2012届福建省高考数学研讨会材料--追求“开放”与“多样”

追求“开放”与“多样”
例1（2009福建单科质检理17）——条件开放、选择性
记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）现给出下列四个条件：①a=1；②b=2sinB；③；④B=45°.
试从中再选择两个条件以确定ABC，并求出你所确定的ABC的面积.
（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
例2 （2009福建质检理17）——结论开放
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中
随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.
例3 （2009福建质检理20）——结论开放、解法开放、设问形式多样
已知函数.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ－伴随切线。
（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
例4（2009福建质检理19）—— 解法开放
已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分
别为，。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
例5（2010福建质检文19）——结论开放
如图，正方体中，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出
此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提
均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”（如果多
画，则按前3个记分）．
例6（2011福建质检理16）——结论开放
已知函数．
（Ⅰ）设角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上, 终边过点，求的值；
（Ⅱ）试研究函数的基本性质（直接写出结论）．
例7（2011福建质检理18）——结论开放
如图，在Rt中，，点线段上.过点作，交于，将 沿折起到的位置（点与重合），使得.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试问：当在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值；若是，求出其定值；若不是，说明理由.
例8（2011福建质检理20）——结论开放、解法开放、设问形式多样
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过抛物线C：的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过坐标平面上的过点作抛物线C的两条切线和，它们分别交抛物线C的另一条切线于两点．
（ⅰ）若点恰好是点关于x轴的对称点，且与抛物线C的切点恰好为抛物线的顶点（如图）求证：的外接圆过点；
（ⅱ）试探究：若改变点的位置，或切线的位置，或抛物线C的开口大小，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（ⅰ）中的结论成立的命题，并加以证明．（温馨提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分，但若给出的命题是假命题，本小题不得分）
相关链接
1.（2009考试说明样卷理19）—— 解法开放
以F1(0，-1)，F2(0，1)为焦点的椭圆C过点P(，1)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点S(，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，
试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l
如何转动，以AB为直径的圆恒过点T 若存在，求
出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2009福建单科质检理21）—— 设问多样、解法开放
已知x=O是函数的一个极值点.
(I)求实数b的值；
(II)若函数恰有一个零点,求实数m的取值范围；
(III)当a=1时,函数的图象在处的切线与x轴的交点是(,0).若=1,,问是否存在等差数列{},使得对一切都成立 若存在,求出数列{}的通项公式；若不存在,请说明理由.
3.（2009福建单科质检理20）——设问形式多样
椭圆（）的一个焦点在直线上，且离心率.
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)如果、为椭圆上不同的两点，且弦的中点在直线上，试证：轴上存在定点，对于所有满足条件的、恒有；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件，是否可能为等腰直角三角形？证明你的结论。
4.（2010福建质检理17）——条件开放、选择性
如图，是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线上，点A、B在直线上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PC=AC=，PA=
（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设平面MNC与平面PBC所成的角为
现给出下列四个条件：
①CM=AB； ②AB=； ③CM⊥AB； ④BC⊥AC.
请你从中再选择两个条件以确定cos的值，并求之．
5.（2010福建质检文20）—— 解法开放
已知为递增的等比数列，且。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由．
6.（2011福建质检文17）
设函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ））试讨论函数的基本性质（直接写出结论）．
7.（2011福建质检文22）——结论开放、解法开放、设问形式多样
已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）过坐标平面上的过点作抛物线C的两条切线和，分别交 分别交轴于两点．
(i) 若点的座标为,如图,求证：的外接圆过点；
(ii)试探究：若改变点的位置,或抛物线的开口大小，(i)中的结论是否依然成立 由此给出一个使(i)中结论成立的命题，并加以证明。（温馨提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分，但若给出的命题是假命题，本小题不得分）