5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册
5.3
用待定系数法确定二次函数表达式
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.二次函数的图象经过
三点，则它的解析式为（??
）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
2.已知二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图像经过原点，则m的值为（????
）
A.?0或2??????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?无法确定
3.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（
????）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
4.将抛物线y=﹣3x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（????
）
A.????????B.????????C.????????D.?
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(??
)
A.?y＝－2x2－x＋3?????????????B.?y＝－2x2＋4?????????????C.?y＝－2x2＋4x＋8?????????????D.?y＝－2x2＋4x＋6
6.若二次函数
的x与y的部分对应值如下表，则当
时，y的值为
　　
x
y
3
5
3
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（??
）
A.?y＝﹣（x﹣60）2+1825?????????????????????????????????????B.?y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C.?y＝﹣（x﹣65）2+1900?????????????????????????????????????D.?y＝﹣2（x﹣65）2+2000
8.抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A
，
B两点，与y轴交于点C
，
且OB＝OC＝3OA
，
求抛物线的解析式（??
）
A.?y＝x2﹣2x﹣3??????????????????B.?y＝x2﹣2x+3??????????????????C.?y＝x2﹣2x﹣4??????????????????D.?y＝x2﹣2x﹣5
9.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A.?﹣11???????????????????????????????????????B.?﹣2???????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????D.?﹣5
10.已知抛物线
上部分点的横坐标
与纵坐标
的对应值如表：
···
-1
0
1
2
3
···
···
3
0
-1
3
···
有以下几个结论：①抛物线
的开口向下；②抛物线
的对称轴为直线
；③方程
的根为0和2；④当
时，的取值范围是
或
；其中正确的是（??
）
A.?①④?????????????????????????????????????B.?②④?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?②③
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为________．
12.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与
轴交于点
，这个二次函数的解析式可以是________．
13.将抛物线y=x2-12x+16作关于x轴对称，所得抛物线的解析式是________.
14.一抛物线的形状，开口方向与
相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为________．
15.将抛物线
向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式________．
16.二次函数
图像记为
，
的图像记为
，如果
与
关于
轴对称，则
的解析式是________．
17.如图，平行四边形ABCD中，
，点
的坐标是
，以点
为顶点的抛物线经过
轴上的点A
，
B
，
则此抛物线的解析式为________．
18.如图，抛物线
与反比例函数
的图象相交于点
，且点
的横坐标为5，抛物线与
轴交于点
，
是抛物线的顶点，
和
分别是
轴和
轴上的两个动点，则
的最小值为________．
三、综合题（本大题共8题，共84分）
19.已知二次函数的顶点坐标为（2，4），且其图像与x轴的交点在正方向3个单位处，求此二次函数的解析式．
20.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=2，求此抛物线的解析式.
21.如图，已知点
，点
，抛物线
(h
，
k均为常数)与线段AB交于C
，
D两点，且
，求k的值．
22.已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式.
23.已知二次函数图象的对称轴为y轴，且经过点（1，5）和（﹣
，
）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若将该二次函数先向下平移4个单位，再沿x轴翻折后与x轴交于A，B两点，设顶点为P，求△AOP的面积.
24.已知二次函数
的图象经过点（1,0）和（0,2）.
（1）求b,c的值；
（2）当
时，求
的取值范围；
（3）已经点P(m,n)在该函数的图象上，且
，求点P的坐标.
25.已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t
，
0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A
，
如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
26.如图，已知二次函数的图象经过点
、
和原点O
．
P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为
，并与直线OA交于点C
．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，求
的最大面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：设该二次函数的解析式为：
，则由已知条件可得：
?，解得：
?，
∴该二次函数的解析式为：
.
故答案为：D
【分析】将二次函数的解析式设为一般式，再根据待定系数法即可求解。
2.【答案】
C
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：∵二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-2）=0，
解得：m=0或m=2，
又∵二次函数的二次项系数m≠0，
∴m=2．
故答案为：C．
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
3.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）
故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8
故答案为：D．
【分析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
4.【答案】
D
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
解：抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标为（0，1），将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点为（1，3），则y=-3
+3.
【分析】计算出抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标(0,1)，根据题目信息得出平移后抛物线的顶点坐标为（1，3），根据顶点式即可得出平移后抛物线的解析式.
5.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：
∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=-2（x-h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=-2（x-1）2+8，
即y=-2x2+4x+6，
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，所求的二次函数的顶点坐标为（1，8），a=-2，所以可设顶点式求解。
6.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：设二次函数的解析式为
，
当
或
时，
，由抛物线的对称性可知
，
，
，
把
代入得，
，
二次函数的解析式为
，
当
时，
．
故答案为：D．
【分析】设二次函数的解析式为
，
利用表格中数据根据抛物线的对称性可得
，
，把
代入二次函是解析式中，求出a值即得，
将x=1代入求出y值即可.
7.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵当x＝55，y＝1800，当x＝75，y＝1800，当x＝80时，y＝1550，
∴
，
解得a＝?2，b＝260，c＝?6450，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
故答案为：D.
【分析】设二次函数的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，根据题意列方程组即可得到结论.
8.【答案】
A
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA
，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：A
．
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA
，
进而求出OB、OA
，
得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式，
9.【答案】
D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：由已知数据可得函数图象关于y轴对称，则不符合题意应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0,1），
?，
当x=1时，
解得
，
?
当
时，
，
∴错误的数值是-5，
故答案为：D。
【分析】由已知可得函数图像关于y轴对称，则不符合题意应该出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案。
10.【答案】
B
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：设抛物线的解析式为
，
将
，
，
代入得，
，
∴
，
∴抛物线的解析式为：
，
由
可知，抛物线开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线
，故②错误；
当
时，
，解得
或
，
∴方程
的根是0和2，故③正确；
当
时，
，解得
或
，故④正确；
故答案为：B.
【分析】根据表中的x，y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解即可；
二、填空题
11.【答案】
y=
x2﹣x+1
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x=
=2，
即顶点坐标为（2，0），
设y=ax2+bx+c=a（x-2）2+0，
把（-2，4）代入得：4=a（-2-2）2+0，
解得：a=
，
即y=
（x-2）2+0=
x2-x+1，
故答案为y=
x2-x+1.
【分析】先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式.
12.【答案】
y=-x2-3
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图像、性质与其系数的关系，再用待定系数法求解二次函数表达式即可。
13.【答案】
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
解：∵抛物线y=x2-12x+16关于x轴对称所得的抛物线的解析式为?y＝x2-12x+16，
∴所求解析式为：y＝?
x2+12x-16，
故答案为：
.
【分析】利用原抛物线上的点关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行解答．
14.【答案】
【考点】二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式
解：∵
一抛物线的形状，开口方向与
相同，
顶点在(-2，3)
∴此函数解析式为
.
故答案为：.
【分析】由题意可知所求抛物线的顶点坐标及a的值，即可得到此函数解析式。
15.【答案】
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
解：
，
所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上
∴所得抛物线解析式为
．
故答案为：
．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
16.【答案】
【考点】待定系数法求二次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征
解：∵
与
关于
y
轴对称，
∴
与
顶点横坐标互为相反数，顶点纵坐标相同，
∴
的解析式是
．
故答案为：
．
【分析】抛物线沿y轴折得到的新抛物线的顶点横坐标与原抛物线的顶点横坐标互为相反数，新抛物线的顶点纵坐标与原抛物线的顶点纵坐标相同．
17.【答案】
详见解析
【考点】待定系数法求二次函数解析式
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为
，B点坐标为
设函数解析式为
，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为
，即
故答案为
．
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为
，进而得到A点坐标为
，B点坐标为
，利用待定系数法即可求得函数解析式．
18.【答案】
【考点】待定系数法求二次函数解析式，轴对称的应用-最短距离问题，反比例函数图象上点的坐标特征
解：
点
在反比例函数
的图象，且点
的横坐标为5，
点
的纵坐标为：
，
，
抛物线
与反比例函数
的图象相交于点
，与
轴交于点
，
，解得
，
抛物线为
，
，
，
关于
轴的对称点
，
，
点关于
轴的对称点
为
，
连接
交
轴于
，交
轴于
，此时
的值最小，即
，
，
故
的最小值为
．
【分析】根据题意求得
的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点
的坐标，求得
关于
轴的对称点
，
点关于
轴的对称点
为
，根据两点之间线段最短，即可判断
是
的最小值，利用勾股定理求得即可
三、综合题
19.【答案】
解：∵顶点坐标为（2，4），
设二次函数表达式为
，
由题意可得：二次函数与x轴交于（3，0），代入，
得：
，
解得：a=-4，
∴二次函数的解析式为
．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
分析：根据顶点坐标设出函数表达式
，再根据题意得到点（3，0)，代入即可。
20.【答案】
解：由题意得：x=-
=-
=-2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
分析：由对称轴直线x=2，确定出b的值，将A点坐标代入函数解析式即可确定c的值，即可求出抛物线解析式.
21.【答案】
解：
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB=4，
∵抛物线y=-
（x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=
AB=2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=
=c+1，
∴2=-
[c-（c+1）]2+k，
解得，k=
．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
分析：根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
22.【答案】
（1）解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把点（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，∴这个二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4.
（2）解：y＝（x+1）2-4
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
分析：（1）根据函数的顶点坐标设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，再把B的坐标代入计算即可；
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，只需要求出其顶点坐标关于坐标原点对称的点的坐标同时改变二次项系数的符号，直接写出其解析式即可.
23.【答案】
（1）解：设函数的解析式为y＝ax2+c，
将（1，5）和（﹣
，
）分别代入函数解析式，得
.
解得
，
故此二次函数的解析式y＝3x2+2；
（2）解：二次函数先向下平移4个单位得到：y＝3x2﹣2；
然后沿x轴翻折后解析式为：y＝﹣3x2+2.
此时P（0，2），A（
，0），B（﹣
，0），
所以S△AOP＝
×
×2＝
.
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式
分析：（1）利用二次函数图象的对称轴为y轴，由此函数的解析式为y＝ax2+c，再将已知两点的坐标代入函数解析式，建立关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，即可得到函数解析式。
（2）利用二次函数的平移规律，先求出平移后的函数解析式，再求出沿x轴翻折后解析式，由y=0建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标，由x=0求出点P的坐标；然后利用三角形的面积公式可求解。
24.【答案】
（1）解：将（1，0），（0，2）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：
（2）解：这个函数的解析式为：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣
）2﹣
；
把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x+2得，y＝12，
∴y的取值范围是﹣
≤y≤12
（3）解：∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n＝m2﹣3m+2，
∵m+n＝1，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1，n＝0，
∴点P的坐标为（1，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先把函数式配方化成顶点式求出抛物线的对称轴方程，由于在?的范围内，得出最小值为-，
由于x=-2离对称轴最远，则x=-2有最大值，从而得出y的范围；
（3）把P点坐标代入函数式得出m与n的关系式，再和m+n=1联立即可求出m、n的值，则知P点坐标.
25.【答案】
（1）由抛物线的对称轴经过点A，则有抛物线的顶点坐标为
，故抛物线的最低点为顶点，即y的最小值为-3，由图像可知点O、P关于对称轴直线
对称，故
（2）由t=﹣4，可得
，
抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点
，
，解得：
，
抛物线的解析式为：
，
抛物线开口向上
（3）把点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），代入解析式得：
，可得：
，
抛物线开口向下，
，解得
且
；
（答案不唯一）．
【考点】二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：（1）根据图像及题意可直接解答，然后根据对称轴直接求出P点坐标；（2）由题意易得点P坐标，然后根据待定系数法求出解析式，进而求解；（3）把A，P的坐标代入抛物线的解析式，用t表示a，进而即可求解．
26.【答案】
（1）设
，
把A点坐标
代入得：
，
∴二次函数的解析式是
（2），
轴，P在
上，
∴
，
∵点
，
∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，
∴点C（m，m）
当点P在直线OA的上方时，
，
，
，
，开口向下，
当m=
时，PC有最大值
，
即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是
．
（3）∵A点坐标
，且PC有最大值
，
∴
．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知
，易求得直线OA的解析式，可得点
，由
=
，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．
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精品试卷·第
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（共
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