第六章
实数
6.1平方根、立方根
第1课时
平方根
一、教学目标
1.理解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根；
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根．
二、教学重点及难点
重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根.
难点：平方根的意义.
三、教学用具
多媒体教室
四、相关资料
微课，知识卡片
五、教学过程
【情景引入】
问题1：要剪出一块面积为25cm?的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2：已知圆的面积是16πcm?，求圆的半径长.
【探究新知】
这些问题的共同特点是：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的内容.
1.平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫二次根式，即x?=a，那么，x叫做a的平方根.
（2）表示方法：非负数a的平方根记作“±”，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数.
（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a的平方根为±；0的平方根是0；负数没有平方根.
例：（±5）?=25，那么±5叫做25的平方根，或者说25的平方根是±5，即=±5.
（4）注意：
平方根的概念中提到的字母a表示的数是零与正数，不能为负数；
平方等于a（a≥0）的数可以是正数、负数和零.
练习：
（1）（
）=9；（2）（
）=0.25；（3）（
）=0.0081．
答案：（1）±3；
（2）±0.5；
（3）±0.09.
2.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，规定0的算术平方根是0.
（2）表示方式：非负数a的算术平方根记作“”，读作“根号a”.
（3）性质：正数a的算术平方根为；0的算术平方根是0；即=0；负数没有算术平方根.
（4）平方根与算术平方根的区别及联系：
区别：
平方根
算术平方根
定义
如果一个数的平方等于a，这个数就叫作a的平方根.
非负数a的非负平方根叫作a的算术平方根.
个数
一个正数有两个平方根.
一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法
正数a的平方根表示为±.
正数a的算术平方根表示为.
取值范围
正数的平方根：
一正一负，两数互为相反数.
正数的算术平方根一定是正数.
联系：
二者具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；
二者存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；
0的平方根、算术平方根均为0.
辨析比较：
±：非负数a的平方根；
：非负数a的算术平方根；
-：非负数a的负的平方根.
注意：≠±.
【新知应用】
1.求下列各数的算术平方根：
(1)1.69;
(2)1；
(3)(－5)2;
(4)0.
解：(1)由于1.32＝1.69，因此＝1.3；
(2)由于1＝，()2＝，因此＝；
(3)由于(－5)2＝52，因此＝5；
(4)由于02＝0，因此＝0.
2.已知a、b满足|a－2|＋＝0，求ab的值．
解：因为|a－2|＋＝0，
所以解得
所以ab＝23＝8.
设计意图：加深学生对平方根、算术平方根的定义和性质的理解与记忆，提高学生运用相关知识解决实际问题的能力.
【随堂检测】
1.求下列各数的平方根：
(1)16;
(2)；
(3)1；
(4)(－2.1)2.
解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±＝±4；
(2)由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±；
(3)1＝，由于()2＝，因此1的平方根是与－，即±＝±；
(4)(－2.1)2＝2.12，因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±＝±2.1.
2.求下列各式的值：
(1)±；
(2)－；
(3)；
(4).
解：(1)±＝±7；
(2)－＝－4；
(3)＝；
(4)＝＝9.
3.已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习的过程中熟练掌握平方根的运算以及相关性质.
六、课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
（2）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a的平方根为±；0的平方根是0；负数没有平方根.
2.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
（2）性质：正数a的算术平方根为；0的算术平方根是0；即=0；负数没有算术平方根.
3.平方根和算术平方根的运算.
设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.
七、板书设计
第1课时
平方根
1.平方根.
2.算术平方根.
3.如何求解非负数的平方根或者算术平方根？(共19张PPT)
第六章
实数
第1课时
平方根
6.1
平方根、立方根
学习目标
1.理解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根；
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根．
情景引入
问题1：要剪出一块面积为25cm?的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2：已知圆的面积是16πcm?，求圆的半径长.
探究新知
1.平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫二次根式，即x?=a，那么，x叫做a的平方根.
（2）表示方法：非负数a的平方根记作“±
”，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数.
（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a的平方根为±
；0的平方根是0；负数没有平方根.
探究新知
例：（±5）?=25，那么±5叫做25的平方根，或者说25的平方根是±5，即
=±5.
（4）注意：
平方根的概念中提到的字母a表示的数是零与正数，不能为负数；
平方等于a（a≥0）的数可以是正数、负数和零.
探究新知
（1）
(
)2=9；
（2）
(
)2
=0.25；
（3）
(
)2
=0.0081．
练习
±3
±0.5
±0.09
探究新知
2.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，规定0的算术平方根是0.
（2）表示方式：非负数a的算术平方根记作“
”，读作“根号a”.
（3）性质：正数a的算术平方根为
；0的算术平方根是0；即
=0；负数没有算术平方根.
探究新知
（4）平方根与算术平方根的区别及联系：
区别：
平方根
算术平方根
定义
如果一个数的平方等于a，这个数就叫作a的平方根.
非负数a的非负平方根叫作a的算术平方根.
个数
一个正数有两个平方根.
一个正数的算术平方根只有一个.
表示方法
正数a的平方根表示为±
.
正数a的算术平方根表示为
.
取值范围
正数的平方根:一正一负，两数互为相反数.
正数的算术平方根一定是正数.
探究新知
联系：
二者具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；
二者存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；
0的平方根、算术平方根均为0.
探究新知
辨析比较：
±
：非负数a的平方根；
：非负数a的算术平方根；
-
：非负数a的负的平方根.
注意：
≠±
.
新知应用
1.求下列各数的算术平方根：
(1)1.69;
(2)
；
(3)(－5)?;
(4)0.
解：(1)由于1.3?＝1.69，因此
＝1.3；
(2)由于
＝
，(
)?＝
，因此
＝
；
(3)由于(－5)?＝5?，因此
＝5；
(4)由于0?＝0，因此
＝0.
新知应用
2.已知a、b满足|a－2|＋
＝0，求
的值．
解：因为|a－2|＋
＝0，
a-2=0，
所以解得
解得：a=2，b=3.
b-3=0，
所以
＝2?＝8.
随堂检测
1.求下列各数的平方根：
(1)16;
(2)
；
(3)
；
(4)(－2.1)?.
随堂检测
(1)由于4?＝16，因此16的平方根是4与－4，即±
＝±4；
(2)由于(
)?＝
，因此的平方根是
与－
，即±
＝±
；
(3)
＝
，由于(
)?＝
，因此
的平方根是
与－
，即
±
＝±
；
(4)(－2.1)?＝2.1?，因此(－2.1)?的平方根是2.1与－2.1，即±
＝±2.1.
随堂检测
2.求下列各式的值：
(1)±
；
(2)－
；
(3)
；
(4)
.
解：(1)±
＝±7；
(2)－
＝－4；
(3)
＝
；
(4)
＝
＝9.
随堂检测
3.已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，
∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?
1.平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
（2）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a的平方根为±
；0的平方根是0；负数没有平方根.
课堂小结
2.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根.
（2）性质：正数a的算术平方根为
；0的算术平方根是0；即
=0；负数没有算术平方根.
3.平方根和算术平方根的运算.
再见
