互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.
（根据平方和开平方互为逆运算的关系，我们可以通过平方运算来求一些数的平方根.）
教学例二
求下列各数的平方根和算术平方根.
(1)81
(2)1
(3)64
(4)(-3)2
(5)
(教师引导，可以根据平方运算来求平方根，然后以第1题和第4题为例，规范板书过程.)
解（1）因为(±9)2
=81，所以81的平方根是±9，算术平方根是9.
即±=±9，=9.
(-3)2
=9，
因为(±3)2
=9，所以9的平方根是±3，算术平方根是3.
即±=±3，=3.
（2、3、5题请学生仿照解题格式解答，并点名板演.）
三、课堂小结
1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？
2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？
3.如何求一个数的平方根？
4.平方根有什么性质？
5.平方根与算术平方根有什么异同？
（课件出示本节课主要问题，学生结合课件回顾本节课主要知识点.并整理好课堂笔记.）
(
教学反思
)
略.
