2012届福建省高考数学研讨会材料--2011年高考数学试题“红黑榜”

让更多的考生获得信心
————对2011年高考数学试卷的评价
2011年新课标高考试卷增加到13套25份（不含上海卷），多数试卷和试题不偏不怪，难度适度，依纲靠本，锐意创新，考查能力，特色突出。考后师生普通反映良好，认为这些试卷既能让考生以好的心态应对考试，获得继续学习的信心。又对高中数学教学有好的引导。高考在不断的变革，2011年高考又有一些明显的变化，传达给我们一些新的信息。其中有三个明显的变化值得关注，代表了发展的趋势：让60%考生及格；难度降低，不会影响区分度；“教”和“考”相一致。
一．让60%考生及格
一些省市试卷的难度有所降低，绝大部分试题都是常规题型。学生容易入手，能发挥正常的学。特别值得关注的是，一些省市试卷的难度系数已在0.60—0.65，这意味着多数考上大学的考生其数学成绩可以及格；考上本科的考生，数学成绩多在100分左右，这让考生感到，经过多年努力的学习终能取得好成绩，从而有了成就感，对未来继续学好数学充满信心，这也符合发展性评价理念。一份好的数学试卷，应该是让所有考生都能有所收获的，今年不少高考数学试卷做到了这一点。
今年，高考计划录取率已达到72.3%，本科计划录取率创新高。考生的整体水平决定了高考的性质、方式。内容和考查重点都必然要进行变动。
二．难度降低，不会影响区分度
试卷的难度降低，会不会影响区分度？是否只有难题、偏题才能有好的区分度？其实，只要试题出得好，基本题、常规题等也会有区分度。例如，从试卷整体上来说，北京2011年理科数学卷的难度系数是0.67，但依然具有较好的区分度。
2011年的高考数学试卷中还出现了一些基本题、常规题。基本题考查的是课程标准、考试大纲要求掌握的基本和重要的内容。例如，“基本初等函数的图像与性质”、“向量基本定理”、“微积分基本定理”等等，它们反映了数学中最本质的内容。这样的题目带了个好头。希望命题教师在这些基本内容上做做文章，命制一些好的高考试题，这对改变当前数学教育重结论而不重过程、重题型而不重分析、“死”做题和记“死”题的现象有良性引导作用；同时也有助于消除某些教学不重视基础，不重视知识形成，一味求解难题、偏题的弊病。
常规题涉及的知识和方法，都是考生熟悉的。但是一些常规题，需要考生熟练掌握基本的数学概念和方法，具有较强的分析思考能力。题目达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标，并能分区各类考生。常规题常考常新，照样有令人满意的区分度。
同时，2011年高考试卷中出现一些涉及的知识与方法都很基础，但考查的知识点多，综合性强的试题。高中数学分为不同章节、不同模块，但随着学习的深化，学生总是要把这些知识融合在一起，构成自己对数学知识的认知结构。数学学习的优秀生与学困生的主要差异之一就表现在对学过知识的融合程度上：优秀生从整体高度上认识所学过的知识，而学困生的知识是支离破碎的。高考试题要不断地进行知识的重组，不断的创新，保证基础性，同时不失选拔功能。
三．保持“教”与“考”的致性
今年不少新课标数学高考试卷，在内容的定位、考查的基本能力和基本理念等方面，遵循《高中数学课程标准（实验稿）》和《全国统一考试数学考试大纲（课标实验版）》的要求，对必修、选修一或选修二、选修四的知识不同层次的要求、要求的能力的不同层次的把握都很到位，保证了新课标数学及数学教学改革的进程。
有些内容，比如“数列”，课标和大纲的要求变化较大，因此课标版试卷如何命题、如何把握要求是很多师生关心的问题。2011年不少省份试卷中的数列题目命制得很好，知识内容不超纲，但思维能力要求却很高。
四．小结
现在越来越多的人关注高校招生和平共处高考，这是一件好事。高校的招生考试改革也在不断的推进和探索之中，这件事不可能通过一个政策，一个措施就能完成，需要从上到下、从下到上不断的努力。在具体地推进每一件事情的过程中，明确发展的方向是最重要的，方向对了，我们的努力才会有成效。今年高考试卷体现出来的趋势是值得重视的，我们应该向这个方向努力。
2011年高考数学试题“红黑榜”
在2011年全国及新课标实验区共13套25份数学试卷中，有很多带有导向性的好题。试题依据在“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立了以能力立意的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。同时，我们也应关注到，虽然2011年数学高考试卷总的来说很不错，有很多可卷可点的地主，但有一些题目还是值得商榷。
“红 榜”
==回到标准，突出基础
（试题1）上海市理科卷第13题
设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
（试卷2）山东省理科卷第16题
已知函数=
当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
（试卷3）上海市理科卷第20题
已知函数，其中常数满足。
⑴ 若，判断函数的单调性；
⑵ 若，求时的取值范围。
点评：试题1考查了一次函数、周期函数、函数定义域、值域的概念，突出了基础。同时，题目十分灵活，要求学生对这些基础知识有深刻的理解，有较强的分析问题能力。遇到这样的试题，该如何分析？如何找到突破口？我们要从涉及到的基本概念出发。因为在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，所以存在区间[3，4]上的，使得f()=-2，f()=5，那么f(+1)=-2+1=-1，f(+1)=5+1=6。易知+1，+1分别是区[4，5]上的最小值点和最大值点，即f(x)在区间[4，5]上的值域是[-1，6]。以此类推下去。最后，我们可以得到f(x)在区间[-10，10]上的值域是[-15，11]，这是直观的理解。
解答试题2既可运用零点存在条件作判断，也可以用图像交点位置作定性分析，它需要对当2函数的单调性是函数最重要的性质，是每个高中学生应知应会的内容。近年关于函数单调性的试题，多数是与导数结合，很少看到直接利用单调性的意义及基本初等函数单调性求解的问题。试题3的意义在于，明确了讨论函数性质，不只要掌握具体的方法，还要明白函数性质本身的意义。高中数学课程中反复强调的“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等，它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，它们反映了数学中更为丰富的东西，它们将伴随着学生将来的学习和工作。数学的教与学要把这些东西留在学生的头脑。
对于这类题目，教师在日常的教学中无法进行充分的准备。因此，在教学中，教师要让学生抓住基础知识，抓住本领：回到“标准”，突出基础，抓住本领。
==强化对主干知识的认识和理解
（试题4）湖南省理科卷第8题
设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
A．1 B． C． D．
（试题5）全国新课标理科卷第21题
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
点评：解答试题4，首先应该判断比y=lnx变化快，得出|MN|=f(x)--g(x)= ，然后再求它的最小值。这种对函数变化状态的认识，是新课程数学教学中非常重视的，体现了对函数学习的基本要求。
试题5是全国新课标数学试卷最后一道压轴题。第（I）问考查的是在理解导数几何意义的基础上，用待定系数法求参数a与b，这属于对基础知识的基本方法层面的考查，体现了试题入口宽、面向全体考生的特点。解答第（II）问，需要把讨论不等式的问题转化为用导数工具讨论函数单调性的问题，特别是要把较复杂的函数分解为较简单的函数进行讨论，这虽然对考生的转化能力，推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力和分析解决问题能力的要求很高，但没有超出课程标准与考试大纲的要求。试题对于改变学生“死”做题的学习方式，促进高中数学教与学注重夯实基础、倡导理性思维、强化探究能力具有积极的引导作用。
整体地把握高中数学课程，是理解高中数学课程的基点。在高中数学课程中，函数思想、运算思想、几何思想（把握图形的能力）、算法思想、统计和随机思想等等，都是贯穿高中数学课程始终的东西，构成了高中数学的基本脉络。高考数学试题应强化考查考生对主干知识的认识和理解。
==突出几何直观
（试题6）全国新课标理科卷第12题
函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
（试题7）辽宁省理科卷20题
（20）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
点评：解答试题6中，只需真正理解反比例函数和正弦函数两个基本函数模型，熟悉其图像，分析对称性，并进行很少的运算，而函数是函数学习的重点内容，试题对于引导在数学教与学中重视学生对基础知识的理解有积极的作用。
在试题7中，两个椭圆、一条直线构成了一个和谐的图形。当e为定值时，直线夹在两个椭圆间的弦长也成定比，并且存在直线L，使得BO∥AN。题目的几何意义明显，同时研究这些性质，又凸显了坐标法的优势；运算量适中，曲形到数，由数到形的分析要求较高，起到了选拔高端考生的把关题的作用，而且中等生和学习困难生也能有不同的进展。
数学教学不是要把容易的东西变难了，而是希望把难理解的变得容易理解。课程标准重视“图形的语言”。多画一些“图”，多用一些几何图形给我们带来的好处不仅仅是增强了逻辑性，还可以使事物变得更加直观——越复杂、越抽象的东西越需要直观，需要图形。
好的高考数学试题，常常有丰富的几何背景，可以用直观来帮助学生分析理解。
==对阅读理解能力的考查体现了关心学生终身发展的价值取向
（试题8）广东省理科卷第8题
（试题9）江苏省数学卷第19题
已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
点评：在试题8中，要求学生自学新知识“关于数的乘法是封闭的”，再依据阅读理解中获得的法则对四个选项逐一判断，得出正确结论。通过阅读获取的新知识虽然很少，但试题有效地考查了考生对题目的理解，特别是对关键词的识别，对术语和数学符号含义的理解，然后进行理性思考的水平。
试题9在考生理解了函数的单调性的基础上，新定义了“单调性一致”的概念，考生需要把新的定义与自己已有的知识融合，这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常重要的。试题的第（2）问，实际是讨论不等式f’(x),g’(x) 在区间（a,b）上恒成立的a、b取值范围，三次不等式在日常教与学中不多见，需要分类讨论，运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果。解决问题的过程中所用到的知识和方法并不深奥，但分析问题、解决问题的能力要求很高，属于对高层次数学思维和数学素质的考查。
学生进入高校或社会后能否继续发展，在很大程度上取决于他们的学习能力。具有良好的阅读理解力是继续学习的前提，近年的高考试卷对阅读理解能力，特别是对数学语言，包括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度，教师在日常教学中应多加关注。
==应用意识的考查是高考的持久追求
（试题10）湖南省理科卷第20题
如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
点评：《普通高中数学标准课程标准（实验稿）》强调“发展学生的数学应用意识”，“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜明。2011年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题。如湖南的淋雨量与物体移动速度的函数关系的应用题、江苏的包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函数关系的应用题、福建的商品销售价格函数关系的应用题。山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等。这些试题的背景考生都了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力；同时试题充分体现了数学的文化价值与应用价值，能使学生感觉到数学有用，数学很亲切，数学就在我们身边。
“黑 榜”
==试题超出课程标准和考试大纲要求
（试题1）陕西省文科数学卷第4题
函数的图像是 （ ）
山东理科数学卷第9题（对照题）
函数的图象大致是
点评：今年高考数学试卷中有些考题超出了课程标准和考试大纲的要求。这种考题的出现，导向非常不好，会加重学生学习的负担，这是我们认为最应该关注的问题。
目前高中学生课业负担很重，其中一个重要的原因是，教师讲了许多课程标准以外的内容。教师之所以要讲许多课程标准之外的内容，原因就是怕高考要考。之所以有这个担心，是因为我们过去的高考试题中确实存在过这样的问题。例如，课程标准对幂函数的要求，不要求讨论一般分数指数幂的情形。但是许多教师不放心，仍然花了大量时间去讲一般的情形，按理说很不应该，但今年的高考卷中却出现了试题1这样的考题。这样的考题一出现，必然使得今后教师在高中数学教学中加入一般幂函数的讨论，要求学生记住这种函数的图像和性质，这就大大加重了学生的负担。
同样是考函数的图像和性质，对照题不是补充新内容，也不要求学生背诵、记忆，而是考查学生在已民用工业知识的基础上分析解决问题的能力。这两道试题一对比，立刻分出优劣。
==有关数列递推公式的试题重现高考试卷
（试题2）广东省理科数学卷第20题
设数列满足,
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,.
（试题3）天津市理科数学卷第20题
已知数列与满足：， ，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
点评：在超出课程标准的考题中，我们想重点谈谈有关数列的递推公式的题目。
首先，从课程标准看，数列的重点是等差、等比数列及其应用，其中没有提到数列的递推关系。数列只有12课时，它无论如何也不是高中数学中最重要的内容。但长期以来，有关数列递推公式的试题往往被作为高考数学卷的最后一道把关题，这造成一种思维定式：要选拔优秀学生就要出难题，出难题就出有关数列的递推公式的题。
多年来，主要靠数列递推关系来选拔优秀学生的做法，实际上是一种偷懒的，不够负责任的做法，其影响也很不好，我们知道，借助数列的递推关系给出的就是数列的差分方程。如果是线性差分方程（包括我们熟知的等差、等比数列），它是有通解公式的。换句话说，有通性通法，用不着玩技巧。至于非线性的差分方程，它是现代数学（例如，动力系统等）研究的对象，并不适合在中学讲授。对这类方程，由于无法得到一般的通项公式，数学家关心的是这种数列的极限行为。这种极限行为十分复杂，例如，会出现混沌现象。可是我们现在的教师却是找一些特殊的差分方程，把求这种数列的通项公式作为目标，这显然不是这个学科的研究方向，又由于这些方程和方法都十分特殊，不存在通性通法，不同的题目要求不同的技巧。也就是说，这里关注的主要地技巧，而不是高中数学学习的基本思想和内容。这样的题目竟成了高考的压轴题，因此，考试并不能很好地考查学生理解数学的能力。
新课程高考后，出现了可喜的变化。这表现在：在这几年多数的新课标试卷中，数列题不再考递推关系，难度大大降低，同时也不放在考卷的最后作为把关题，关于这一点请老师们参看这几年新课程的高考题。
不幸的是，今年数列递推关系的题目又回到了某些高考试卷之中，例如试题2，试题3。
今年广东高考考生普通反映数学考难题，有的学生甚至痛哭流涕，这和这类考查递推关系的难题的出现是有关系的。
==试题在数学上把握不准确
（试题4）湖南省文科数学卷第15题
已知圆C：x2+y2=12,直线l : 4x+3y=25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为________;
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_______.
（试题5）广东省理科数学卷第13题
某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为
cm.
点评：今年一些高考考题，在数学上把握不准确，甚至可以说有问题。目前，在有关回归分析的考试中，由于计算量大，不可能引进大量的数据来让学生计算，通常只给出少数几组数据，用来考核学生对方法的掌握情况（这种做法也不一定很好。因为对统计来说，我们更希望考查的是学生对从数据中提取的信息的理解，而不是数值的计算程序）。
广东的这道题用给定的数据建立回归模型是不合适的。这因为，在回归分析中要求独立地观测数据，因此，通常总要假设不同组的数据，随机变量是相互独立的，至少也要线性不相关。如果用父、子的身高分别作为自变量和因变量来建立回归方程——这里仅用五代人的身高当作数据，它们不是独立的——这种做法显然不成。如果用第1、2、……代的身高当自变量，用随机变量身高当因变量，也不合适，因为这不是回归分析（数学上讨论类似问题的学科是时间序列分析）。
==试题过分形式化
（试题6）山东省文科数学卷第22题
在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若 ，
（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.
（试题7）天津市理科数学卷第19题
已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明
．
（试题8）湖南省文科数学卷第22题
设函数.
（I）讨论函数f(x)的单调性.
（II）若f(x)有两个极值点，记过点的直线斜率为k，问：是否存在a,使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
（试题9）湖南省文科数学卷第14题
设m>1，在约束条件的最大值为4，则m的值为_______.
（试题10）湖南省理科数学卷第7题
设m>1，在约束条件的最大值小于2，则m的取值范围（ ）
A．（1，1+） B.（1+，+∞） C.（1，3） D.（3，+∞）
点评：我们的考卷中还有一些过分形式化的题目，只是要求学生做形式推演，学生根本不知道其意义。
例如，试题6的第一小问，要求“求的最小值 ”。这不知道是要做什么，完全是形式推演，不知有何意义。
试题7的第三问中，假设了“若f(x)存在均属于区间[1，3]的，，且-≥1，使f()=f()”。这个条件凭什么成立？直观上是否能让学生看出来？不让学生清楚其假设是合理的，就让学生以此为依据来进行推理，这种做法不是在真正理解数学，也不是学数学。
在试题8中，假设了“若f(x)有两个极值点”。问题是：这里的函数真的存在两个极值点吗？如果这个条件根本无法满足，我们所有的论证就没有任何意义。这样的试题把数学变成了逻辑推理的游戏，丧失了其真正的意义。
试题9和试题10好像是线性规划的逆运算。实际上，没有什么数学上的意义，而是玩一些花样、技巧。
==考查阅读理解能力的试题晦涩难懂
（试题11）广东省理科数学卷第21题
在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：，实数p,q满足，是方程的两根，记.
（1）过点，作L的切线交y轴于点B，证明：对线段AB上的任一点Q（p,q），有；
（2）设M(a,b)是定点，其中a,b满足.过M（a,b）作L的两条切线，切点分别为，E’ ，与y轴分别交于F，F’.线段EF上异于两端点的点集记为X，证明：M(a,b) .
（3）设D={(x，y)|y≤x-1，y}.当点(p,q)取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）.
点评：最后我们想谈谈考查学生阅读能力的试题，现在强调学生自主学习，因此，培养学生的阅读能力就显得十分重要。近几年，高考试卷中出现了这类题目，这有助于教师重视这个问题，是非常好的。但是，目前有的题目写得偏难，甚至故意写得晦涩难懂。这是不应该的。我们考查的对象是高中学生，但有些考题，就是给大学数学系的学生来谈，也很难读懂。这就不好了。
例如，在试题11中定义了一个二元函数。在第一问中，要证明这个二元函数在平面的一个区域（线段）取常数值；第二问，要证明几个充分必要条件；最后一问，要求这个函数在某个区域上的最大值和最小值。对一个定义域非全平面的二元函数讨论上述问题，显然超出了高中课程标准（在高中课程标准中，只讲了二元线性规划）。
该题在表述方面，无论是文字表述（例如，刚给出一个抛物线，突然就出现一个和它无关的二次方程，定义一个二元函数）还是符号语言（如的表达式），都不自然。加上符号过多，即使是大学数学系的学生也很难读懂。其实，完全可以换一种表述（如直接给出的解析表达式，等等），让学生能比较容易地弄懂。
如果把大学数学系学生都很难读懂的材料拿来让高中学生读，不仅无法让绝大部分学生有所收获，反而会伤害他们的学习积极性。